2022年最新人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理导学案 .pdf

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1、第十七章勾股定理第一课时 17.1 勾股定理（ 1）学习目标：1了解勾股定理的发现过程， 掌握勾股定理的内容， 会用面积法证明勾股定理。2培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。3 介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情， 促其勤奋学习。学习重点：勾股定理的内容及证明。学习难点：勾股定理的证明。学习过程：一、自主学习画一个直角边为3cm和 4cm的直角 ABC ，用刻度尺量出 AB的长。 （勾 3，股 4，弦 5） 。以上这个事实是我国古代3000 多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意

2、思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。再画一个两直角边为5 和 12 的直角 ABC ，用刻度尺量 AB的长。你是否发现 32+42与 52的关系， 52+122和 132的关系，即 32+42_52，52+122_132，那么就有 _2+_2=_2。( 用勾、股、弦填空 ) 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？勾股定理内容文字表述：几何表述：二、交流展示例 1、已知：在 ABC 中， C=90 ， A、 B、C的对边为 a、b、c。求证： a2b2=c2。分析：准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。拼成如图所示，其等量关系为：4S

3、+S小正=S大正即 4212c2, 化简可证。发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。勾股定理的证明方法，达300 余种。这个古老而精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。abcc名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 例 2 已知：在 ABC中， C=90 ， A、B、C的对边为 a、b、c。求证： a2b2=c2。分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。左边 S

4、=_ 右边 S=_ 左边和右边面积相等，即_ 化简可得_ 三、合作探究1已知在 RtABC 中， B=90，a、b、c 是ABC的三边，则c= 。 （已知 a、b，求 c）a= 。 （已知 b、c，求 a）b= 。 （已知 a、c，求 b）2如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有 abc，试根据表中已有数的规律，写出当 a=19时，b，c 的值，并把 b、c 用含 a 的代数式表示出来。3、4、5 32+42=525、12、13 52+122=1327、24、25 72+242=2529、40、41 92+402=41219，b、c 192+b2=c23ABC的三边 a、b、c，（1）若

5、满足 b2= a2c2，则 =90；（2）若满足 b2c2a2，则 B是角；（3）若满足 b2c2a2，则 B是角。四、达标测试1一个直角三角形，两直角边长分别为3 和 4，下列说法正确的是 ( ) 2斜边长为 25 B三角形的周长为25 C斜边长为 5 D三角形面积为20 3一直角三角形的斜边长比一条直角边长多2，另一直角边长为6，则斜边长为（）A4 B8 C10 D12 bbbbccccaaaabbbbaaccaa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14

6、页 - - - - - - - - - ACBD4直角三角形的两直角边的长分别是5 和 12，则其斜边上的高的长为（）A6 B8 C1380 D13605、已知，如图1-1-5 ，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD使点 D落在BC边的点 F 处，已知 AB=8cm ，BC =10cm ，求 CF CE 第二 课时 17.1 勾股定理（ 2）教学目标：1会用勾股定理进行简单的计算。 2树立数形结合的思想、分类讨论思想。重难点：1重点：勾股定理的简单计算。 2难点：勾股定理的灵活运用。一、自主学习1 勾股定理的具体内容是：。2如图，直角 ABC的主要性质是： C=90 ， （用几何语

7、言表示）两锐角之间的关系：；若 D为斜边中点，则斜边中线与斜边的关系：；若 B=30，则 B的对边和斜边的关系：；三边之间的关系：。二、交流展示例 1、在 RtABC ，C=90 已知 a=b=5,求 c。已知 a=1,c=2, 求 b。已知 c=17,b=8, 求 a。已知 a：b=1：2,c=5, 求 a。已知 b=15， A=30，求 a，c。ABCDEF图 1-1-5 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - D

8、CBA分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。已知 _边，求_边, 直接用 _定理。已知 _边和_边，求 _边，用勾股定理的变形式。已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。例 2、已知直角三角形的两边长分别为5 和 12，求第三边。分析：已知两边中较大边12 可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。三、合作探究例 3、已知：如图，等边 ABC

9、的边长是 6cm 。求等边 ABC的高. 求 SABC。分析：勾股定理的使用范围是在_三角形中，因此注意要创造_三角形，作 _是常用的创造 _三角形的辅助线做法。欲求高 CD ，可将其置身于RtADC 或 RtBDC 中。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - ACBD四、达标测试1填空题在 RtABC ，C=90 ，a=8，b=15，则 c= 。在 RtABC ，B=90，a=3，b=4，则 c= 。在 RtABC

10、，C=90 ，c=10，a：b=3：4，则 a= ，b= 。一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。已知直角三角形的两边长分别为3cm和 5cm ， ，则第三边长为。已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为，面积为。2已知：如图，在 ABC中， C=60 ，AB=34，AC=4 ，AD是 BC边上的高，求 BC的长。3已知：如图，四边形ABCD 中，AD BC ，AD DC ，AB AC ，B=60， CD=1cm ，求 BC的长。第三课时 17.1 勾股定理（ 3）学习目标： 1会用勾股定理解决简单的实际问题。2树立数形结合的思想。重点：勾股定理的应用。难点：实际问题向数学

11、问题的转化。学习过程：一、自主学习填空 : 在 RtABC ，C=90 ，如果 a=7，c=25，则 b= 。如果 A=30，a=4，则 b= 。如果 A=45，a=3，则 c= 。 如果 c=10，a-b=2，则 b= 。如果 a、b、 c 是连续整数， 则 a+b+c= 。如果 b=8， a： c=3： 5， 则 c= 。BCDA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 30ABCACBRPQ二、交流展示例 1（教材

12、 P25页例 1）分析：在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件， 即门框为长方形，四个角都是直角。探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？转化为勾股定理的计算，采用多种方法。小结深化数学建模思想，激发兴趣。三、合作探究例 2（教材 P25页例 2）如图，一个 3 米长的梯子 AB ，斜靠在一竖直的墙AO上，这时 AO的距离为 2.5 米 如果梯子的顶端 A沿墙下滑 0.5米，那么梯子底端B也外移 0.5 米吗？（计算结果保留两位小数）分析：要求出梯子的底端B 是否也外移 0.5 米，实际就是求 BD的长

13、，而 BD =OD - OB四、达标测试1小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45 度的坡路走了 500 米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。2如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米。3如图，一根12 米高的电线杆两侧各用15 米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。2 题图 3题图 4题图 5题图4如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使 AC垂直江岸，测得 BC=50米， B=60，则江面的宽度为。DABCO B D CA C A O B O D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

14、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - CAB5一根 32 厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点， PQ=16 厘米，且 RP PQ ，则RQ= 厘米。6有一个边长为1 米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米。7如图，原计划从A地经 C地到 B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到 B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300 万元，隧道总长为2 公里，隧道造价为 500 万元， AC=80公里， BC=60公里，则改建后可省

15、工程费用是多少？8如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24 米，B=C=30 ，E、F 分别为 BD 、CD中点，试求 B、C两点之间的距离，钢索 AB和 AE的长度。（精确到 1 米）第四课时 17.1 勾股定理（ 4）教学目标 1会用勾股定理解决较综合的问题。2树立数形结合的思想。重难点 1重点：勾股定理的综合应用。2难点：勾股定理的综合应用。一、自主学习如图，水池中离岸边D点 1.5 米的 C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是 0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到 D点，并求水池的深度AC. ACBDEF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

16、 - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - BACD例 4（教材 P26页探究）分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。（变式训练：在数轴上画出表示22 ,13的点。 ）二、交流展示例 1：已知：在 RtABC中， C=90 ，CD BC于 D，A=60，CD=3，求线段 AB的长。分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”需要掌握的知识点有：3 个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，

17、及30或 45特殊角的特殊性质等。三、合作探究1、 探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数， 你能在数轴上画出表示13的点吗？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 分析： (1) 若能画出长为13的线段，就能在数轴上画出表示13的点. (2)由勾股定理知，直角边为1 的等腰 Rt，斜边为2因此在数轴上能表示2的点那么长为13的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？在数轴上画出表示17的点？（尺

18、规作图）2、如图：螺旋状图形是由若干个直角三角形所组成的，其中是直角边长为1 的等腰直角三角形。那么OA1 ,OA2 ,OA3 ,OA4 , OA5 ,OA6 ,OA7 ,OA14 , ,OAn . 四、达标测试1ABC中，AB=AC=25cm，高 AD=20cm, 则 BC= ，SABC= 。2ABC中，若 A=2B=3C ，AC=32cm ，则 A= 度， B= 度, C= 度，BC= ，SABC= 。3ABC中， C=90 ，AB=4 ，BC=32，CD AB于 D， 则 AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,SABC= 。4已知：如图，在 ABC中，AD BC于 D，AB =6，AC

19、 =4，BC =8，求 BD ，DC的长. 5 O 1 2 3 4 5 O 1 2 3 4 DACB218-x64x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 5、已知：如图，四边形ABCD 中，AB =2，CD =1，A=60, B=D =90. 求四边形 ABCD的面积。第五课时 17.2 勾股定理的逆定理（ 1）教学目标 1体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。2探究勾股定理的逆定理的证明方法。3理解原

20、命题、逆命题、逆定理的概念及关系。重难点 1重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。2难点：勾股定理的逆定理的证明。一、自主学习1. 说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？同旁内角互补，两条直线平行。如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半。2. 勾股定理的逆定理_ 小结注： (1) 每一个命题都有逆命题 . (2) 一个命题的逆命题是否成立与原命题是否成立没有因果关系. (3) 每个定理都有逆命题，但不一定都有逆定理. ACEDB6012名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

21、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - abcabBCAA1C1B1二、交流展示例 1（P32探究）证明：如果三角形的三边长a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。例 2：判断由线段 a,b,c 组成的三角形是不是直角三角形：( 理解勾股数 ) （1）a=15, b=8, c=17. （2）a=13, b=14, c=15. 运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先判断那条边最大。分别用代数方法计算出a2+b2和 c2的值。判断

22、a2+b2和 c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。三、合作探究例 3、已知：在 ABC 中， A、B、C的对边分别是 a、b、c，a=n21，b=2n，c=n21（n1）求证： C=90 。四、达标测试1填空题。任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有。“两直线平行，内错角相等。 ”的逆定理是。在 ABC中，若 a2=b2c2，则 ABC是三角形，是直角；若 a2b2c2，则 B是。若在 ABC中，a=m2n2，b=2mn ，c= m2n2，则 ABC是三角形。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

23、 - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - (5) ABC的三边之比是 1：1：2，则 ABC是_三角形。2ABC中A、B、C的对边分别是 a、b、c，下列命题中的假命题是（）A如果 C B=A，则 ABC 是直角三角形。B如果 c2= b2a2，则 ABC 是直角三角形，且 C=90 。C如果（ ca） （ca）=b2，则 ABC是直角三角形。D如果 A：B：C=5：2：3，则 ABC是直角三角形。3下列四条线段不能组成直角三角形的是（）Aa=8，b=15，c=17 Ba=9，b=12，c=15 Ca=5，b=3，c=2

24、 Da：b：c=2：3：4 4已知：在 ABC中， A、B、C 的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？a=3，b=22，c=5；a=5，b=7，c=9；a=2，b=3，c=7；a=5，b=62，c=1。 (5)a=5k，b=12k，c=13k（k0） 。第六课时 17.2 勾股定理的逆定理（ 2）教学目标 1灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。重难点 1重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。一、自主学习1、若三角形的三边是1、3、2；51,4

25、1,31；32，42，529，40，41；（m n）21，2（m n） ， （m n）21；则构成的是直角三角形的有（）A2 个 B个个个2、已知：在 ABC中， A、B、C 的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？a=9，b=41，c=40；a=15，b=16，c=6；a=2，b=32，c=4；二、交流展示名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 例 1（P33 例

26、 2）某港口 P 位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里， 它们离开港口一个半小时后分别位于Q 、 R处， 并相距 30 海里. 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？分析：了解方位角，及方位名词；依题意画出图形；依题意可求PR ，PQ ，QR ；根据勾股定理的逆定理，求 QPR ；求 RPN 。小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。例 2、一根 30 米长的细绳折成 3 段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7 米，比

27、较长边短 1 米，请你试判断这个三角形的形状。分析：若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；设未知数列方程，求出三角形的三边长；根据勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形。三、合作探究例 3如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算DCABENRPQ海天号远航号2 1海岸线名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - ABCD一下产量。小明找了一卷米尺， 测得 AB

28、=4米， BC=3米， CD=13米， DA=12米， 又已知 B=90 。四、达标测试1一根 24 米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，此三角形的形状为。2小强在操场上向东走80m后，又走了 60m ，再走 100m回到原地。小强在操场上向东走了 80m后，又走 60m的方向是。3一根 12 米的电线杆 AB ，用铁丝 AC 、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上 B、C两点之间距离是 9 米，B、D两点之间距离是 5 米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？4如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距 13 海里的 A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120 海里，乙巡逻艇每小时航行50 海里，航向为北偏西40，问：甲巡逻艇的航向？C A B E N 13 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -