2022年2022年江西省宜春市高安中学高一期中数学试卷 .pdf

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1、2015-2016 学年江西省宜春市高安中学高一（上）期中数学试卷（创新班）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，每小题只有一个正确选项）1已知集合A=2 ，0，1，4，B=k|k R，k22 A，k2?A ，则集合 B 中所有元素之和为（）A2 B 2 C0 D【考点】 元素与集合关系的判断【专题】 集合【分析】 由于集合 A=2 ， 0，1，4 ，根据集合B=k|k R，k22 A，k2?A ，先求出集合 B 中的元素再求和【解答】 解： A=2 ，0， 1，4， B=k|k R， k22 A，k2?A ， 当 k22=2 时， k= 2，k=2 时

2、， k2=0 A，k 2；k=2 时， k2=4?A，成立； 当 k22=0 时， k=，k2= 2? A，A，成立； 当 k22=1 时， k=，k2=? A，成立； 当 k22=4 时， k=，k2=?A，成立从而得到 B=，集合 B 中所有元素之和为2故选 B【点评】 本题考查集合中元素之和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用3设 f，g 都是由 A 到 A 的映射，其对应法则如下表（从上到下）：表 1 映射 f 的对应法则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -

3、- - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - X 1 2 3 4 f（x） 3 4 2 1 表 2 映射 g 的对应法则x 1 2 3 4 g（x）4 3 1 2 则 fg （1）的值为（）A1 B2 C3 D4 【考点】 函数的值；映射【专题】 计算题；函数的性质及应用【分析】 两个表格实际上是两个函数的列表法表示，能够从表中直接得出相应的函数值fg（1）是关于 x 的复合函数值，应先根据表2 得出 g（1）的值，再根据表1 得出所求结果【解答】 解：根据表2 映射 g 的对应法则，可得g（1）=4，再根据表2 映射 g 的对应法则，得出f（4）=1，故选：

4、A【点评】 本题考查函数与影射的定义，复合函数的函数值求解属于基础题关键对复合函数的定义有明确的理解4函数的定义域为（）A（， 1）B（， ）C（ 1，+）D （，1）（1，+）【考点】 函数的定义域及其求法；对数函数的单调性与特殊点【专题】 计算题【分析】 由 log0.5（4x3）0 且 4x3 0 可解得，【解答】 解：由题意知log0.5（4x3）0 且 4x 30，由此可解得，故选 A【点评】 本题考查函数的定义域，解题时要注意公式的灵活运用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

5、- - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - 5设，则使幂函数y=xa为奇函数且在（0，+）上单调递增的a 值的个数为（）A3 B4 C5 D6 【考点】 幂函数的单调性、奇偶性及其应用【专题】 函数的性质及应用【分析】 利用幂函数的奇偶性和单调性即可得出【解答】 解： 幂函数 y=xa在（ 0，+）上单调递增，a0又幂函数y=xa为奇函数，可知a 2当 a=时，其定义域关于原点不对称，应排除当 a=，1，3 时，其定义域关于原点对称，且满足f（ x）=f（x）故 a=，1，3 时，满足条件故满足条件的a 的值的个数为3故选 A【点评】 本题考查了幂函数的奇偶性和单

6、调性，属于基础题6若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）A三棱锥B四棱锥C五棱锥D六棱锥【考点】 棱锥的结构特征【专题】 图表型【分析】 本题利用直接法解决若正六棱锥底面边长与侧棱长相等，正六棱锥的侧面构成等边三角形， 侧面的六个顶角都为60 度，六个顶角的和为360 度，这是不可能的， 故侧棱长l和底面正六边形的边长不可能相等从而选出答案【解答】 解：若正六棱锥底面边长与侧棱长相等，则正六棱锥的侧面构成等边三角形，侧面的六个顶角都为60 度，六个顶角的和为360 度，这样一来，六条侧棱在同一个平面内，这是不可能的，故选 D【点评】 本题考查棱锥的结构特征，周角的性质等，属于基础题

7、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - 7已知 a0，b0 且 ab=1，则函数 f（x）=ax与函数 g（x）=logbx 的图象可能是 （）ABCD【考点】 对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质【专题】 常规题型；数形结合【分析】 由条件 ab=1 化简 g（x）的解析式，结合指数函数、对数函数的性质可得正确答案【解答】 解： ab=1，且 a0，b0 又所以 f（x）与 g（x）的底数相同，单调性相同故选

8、B 【点评】 本题考查指数函数与对数函数的图象，以及对数运算，属中档题8设函数f（x）=f（） lgx+1 ，则 f（10）值为（）A1 B 1 C10 D【考点】 函数的值；对数的运算性质名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - 【专题】 计算题；方程思想【分析】 令 x=10 和 x=分别代入f（x）=f（）lgx+1 ，列出两个方程利用消元法求出f（10）【解答】 解：令 x=10，代入 f（x）=f（） lgx+

9、1 得，f（10）=f（）lg10+1 令 x=得， f（）=f（10）lg+1 ，联立 ，解得 f（10）=1故选 A【点评】 本题考查了利用方程思想求函数的值，由题意列出方程， 构造方程组用消元法求解9一只蚂蚁从正方体ABCD A1B1C1D1的顶点 A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）ABCD【考点】 平行投影及平行投影作图法【专题】 空间位置关系与距离【分析】 本题可把正方体沿着某条棱展开到一个平面成为一个矩形，连接此时的对角线AC1即为所求最短路线【解答】 解：由点 A 经正方体的表面，按最短路线爬行到

10、达顶点C1位置，共有6 种展开方式，若把平面ABA1和平面 BCC1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过 BB1的中点，故此时的正视图为 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - 若把平面 ABCD 和平面 CDD1C1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过 CD 的中点，此时正视图会是 其它几种展开方式对应的正视图在题中没有出现或者已在中了，故选 C 【点评】 本题考查空间几何体的展开图与三视图，是一道基础题

11、10已知 x0是函数 f（x）=2x+的一个零点 若 x1 （1，x0），x2 （x0，+），则（）Af（x1） 0，f（x2） 0 Bf（x1） 0，f（x2） 0 Cf（x1）0，f（x2） 0 Df（x1） 0，f（x2） 0 【考点】 函数零点的判定定理【专题】 函数的性质及应用【分析】 因为 x0是函数 f（x）=2x+的一个零点可得到 f（x0）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案【解答】 解： x0是函数 f（x） =2x+的一个零点 f（x0）=0 f（x）=2x+是单调递增函数，且x1 （1，x0）， x2 （x0，+），f（x1） f（x0）=0f（x2）故选 B【点评

12、】 本题考查了函数零点的概念和函数单调性的问题，属中档题11对于实数m， n 定义运算 “ ” ：mn=，设 f（x）=（2x1）（x1），且关于x 的方程 f（x）=a 恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则 x1x2x3的取值范围是（）A（，0）B（，0）C（ 0，）D（ 0，）【考点】 函数的零点与方程根的关系【专题】 综合题；函数的性质及应用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - 【分析】 由新定义，可以

13、求出函数的解析式，进而求出x 的方程为f（x）=m（m R）恰有三个互不相等的实数根时，实数m 的取值范围，及三个实根之间的关系，进而求出x1x2x3的取值范围【解答】 解：由 2x1 x1，得 x 0，此时 f（x）=（2x1）* （x1）=（ 2x1）2+2（2x1）（ x1） 1= 2x，由 2x1x1，得 x0，此时 f（x）=（ 2x1）*（x1）=（x1）2（ 2x1）（ x1）=x2+x，f（x）=（ 2x1） （x 1）=，作出函数的图象可得，要使方程f（x）=m（m R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，不妨设x1x2x3，则 0 x2 x31，且 x2和 x3，关于

14、 x=对称，x2+x3=2 =1则 x2+x3 2， 0 x2x3，等号取不到当 2x=时，解得 x=， x10，0 x2x3，x1x2x30，即 x1x2x3的取值范围是（，0），故选： A【点评】 本题考查根的存在性及根的个数判断，根据已知新定义，求出函数的解析式，并分析出函数图象是解答的关键名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - 12奇函数f（x）、偶函数g（x）的图象分别如图1、2 所示，方程f（g（x） =0

15、、g（f（x） =0 的实根个数分别为a、b，则 a+b=（）A14 B10 C7 D3 【考点】 奇偶函数图象的对称性【专题】 计算题【分析】 先利用奇函数和偶函数的图象性质判断两函数的图象，再利用图象由外到内分别解方程即可得两方程解的个数，最后求和即可【解答】 解：由图可知，图1 为 f（x）图象，图2 为 g（x）的图象， m （ 2， 1）， n（1，2）方程 f（ g（x） =0? g（x）=1 或 g（x） =0 或 g（x）=1? x=1，x=1，x=m，x=0，x=n，x= 2，x=2，方程 f（ g（x） =0 有 7 个根，即 a=7；而方程 g（f（x） =0? f（x）

16、=a或 f（x）=0 或 f（x）=b? f（x）=0? x=1，x=0，x=1，方程 g（f（x） =0 有 3 个根，即b=3 a+b=10 故选B 【点评】 本题主要考查了函数奇偶性的图象性质，利用函数图象解方程的方法，数形结合的思想方法，属基础题二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - 13函数 f（x）=（xx2）的单调递增区间是，1）【考点】 复合函数

17、的单调性【专题】 函数的性质及应用【分析】 令 t=xx20，求得函数的定义域为（0，1），且 f（x）=，本题即求函数t 在（ 0，1）上的减区间再利用二次函数的性质可得结论【解答】 解：令 t=xx20，求得 0 x1，故函数的定义域为（0，1），且 f（x）=，故本题即求函数t 在（ 0，1）上的减区间再利用二次函数的性质可得函数t 在（ 0，1）上的减区间为，1），故答案为： ，1）【点评】 本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题14已知函数f（x）=，则 f（ln3）=e【考点】 函数的值【专题】 函数的性质及应用【分析】 根据分段函

18、数的表达式直接代入即可得到结论【解答】 解： 1ln32，2ln3+13，由分段函数的表达式可知，f（ ln3）=f（1+ln3）=f（ln3e）=，故答案为： e【点评】 本题主要考查函数值的计算，利用分段函数的表达式直接代入即可，比较基础名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - 15已知一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是顶角为120 的等腰三角形，则该三棱锥的侧视图面积为1【考点】 由三视图求面积、体积

19、【专题】 规律型【分析】 根据三视图的原则，高平齐、长对正、宽相等来判断几何体的俯视图即可【解答】 解：根据三棱锥的俯视图是顶角为120 的等腰三角形，且底边长为2，三棱锥的底面三角形的高为 tan30 =1，即，侧视图的宽为1，由正视图的高为2? 侧视图的高为2，其面积 S=1故答案是： 1【点评】 本题考查简单几何体的三视图，属基础题16关于 x 的一元二次方程x2+（m1）x+1=0 在区间 0，2上恰有唯一根，则实数m 的取值范围是（ ， 1【考点】 函数的零点与方程根的关系【专题】 计算题；函数的性质及应用【分析】 当=（ m 1）24=0 时，易知 m=1 时，方程成立； 当0 时

20、，（0+0+1） （4+2（m1）+1） 0，从而解得【解答】 解：当 =（m1）2 4=0，即 m=1或 m=3 时，易知 m= 1 时，方程的根为1，成立；当 0，则（0+0+1）（ 4+2（m1）+1） 0，解得， m ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - 故答案为：（， 1 【点评】 本题考查了方程的根与函数的关系应用三、解答题（本大题共6 题，共 70 分， 17 题 10 分，其余5题各 12 分.解

21、答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（ 1）计算： log3+lg25+lg4+log23log34；（2）设集合A=x| 2x 4，B=x|m 1x2m+1 若 AB=A ，求 m 的取值范围【考点】 对数的运算性质；并集及其运算【专题】 计算题；对应思想；定义法；函数的性质及应用；集合【分析】 （1）根据对数的运算性质即可求出，（2）先化简集合A，在分类讨论即可求出m 的范围【解答】 解： （1）log3+lg25+lg4+log23log34=+lg100+2+=+2+2+2=（2）设集合A=x| 2x 4= 2，5，B=x|m 1x2m+1 AB=A ，B? A，当 B=?时，即

22、 m 1 2m+1 时，解得m 2，满足题意，当 B ?时，则解得 1 m 2，综上所述m 的取值范围为（， 21，2【点评】 本题考查了对数的运算和性质和集合与集合之间的关系，属于基础题18设函数f（x） =，则：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - （1）证明： f（x）+f（1x）=1；（2）计算： f（）+f（）+f（）+ +f （）【考点】 函数的值【专题】 计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用

23、【分析】 （1）直接化简f（x）+f（1x）即可得到答案；（2）利用（ 1）中的结论，结合倒序相加法求得f（）+f （）+f（）+f（）【解答】 （1）证明： f（x） =，f（x）+f（1x）=+=+=+=；（2）解： f（x）+f（1x）=1，设 f（）+f（）+f（）+ +f （）=m，则 f（）+f（）+ +f（）+f（）=m，两式相加得2m=2014 ，则 m=1007，故答案为： 1007【点评】 本题考查函数值的求法，训练了函数问题中的倒序相加法，是中档题19设二次函数f（x）=ax2+bx+c 的图象过点（ 0，1）和（ 1，4），且对于任意的实数x，不等式 f（ x） 4x

24、恒成立（1）求函数f（x）的表达式；（2）设 g（x）=kx+1 ，若 F（x）=g（ x） f（x），求 F（x）在 1，2上的最小值；（3）设 g（x）=kx+1 ，若 G（ x）=在区间 1，2上是增函数，求实数k的取值范围名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - 【考点】 函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质【专题】 函数的性质及应用【分析】 （1）利用题意，推出混合组，求出a、b、c，

25、即可求函数f（x）的表达式；（2）化简函数F（x）=g（x） f（x）的表达式，通过对称轴所在位置，讨论即可求F（x）在1，2上的最小值（3）通过化简表达式，在区间1，2上是增函数，转化F（x）=x2+（k2）x 在1，2上为增函数且恒非负，得到不等式组，即可求实数 k 的取值范围【解答】 解：（ 1）由题意知（4 分）（2）F（x） =g（x） f（x）=x2+（k2）x，x 1，2，对称轴当，即 k 5 时， F（x）max=F（2）=2k8 当，即 k5 时， F（x）max=F（1）=k3 综上所述， （8 分）（3），由 G（x）在区间 1，2上是增函数得F（x）=x2+（k2）x

26、在1，2上为增函数且恒非负故 （10 分）【点评】 本题考查函数恒成立问题的应用，函数的单调性以及函数的解析式的求法，考查计算能力名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - 20已知函数是奇函数（ a0 且 a 1）（1）求 m 的值；（2）判断 f（x）在区间（ 1，+）上的单调性并加以证明【考点】 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明【专题】 函数的性质及应用【分析】 （1）由奇函数可得：f（ x）+f（x）=0

27、，求出 m 的值之后，再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可；（2）根据函数的单调性和对数函数的单调性即可证明【解答】 解：（ 1）已知函数是奇函数（ a0 且 a 1），f（ x）+f（x）=0，即，即 1m2x2=1x2，m2=1，解得 m= 1又，m=1 应舍去当 m=1 时，f（x）=，其定义域为 x|x 1，或 x1关于原点对称，故适合m=1（2）当 a1 时， f（x）在区间（ 1，+）上单调递减，下面给出证明设 1x1 x2，则 f（x1） f（x2）=而（ 1+x1）（ x21）（ x11）（ 1+x2）=2（x2x1） 0，及（ x11）（ 1+x2） 0，又 a1，名师

28、资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - f（x1） f（x2）当 0a1 时，同理可证f（x）在区间（ 1，+）上单调递增【点评】 掌握函数的奇偶性和单调性是正确解题的关键21已知函数f（x）=+3（ 1 x 2）（1）若 =时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的最小值是1，求实数 的值【考点】 函数的最值及其几何意义；函数的值域【专题】 计算题；函数的性质及应用【分析】 （1）化简（ 1 x 2），再利用换元

29、法得g（t）=t22 t+3（）；从而代入 =求函数的值域；（2）g（t）=t22 t+3=（t ）2+32（），讨论 以确定函数的最小值及最小值点，从而求 【解答】 解：（ 1）（ 1 x 2）设，得 g（ t）=t22 t+3（）当时，（）所以，所以，故函数 f（ x）的值域为 ，（2）由（ 1）g（t）=t22 t+3=（t ）2+32（） 当时，令，得，不符合舍去；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - 当时

30、，令 2+3=1，得，或，不符合舍去； 当 2 时， g（t）min=g（2）= 4 +7，令 4 +7=1，得，不符合舍去综上所述，实数 的值为【点评】 本题考查了函数的值域的求法及函数的最值的应用，属于基础题22已知函数f（x）=2|xm|和函数 g（ x）=x|xm|+2m8，其中 m 为参数，且满足m 5（1）若 m=2，写出函数g（x）的单调区间（无需证明）；（2）若方程f（x）=2|m|在 x 2，+）上有唯一解，求实数m 的取值范围；（3）若对任意x1 4，+），存在 x2 （ ，4，使得 f（x2）=g（x1）成立，求实数m的取值范围【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用；

31、利用导数研究函数的单调性【专题】 导数的综合应用【分析】 （1）由二次函数性质可知函数g（x）的单调增区间为（，1），（ 2，+），单调减区间为（1，2）；（2）方程 f（x）=2|m|可化为（ xm）2=m2，解得 x=0 或 x=2m，根据题意可得2m=0 或 2m 2，从而可知实数m 的取值范围；（3）由题意可知g（x）的值域应是f（x）的值域的子集分情况讨论f（x）和 g（x）的值域，即可确定实数m 的取值范围【解答】 解：（ 1）m=2 时，函数 g（x）的单调增区间为（，1），（ 2，+），单调减区间为（1，2）（2）由 f（x）=2|m|在 x 2，+）上有唯一解，得|xm|=|

32、m|在 x 2，+）上有唯一解名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - 即（ xm）2=m2，解得 x=0 或 x=2m，由题意知2m=0 或 2m 2，即 m 1 或 m=0综上， m 的取值范围是m 1 或 m=0（3）由题意可知g（x）的值域应是f（x）的值域的子集 m 4 时， f（x）在（ ，m）上单调递减，m，4上单调递增，f（x） f（m）=1g（x）在 4，+）上单调递增，g（x） g（4）=82m，82m 1，即 当 4m 5 时， f（x）在（ ，4上单调递减，故 f（x） f（4）=2m4，g（x）在 4， m上单调递减，m，+）上单调递增，故 g（x） g（m） =2m8 2m4 2m8，解得 5 m 6又 4m 5，m=5 综上， m 的取值范围是【点评】 本题考查导数在函数单调性中的应用，方程根的存在定理，以及存在性问题的转化，属于难题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - -