2022年数学教学设计：.平面向量的概念及线性运算 .pdf

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1、【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算【教学目标】知识目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念；（2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力【教学重点】向量的线性运算【教学难点】已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件【教学设计】从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向 教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“ab”没有意义，而

2、“a b”才是有意义的 . 教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算向量的加法有三角形法则与平行四边形法则. 向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的. 即 a- b=a+(- b) ，它可以通过几何作图的方法得到，即 a- b可表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量 . 作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点. 实数乘以非零向量a，是数乘运算， 其结果记作a ，它是一个向量， 其方向与向量a相同，其模为 a 的倍由此得到 abab对向量共线的充要条件，要特别注意 “非零向量 a、b”与“0 ”等条件 . 【教学备品】教学课件【课时安排】2 课时 (90 分钟)

3、 【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间* 揭示课题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 教学过程教师行为学生行为教学意图时间7.1 平面向量的概念及线性运算* 创设情境兴趣导入如图 71 所示，用100N的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图 71 介绍播放课件引导分析了解观看课件思考自我分析从 实例 出发 使学 生自 然的 走向 知识点0 3 * 动脑思考探索新知【新知识】在数学与物理学中，有两种

4、量只有大小，没有方向的量叫做 数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量） ，例如力、速度、位移等平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量 ，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小如图 7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点以A 为起点， B 为终点的向量记作AB 也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a图 72 向量的大小叫做向量的模 向量 a,AB 的模依次记作a ，AB 模为零的向量叫做零向量 记作 0，零向量的方向是不确定的总结归纳仔细分析讲解关键词

5、语思考理解记忆带领学生分析引导式启发学生得出结果10 aAB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 教学过程教师行为学生行为教学意图时间模为 1 的向量叫做 单位向量* 巩固知识典型例题例 1 一架飞机从A 处向正南方向飞行200km ， 另一架飞机从 A 处朝北偏东45方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向线段表示两架飞机的位移解位移是向量 虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不同，所以两架飞机的位

6、移不相同两架飞机位移的有向线段表示分别为图7-3 中的有向线段a 与 b图 7-3 说明强调引领讲解说明强调含义观察思考主动求解通 过例 题进 一步 领会13 * 运用知识强化练习说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 ( 小方格为 1) 提问巡视指导思考口答及时了解学生知识掌握得情况18 abAK T图 7- 4 A B C D E F H G M N Q P L Z 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 教学

7、过程教师行为学生行为教学意图时间* 创设情境兴趣导入观察图 7- 4 中的向量 AB 与 MN ，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量CD 与 PQ 所在的直线平行，两个向量的方向相反播放课件质疑引导分析观看课件自我分析从 实例 出发 使学 生自 然的 走向 知识点20 * 动脑思考探索新知【新知识】方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量 向量a与向量 b 平行记作a/b规定 ：零向量与任何一个向量平行由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此相互平行的向量又叫做共线向量【想一想】图 7- 4 中，哪些向量是共线向量？总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆带领学生

8、总结23 * 动脑思考探索新知【新知识】图 7- 4 中的平行向量AB 与 MN ，方向相同，模相等；平行向量 HG 与TK ，方向相反，模相等我们所研究的向量只有大小与方向两个要素当向量 a 与向量 b 的模相等并且方向相同时，称向量 a 与向量 b 相等 ，记作 a = b 也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量与非零向量a的模相等，且方向相反的向量叫做向量a的负向量 ，记作a规定：零向量的负向量仍为零向量总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆思考归纳理解记忆28 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

9、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 教学过程教师行为学生行为教学意图时间显然，在图74 中， AB = MN ， GH = TK * 巩固知识典型例题例 2 在平行四边形ABCD 中 （图 75） ， O 为对角线交点（1）找出与向量DA 相等的向量；（2）找出向量DC 的负向量；（3）找出与向量AB 平行的向量分析要结合平行四边形的性质进行分析两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反解由平行四边形的性质，得（1） CB = D

10、A ；（2） BA=DC ,CDDC ；（3） BA/ AB , DC / AB ， CD / AB 说明强调引领讲解说明引领强调含义说明观察思考主动求解观察思考求解领会思考求解通 过例 题进 一步领注意观察学生是否理解知识点反复强调+ 33 * 运用知识强化练习1 如图，ABC 中， D、E、F 分别是三边的中点，试写出（ 1）与 EF 相等的向量； （2）与 AD 共线的向量2如图， O 点是正六边形ABCDEF 的中心，试写出（1）与 OC 相等的向量；（2）OC 的负向量； （3）与 OC共线的向量启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳FADBEC（ 练 习 题第

11、 1 题图EFABCDO （图 18）第 2 题图ADCB图 75O 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 教学过程教师行为学生行为教学意图时间38 * 创设情境兴趣导入王涛同学从家中（A 处）出发，向正南方向行走500 m 到达超市（ B 处） ，买了文具后，又沿着北偏东60角方向行走200 m 到达学校（ C 处） （如图 76） 王涛同学这两次位移的总效果是从家（A 处）到达了学校（C 处） 播放课件质疑引导分

12、析观看课件自我分析从 实例 出发 使学 生自 然的 走向 知识点42 * 动脑思考探索新知位 移AC 叫 做 位 移 AB 与 位 移BC 的 和 ， 记 作AC = AB + BC 一般地，设向量 a与向量 b不共线，在平面上任取一点A(如图 76)，依次作AB =a, BC =b，则向量 AC 叫做向量a 与向量 b 的和，记作 ab ，即ab = AB BC = AC（71）求向量的和的运算叫做向量的加法 上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则观察图 77 可以看到：依照三角形法则进行向量a 与向量 b 的加法运算，运算的结果仍然是向量，叫做a与 b 的和向总结归纳仔细分析讲解关键

13、思考归纳理解记忆带领学生总结图77ACBaba+babABC图76500m200m名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 教学过程教师行为学生行为教学意图时间量 其和向量的起点是向量a 的起点，终点是向量b 的终点【做一做】给出两个不共线的向量a 和 b，画出它们的和向量【想一想】（1）ab与 ba 相等吗？请画出图来说明（2）如果向量a 和向量 b 共线， 如何画出它们的和向量？词语50 * 动脑思考探索新知如图 7

14、9 所示，ABCD 为平行四边形，由于AD= BC ，根据三角形法则得AB AD = AB BC = AC这说明，在平行四边形ABCD 中，AC 所表示的向量就是AB 与 AD 的和这种求和方法叫做 向量加法的平行四边形法则平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：（1）a0 = 0a = a； a（ - a）= 0；（2）ab=ba；（3） （ab） c = a （bc） 总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆带领学生总结55 图 79ADCB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师

15、精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 教学过程教师行为学生行为教学意图时间* 巩固知识典型例题例 3 一艘船以 12 km/h 的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h，求该船的实际航行速度解如图 710 所示， AB 表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则， AD 是船的实际航行速度，显然22ADABAC=22125 =13又512tanCAD，利用计算器求得67 23CAD1即船的实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线(水流方向 )的夹角约 67 23 *例 4 用两条同样的绳子挂一个物体（

16、图711） 设物体的重力为k，两条绳子与垂线的夹角为，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力1F 与2F 的大小分析由于两条同样的绳子与竖直垂线所成 的 角 都 是， 所 以12FF解决问题不考虑其它因素，只考虑受 力 的 平 衡 ， 所 以12FFk . 解 利用平行四边形法则，可以得到1212cosFFFk ，所以说明强调引领讲解说明引领分析观察思考主动求解观察思考求解领会注意观察学生是否理解知识点ABDC图 710 F1F2k图 711 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

17、 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 教学过程教师行为学生行为教学意图时间12coskF【想一想】根据例题4 的分析，判断在单杠上悬挂身体时( 如图 712) ，两臂成什么角度时，双臂受力最小？图 7-12 讲解说明思考求解反复强调62 * 运用知识强化练习练习 7.1.2 1 如图，已知a，b，求 ab2填空（向量如图所示）：（1）a b =_ , （2）b c =_ , （3）a bc =_ 3计算：（1） AB BC CD ；（2） OB BC CA 启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳65 * 创设情境兴趣导入在进行数学运算的时候，减去一个

18、数可以看作加上这个数质疑引导思考参与引 导启 发（图 115）bbaa（1）（2）第 1 题图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 教学过程教师行为学生行为教学意图时间的相反数分析分析学 生思考66 * 动脑思考探索新知与数的运算相类似，可以将向量a 与向量 b 的负向量的和定义为向量a 与向量 b 的差即a - b = a(- b)设 a =OA ，bOB ，则()= OAOBOAOBOABOBOOABA 即OAO

19、B = BA（7 2）观察图 713 可以得到：起点相同的两个向量a、 b，其差 ab 仍然是一个向量，叫做a 与 b 的差向量 ，其起点是减向量 b 的终点，终点是被减向量a 的终点 总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆带领学生总结68 * 巩固知识典型例题例 5 已知如图 714（1）所示向量a 、b ，请画出向量ab解如图 714（2）所示，以平面上任一点O 为起点，作OA =a， OB =b，连接 BA，则向量 BA为所求的差向量，即BA= ab 强调含义说明思考求解领会思考求解注意观察学生是否理解知识点70 BbOaAba（1）（2）图714aAa-bBbO图713名师资料总

20、结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 教学过程教师行为学生行为教学意图时间【想一想】当 a 与 b共线时，如何画出ab * 运用知识强化练习1填空：（1） ABAD =_，（2） BCBA =_，（3） ODOA =_2如图，在平行四边形ABCD 中，设 AB = a,AD = b，试用 a, b 表示向量 AC 、BD 、DB启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳72 * 创设情境兴趣导入观察图 71

21、5 可以看出，向量OC 与向量 a 共线，并且OC 3a图 7- 15 质疑引导分析思考参与分析引 导启 发学 生思考74 * 动脑思考探索新知一般地，实数与向量a 的积是一个向量，记作a，它的模为|aa（73）若 |a0，则当0 时，a 的方向与 a 的方向相同，当0 时，a 的方向与 a 的方向相反由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当0 时，总结归纳思考归纳带领学生分析aaaaO A B C 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - -

22、 - - - - - - 教学过程教师行为学生行为教学意图时间有abab（74）一般地，有0a= 0, 0 = 0 数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a, b 及任意实数、，向量数乘运算满足如下的法则：111aaaa，；2aaa；3aaa；abab 【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似， 因此， 实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的仔细分析讲解关键词语理解记忆理解记忆引导启发学生得出结论78 * 巩固知识典型例题例 6 在平行四边形AB

23、CD 中，O 为两对角线交点如图716， AB a ， AD b，试用 a, b 表示向量 AO 、 OD分析因为12AOAC ,12ODBD ，所以需要首先分别求出向量 AC 与 BD . 强调含义思考求解注意观察名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 教学过程教师行为学生行为教学意图时间解ACb, BD b - a， a因为 O 分别为 AC，BD 的中点，所以1122AOAC（ab）12a12b，OD 12BD

24、 12（b - a） -12a+12b例 6 中，12a12b 和-12a+12b 都叫做向量a，b 的线性组合，或者说，AO 、 OD 可以用向量a，b 线性表示一般地，ab 叫做 a, b的一个 线性组合（其中,均为系数）如果 l ab，则称 l 可以用 a，b 线性表示向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算说明领会思考求解学生是否理解知识点81 * 运用知识强化练习1 计算：（1）3（a - 2 b） 2（2 ab） ；（2）3 a - 2（3 a - 4 b）3（a - b） 2设 a, b不共线， 求作有向线段OA ，使 OA12（ab） 启发引导提问巡视指导思考了解动手求解

25、可以交给学生自我发现归纳83 * 理论升华整体建构思考并回答下面的问题：向量、向量的模、向量相等是如何定义的？结论：当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，这种量叫做 向量（矢量）向量的大小叫做向量的模向量 a,AB 的模依次记作a ，AB 质疑归 纳强调回答及 时了 解学 生知 识掌 握情况图 716名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 教学过程教师行为学生行为教学意图时间a 与向量 b 的模相等并且方

26、向相同时，称向量a 与向量 b相等 ，记作 a = b 85 * 归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆* 自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？计算：（1） AB BC CD ；（2） OB BC CA 提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果88 * 继续探索活动探究(1) 读书部分：教材(2) 书面作业：教材习题71 A 组（必做）；71 B 组（选做）(3) 实践调查：试着用向量的观点解释生活中的一些问题说明记录分 层次 要求90 【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用

27、知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -