高中数学A版2.3数学归纳法优秀ppt课件.ppt

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1、新课导入 回忆回忆nnn+1naaa=(n = 1 2 3)1+a1 1对对于于数数列列 ，已已知知a a = =1 1， ，此此数数列列的的通通项项公公式式是是什什么么？n1a =.n通过对通过对n=1，2，3，4前前4项的归纳，我们项的归纳，我们已经猜出其通项公式为已经猜出其通项公式为 这个猜想对前这个猜想对前4项成立，但项成立，但是，能肯定它对后续的项也成立是，能肯定它对后续的项也成立吗？吗？ 这个猜想需要证明，自然地，我们会想这个猜想需要证明，自然地，我们会想到从到从n=5开始一个个往下验证开始一个个往下验证.这个方法这个方法可行吗可行吗?我们来分析此方法：我们来分析此方法： 一般来说

2、，与正整数一般来说，与正整数n有关的命题，当有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当比较小时可以逐个验证，但当n比较大时，比较大时，验证起来会很麻烦验证起来会很麻烦.特别是证明特别是证明n取所有正整取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的数都成立的命题时，逐一验证是不可能的.因此，因此，从从n=5开始逐个往下验证的想法价值开始逐个往下验证的想法价值不大不大.我们需要我们需要另辟蹊径另辟蹊径，寻求一种方法：，寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整取所有正整数都成立数都成立.教学目标 【知识与能力知识与能力】 1. 了解数学归纳法的基本思想，掌握了解

3、数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤它的基本步骤.2. 运用数学归纳法证明一些与正整数运用数学归纳法证明一些与正整数n(n取无限多个值取无限多个值)有关的数学命题有关的数学命题. 【过程与方法过程与方法】 1. 通过丰富的实例，让学生合作探讨，通过丰富的实例，让学生合作探讨，从中体会数学归纳法的思想实质从中体会数学归纳法的思想实质.2. 结合实例，让学生们掌握运用数学归结合实例，让学生们掌握运用数学归纳法证明数学命题纳法证明数学命题. 【情感态度与价值观情感态度与价值观】 培养学生的逻辑思维能力，使思维严谨培养学生的逻辑思维能力，使思维严谨. 递推思想的形成，能够扩展思维递推思想的形成，能够

4、扩展思维.教学重难点借助具体实例了解数学归纳法的基本思借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数正整数n(n取无限多个值取无限多个值)有关的数学命题有关的数学命题.理解数学归纳法的思想实质，了解第二个理解数学归纳法的思想实质，了解第二个步骤的作用，根据归纳假设作出证明步骤的作用，根据归纳假设作出证明;运用数学归纳法时，在运用数学归纳法时，在“归纳递推归纳递推”的步的步骤中发现具体问题的递推关系骤中发现具体问题的递推关系. 大家都听说过多米诺骨牌游戏，这是大家都听说过多米诺骨牌游戏，这是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相

5、一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下定导致后一块骨牌也倒下. .只要推到第一只要推到第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就可导致第三块骨牌倒下可导致第三块骨牌倒下最后，不论有最后，不论有多少块骨牌，都能全部倒下多少块骨牌，都能全部倒下. . 这个游戏中，能使所有多米诺这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？骨牌全部倒下的条件是什么？探究探究思考思考动动脑动动脑 大家想一想，自大家想

6、一想，自己总结出倒下的条件己总结出倒下的条件. 观看动画：多米诺骨牌观看动画：多米诺骨牌（1）第一块骨牌倒下）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下；倒下一定导致后一块倒下； 你认为条件（你认为条件（2）的作）的作用是什么？用是什么？ 可以看出，条件（可以看出，条件（2）事实上给出）事实上给出了一个递推关系：当第了一个递推关系：当第k块倒下时，相块倒下时，相邻的第邻的第k+1块也倒下块也倒下. 这样，只要第一块骨牌倒这样，只要第一块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相下，其他所有的骨牌就能够相继倒下继倒下.事实上，事实上，无论有多少块无论

7、有多少块骨牌，只要保证骨牌，只要保证(1)(2)成立，那成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒么所有的骨牌一定可以全部倒下下.大家现在能证明这个猜想吗？大家现在能证明这个猜想吗？ 这个猜想和多米诺骨牌游戏有相这个猜想和多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？决这个问题吗？n1nn+1nna a = 1aa=(n = 1 2 3)1+a1a =.n对对于于数数列列，已已知知， ，此此数数列列的的通通项项公公式式 游戏的条件（游戏的条件（1）由条件容易知道，由条件容易知道，n=1时猜想成立时猜想成立.游戏的条件（游戏的条件（2）下面我们证明此猜想

8、：下面我们证明此猜想：相当于相当于类比类比证明一个递推关系证明一个递推关系.考虑考虑继续解答继续解答事事实实上上，如如果果，那那么么，即即时时猜猜想想也也成成立立kkk +1ka1a=a=k1 + a11k=n = k + 1.1k + 11 +k如果如果n=k时猜想成立，即时猜想成立，即 ， 那么当那么当n=k+1时猜想也成立，即时猜想也成立，即 . k1a=kk+11a=k +1 这样，对于猜想，由已知这样，对于猜想，由已知n=1成立，成立，就有就有n=2也成立；也成立；n=2成立，就有成立，就有n=3也也成立；成立； n=3成立，就有成立，就有n=4也成立；也成立； n=4成立，就有成立

9、，就有n=5也成立也成立所以，对任所以，对任意的正整数意的正整数n，猜想都成立，猜想都成立.继续解答继续解答此猜想正确，即此猜想正确，即n1a =.n此此数数列列的的通通项项公公式式 一般地，证明一个一般地，证明一个与正整数与正整数n有关有关的命题的命题，可按下列步骤进行：，可按下列步骤进行：1.证明当证明当n取第一个值取第一个值n0 时命题成立；时命题成立；2.假设当假设当n=k(k N*，kn0)时命题成立，时命题成立，证明当证明当n=k+1时命题也成立时命题也成立.这种证明方法就叫做这种证明方法就叫做 数学归纳法数学归纳法.归纳奠基归纳奠基归纳递推归纳递推用框图来表示此证明方法用框图来表

10、示此证明方法:验证验证n=n0 时时命题成立命题成立.当当n=k(kn0)时命题成时命题成立，证明立，证明n=k+1时命时命题也成立题也成立.归纳奠基归纳奠基归纳递推归纳递推命题对从命题对从n0开始所有的开始所有的正整数正整数n都成立都成立.用数学归纳法证题时用数学归纳法证题时,应注意的事项应注意的事项 : “归纳奠基归纳奠基”和和“归纳递推归纳递推”两两个步骤缺一不可，其中第一步是命题个步骤缺一不可，其中第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的根递推的基础，第二步是命题递推的根据据.具体说明如下：具体说明如下：(1)第一步第一步归纳奠基归纳奠基必须有第一步必须有第一步，如果没有第一，如果没

11、有第一步，证明不可靠；步，证明不可靠；用数学归纳法进行证明时，用数学归纳法进行证明时，第一步从第一步从n等于几开始，要根据具体问题而定等于几开始，要根据具体问题而定.如果要证明的命题是对不小于如果要证明的命题是对不小于 的全的全体正整数都成立，则要从体正整数都成立，则要从n= 证起；证起；0n0n如果要证明的命题是对全体正整数都如果要证明的命题是对全体正整数都成立的，则要从成立的，则要从n=1证起；证起；一般来说一般来说如果要证明的命题是对全体自然数如果要证明的命题是对全体自然数(包括包括0)都成立的，则要从都成立的，则要从n=0证起证起.(2)第二步第二步归纳递推归纳递推 “假设假设n=k(

12、k N*，kn0)时命题成立，证明时命题成立，证明当当n=k+1时命题也成立时命题也成立”,其其本质是证明一个递推本质是证明一个递推关系关系，归纳递推的作用是从前往后传递，有了这归纳递推的作用是从前往后传递，有了这种向后传递的关系，就能从一个起点（例如种向后传递的关系，就能从一个起点（例如n=1）不断发展，以至无穷不断发展，以至无穷.如果没有它，即使前面验如果没有它，即使前面验证了命题对许多正整数证了命题对许多正整数n都成立，也不能保证命都成立，也不能保证命题对后面的所有正整数都成立题对后面的所有正整数都成立.注意注意 用数学归纳法证明命题时，用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在难点和关键都

13、在第二步第二步，而第二步主要在于合理运用归纳假设，而第二步主要在于合理运用归纳假设，即以即以“n=k时命题成立时命题成立”为条件，结合其他数学为条件，结合其他数学知识，证明知识，证明“当当n=k+1时命题成立时命题成立”.不能不使用不能不使用“n=k时命题成立时命题成立”这个条件，而直接将这个条件，而直接将n=k+1代代入命题，便断言此时命题成立因为这样的入命题，便断言此时命题成立因为这样的“证明证明”并不推出递推关系：并不推出递推关系：n=k时命题成立时命题成立n=k+1时命题也成立时命题也成立.归纳归纳数学归纳法的适用范围：数学归纳法的适用范围： 数学归纳法一般被用于证明某些与正整数学归纳

14、法一般被用于证明某些与正整数数n(n取无限多个值取无限多个值)有关的数学命题，有关的数学命题，但是，但是，并不能简单地说所有与正整数并不能简单地说所有与正整数n(n取无限多个取无限多个值值)有关的数学命题都可以用数学归纳法证明，有关的数学命题都可以用数学归纳法证明，一般说，从一般说，从n=k时的情形过渡到时的情形过渡到n=k+1时的情时的情形，如果问题中存在可利用的递推关系，则数形，如果问题中存在可利用的递推关系，则数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难有困难.例题1用数学归纳法证明用数学归纳法证明提示提示222*n(n+1)(2n+1)1 +

15、2 +n =(nN ).62(1)n =111+12 1+11 =.6在在第第一一步步奠奠基基中中，验验证证时时命命题题成成立立，即即证证明明命命题题 （）（）2222222(2)“1 + 2 +kk(k + 1 (2k + 1)=,61 + 2 +k+ (k + 1)(k + 1)(k + 1) + 12(k + 1) + 1=6在在第第二二步步归归纳纳递递推推中中，就就是是要要证证明明条条件件命命题题 假假设设）那那么么”. . 证明的关键是证明的关键是，如何从如何从n=k时的情形过渡时的情形过渡到到n=k+1时的情形，时的情形，即：即：要证明要证明n=k+1时等式时等式成立，应如何利用成

16、立，应如何利用n=k时等式成立这个假设时等式成立这个假设.当当时时 ， 左左 边边，右右 边边，等等 式式 成成 立立，即即，那那 么么 ，假假 设设 当当时时 等等 式式 成成明明 ：立立证证*2222222222= 1= 11 (1 + 1 )(21 + 1 )= 16.k (k(1 )+ 1 )(2 k + 1 )1+ 2+ k=6k (k + 1 )(2 k + 1 ) =+ (k + 1 )6n = 1(2 )n = k (kN)1+ 2+k (k + k1 )(2 k + 1 ) + 6 (k + 1+ (k + ) =16 即即 当当时时 等等 式式 也也 成成，立立2(k +

17、1)(k + 1) + 1(k + 1)(2k+ 7k + 6)=6(k + 1)(k + 2)(2k + 3)2(k + 1) + 16n = k + 1=6=. 根据（根据（1）和（）和（2）,可知可知等式对任何正整数都成立等式对任何正整数都成立.这句是不可这句是不可缺少的！缺少的！注意注意例题2分析分析1234n11111 4 4 7 7 10(3n-2)(3n+1)SSSSS.已已知知数数列列， ， ，计计算算 ，根根据据计计算算结结果果，猜猜想想的的表表达达式式，并并用用数数学学归归纳纳法法进进行行证证明明 （1）猜想猜想 的表达是的关键是猜想其分母的表达是的关键是猜想其分母的表达式

18、的表达式.观察观察 的分母可以发的分母可以发现，第一项为现，第一项为4后面的每一项比前一项增加后面的每一项比前一项增加3，于是，我们猜想：于是，我们猜想： 的分母是首项为的分母是首项为4，公，公差为差为3的等差数列的等差数列.写出这个等差数列的通项写出这个等差数列的通项公式后，就容易猜想出公式后，就容易猜想出 的表达式的表达式.1234SSSS，nSnSnS (2)用数学归纳法证明时，要用数学归纳法证明时，要注意从注意从n=k时的时的情形到情形到n=k+1时的情形是怎样过渡时的情形是怎样过渡的，即要的，即要证明证明n=k+1时等式成立，应如何利用时等式成立，应如何利用n=k时等时等式成立这个假

19、设式成立这个假设.解：解：123411S=;144112S=+=;4477213S=+=;771 01 0314S=+=.1 01 01 31 3 可以看到，上面表示四可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项个结果的分数中，分子与项数数n一致，分母可用项数一致，分母可用项数n表表示为示为3n+1,于是可以猜想于是可以猜想nnS =3n +1当当时时假假 设设 当当时时 猜猜 想想， 左左 边边，右右 边边，成成即即立立1*n = 1n = k(kN1(1)= S=4n11=3n + 131 + 14(2)111+14477101k=(3k - 2)(3k + 1)k1)3+ 下面我们用数学

20、归纳法证明这个下面我们用数学归纳法证明这个猜想猜想.当当时时猜猜想想也也成成立立那那么么，所所以以，2111+1 4477 1011+(3k -2)(3k +1)3(k +1)-23(k +1)+1k13k +4k +1=+=3k +1(3k +1)(3k +4)(3k +1)(3k +4)(3k +1)(k +1)k +1=(3k +1)(3k +4n = k +)3(k +1)+11. 根据根据(1)和和(2),可知等式对任何正整可知等式对任何正整数都成立数都成立.课堂小结1.数学归纳法的概念：数学归纳法的概念： 证明当证明当n取第一个值取第一个值n0 时命题成立；时命题成立；假设当假设当

21、n=k(k N*，kn0)时命题成立，证时命题成立，证明当明当n=k+1时命题也成立时命题也成立.2.数学归纳法两个步骤间的关系数学归纳法两个步骤间的关系: “第一步第一步归纳奠基和第二步归纳奠基和第二步归归纳递推纳递推”两个步骤缺一不可，其中第一步是两个步骤缺一不可，其中第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的根据命题递推的基础，第二步是命题递推的根据.3.数学归纳法的适用范围：数学归纳法的适用范围： 一般来说，数学归纳法只适用于和正整一般来说，数学归纳法只适用于和正整数有关的命题数有关的命题. 高考链接 nmm11-1时，时， (1+x)m1+mx；（）对于）对于n6，已知，已知 n11

22、1-11+x0，于是在于是在不等式不等式k(1+x)1+kx两边同时乘以两边同时乘以1+x得得k2(1+ x)(1+ x)(1+kx)(1+ x)= 1+(k +1)x +kx1+(k +1)x 所以所以k+1(1+x)1+(k+1)x.即即m=k+1时，不等时，不等式也成立式也成立. 综合（综合（）（）（）知，对一切正整数）知，对一切正整数m ，不等式都成立不等式都成立（）证：当）证：当n6，mn时时， 由（由（）得）得 m1m1+1-0n+3n+3，于是于是 nnmm11-1-=n+3n+3mnm111-n+32m = 1 2n， ，随堂练习1、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明 （a1）

23、，在验证），在验证n=1等式成立时等式成立时 ，左边应取的，左边应取的项是项是_.n+223n+11-a1+a+a +a +a=1-a填空填空1+a+a22、某个命题当、某个命题当n=k (kN )时成立，可证得当时成立，可证得当n=k+1时也成立时也成立.现在已知当现在已知当n=5时该命题不成时该命题不成立，那么可推得（立，那么可推得（ ）A. n=6时该命题不成立时该命题不成立 B. n=6时该命题成立时该命题成立 C. n=4时该命题不成立时该命题不成立 D. n=4时该命题成立时该命题成立选择选择C解答题解答题用数学归纳法证明用数学归纳法证明21 4+2 7+3 10+n(3n+1)=

24、n(n+1) 证明：证明：（1）当）当n=1时，左边时，左边144，右边右边1224，等式成立，等式成立.（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，就是时，等式成立，就是21 4+2 7+3 10+k(3k +1)= k(k +1) , 2 22 22 2那那 么么 1 14 4 + + 2 27 7 + + 3 31 10 0 + +k k( (3 3k k + + 1 1) ) ( (k k + + 1 1) ) 3 3( (k k + + 1 1) )+ + 1 1= = k k( (k k + + 1 1) ) + +( (k k + + 1 1) ) 3 3( (k k + + 1 1

25、) )+ + 1 1= = ( (k k + + 1 1) ) k k( (k k + + 1 1) )+ + 3 3( (k k + + 1 1) )+ + 1 1 = = ( (k k + + 1 1) )( (k k+ + 4 4k k + + 4 4) )= = ( (k k + + 1 1) ) ( (k k + + 1 1) )+ + 1 1 这就是说，当这就是说，当n=k+1时等式也成立时等式也成立.根据根据（1）和（）和（2），可知等式对任何），可知等式对任何nN都成立都成立.2、求证、求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3 (2n-1)证明：证明： n=1时：左边

26、时：左边=1+1=2，右边，右边=211=2，左边左边=右边，等式成立右边，等式成立. 假设当假设当n=k(kN ）时有：）时有： (k+1)(k+2)(k+k)=2k 1 3 (2k-1), 当当n=k+1时：时：左边左边=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)(k+k) = 2k 1 3(2k-1)(2k+1)2= 2k+11 3 (2k-1) 2(k+1)-1=右边，右边， 当当n=k+1时等式也成立时等式也成立. 由由 、可知，对一切可知，对一切nN ,原等式均成立原等式均成立. 2k+1)(2k+2)k+1（习题答案1n1111ad

27、a =a +(n-1)d.(1)n =1=a=a +(1-1)d =a=.n =1.1.先先证证明明：首首项项是是 ，公公差差是是 的的等等差差数数列列的的通通项项公公式式是是当当时时，左左边边，右右边边，因因此此，左左边边右右边边所所以以，当当时时命命题题成成立立假假设设当当时时命命题题成成立立，即即那那么么，所所以以，当当时时命命题题也也成成立立根根据据和和，可可知知命命题题对对任任何何 都都成成立立k1k+1k1k*(2)n=ka =a +(k-1)d.a=a +d=a +(k-1)d+d=a +(k+1)-1d.n=k+1.(1)(2)nN.再再证证明明：该该数数列列的的前前 项项和和

28、的的公公式式是是当当时时，左左边边，右右边边，因因此此，左左边边右右边边所所以以，当当时时命命题题成成立立n11111n(n-1)nS =na +d.2(1)n=1=S =a1(1-1)=1 a +d=a2=.n=1. 假假设设当当时时命命题题成成立立，即即k1(2)n = kk(k -1)S = ka +d.2那那么么，所所以以，当当时时命命题题也也成成立立根根据据和和，可可知知命命题题对对任任何何 都都成成立立k+1kk+111*k(k-1)S=S +a=ka +d+a +(k+1)-1d2(k-1)(k+1)k=(k+1)d+k+1d=(k+1)d+d.22n=k+1.(1)(2)nN.

29、1n -1n111-111aqa= a q.(1)n = 1= a= a q= a=.n = 1.2.先先 证证 明明 ： 首首 项项 是是， 公公 比比 是是的的等等 比比 数数 列列 的的 通通 项项 公公 式式 是是当当时时 ， 左左 边边，右右 边边，因因 此此 ， 左左 边边右右 边边所所 以以 ， 当当时时 命命 题题 成成 立立设设 当当时时题题当当时时题题题题对对k -1k1k -1kk + 1k11*(2 )n = ka= a q.a= a q = a qq = a q.n = k + 1.(1 )(2 )nN.假假命命成成 立立 ， 即即那那 么么 ，所所 以以 ，命命也也

30、 成成 立立根根 据据和和， 可可 知知 命命任任 何何都都 成成 立立再再证证明明：该该数数列列的的前前 项项和和的的公公式式是是当当时时，左左边边，右右边边，左左边边右右边边所所以以，当当时时命命题题成成立立n1n11111na (1-q )S =(q1).1-q(1)n = 1= S = aa (1-q )= a=.1-qn = 1.假假设设当当时时命命题题成成立立，即即k1k(2)n = ka (1-q )S =.1-qkk1k+1kk+11kkk+1111*a (1-q )S=S +a=+a q1-qa (1-q )+a q (1-q)a (1-q)=1-q1-qn =k+1.(1)(2)nN.那那么么，所所以以，当当时时命命题题也也成成立立根根据据和和，可可知知命命题题对对任任何何 都都成成立立