第一类换元积分法凑微分ppt课件.ppt

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1、问题问题cos2xdx sin2,xC 解决方法解决方法 利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令2ux 1,2dxducos2xdx 1cos2udu 1sin2uC.2sin21Cx 2ux du 2u dxdx 1cos2udu 凑微法的整个思想凑微法的整个思想cos2xdx (cos22 )xdx 2ux 12(2 )dxxd1sin2uC.2sin21Cx 2ux 1cos2udu ()2dx(2 )2x ddxx 12凑内层函数的微分凑内层函数的微分 ( )( )fxx dx ( )( )fx dx 则则有有换换元元公公式式定理定理1 1( )f u du

2、 ( )F uC ( )FxC ( ) ( )( )( )uxfxx dxf u du 第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法）（凑微分法）说明说明: :使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将( )f x dx 化为化为 ( )( ).fxx dx 观察重点不同，所得结论形式不同观察重点不同，所得结论形式不同. .例例 求求.2sin xdx解解（一）（一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx 解解（二）（二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 解解（三）（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(cosco

3、s2xxd .cos2Cx 2211222212:sin1 coscos2,sincoscos2,xxxxxx 说明和和相互差一常数故为同一函数的原函数.例例 求求5sin5.xdx 解解55sin xdx sinudu cosuC sin(5)5dxx 5ux 5ux cos5xC 例例 求求132dxx 解解132xxd 原原式式1ln 322xC(132 )32dxx 12例例 求求.de2 xxx解解将被积分式中的将被积分式中的 xdx 因子凑微分，因子凑微分，.212xxxdd 则则 2de21de22xxxxxCx 2e21经求导验算，经求导验算，.ee2122xxxC 结果正确结

4、果正确 .即即即即例例 求求.dln xxx解解因子因子将被积分式中的将被积分式中的 d1 xx).lnd(d1xxx 凑微分，即凑微分，即则则 xxxdln xx lndln.ln212Cx 例例 求求.)ln21(1dxxx 解解1(12ln )dxxx)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx xuln21 duu121Cu ln21.)ln21ln(21Cx 因子因子将被积分式中的将被积分式中的 d1 xx凑微分，即凑微分，即).lnd(d1xxx 2xedx 练练 习习2(2)xedx 1()22xdxdx ()2xd 2 ()2xdxd 22xCe 2 21.sin

5、xx dx 求求12.12dxx 求求练练 习习21.sinxx dx 求求解解 原原式式22sin2x dx 221sin2xxd 21cos2Cx 2sinxxxd 答答 案案12.12dxx 求求解解 原式原式1ln 122xC 11(12 )212dxx 答答 案案利用三角函数的恒等式利用三角函数的恒等式. .例例 求求.dtan xx解解 xxdtan. |cos|lnCx xcosxsinxd xcosxcosd例例 求求2sincosxxdx 原原式式2sicosnxxxd 2cocossxdx （）31(cos )3xC 解解说明说明(),(),( ,),xdx mxdx nx

6、xdx m nmnmn形如 sin为正奇数cos为正奇数sincos中有一个正奇数 形式的积分在计算时 可从奇次幂中取出一个凑微 余下的正偶次变形.sincos, sinsin解决mxnxdxmxnxdxcoscosmxnxdx 类类型型的的积积分分. . 利用积化和差公式和凑微法很简利用积化和差公式和凑微法很简单的几步就可解决此类不定积分单的几步就可解决此类不定积分积积化化和和差差1sinsincos()cos()2 1sincossin()sin()21cossinsin()sin()21coscoscos()cos()2例例 求求sin3 cos4xxdx 1(sin7sin )2xx

7、dx 原原式式11sin7sin22xdxxdx解解7711sin14cos2xxxCd 1cos4s2711coxxC 解解cos3 cos2xxdx 求求1coscoscos()cos(),2ABABAB1cos3 cos2(coscos5 ),2xxxx1cos3 cos2(coscos5 )2xxdxxx dx11sinsin5.210 xxC例例 求求11xdxe 解解11xdxe 11xxxeedxe (1)1xxedxe 1xxxeedxd 1(1)1xxdxdee ln 1ln(1).xxxeCxeC例例 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1

8、()1(1)1(132xdxx 221)1(2111CxCx .)1(21112Cxx 例例 求求.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa 例例 求求 22dxax( (a 0 常数常数).).解解 22dxax )(dxaxax xxaxaxaxaad)()()(21 xaxxaxadd21.ln21Cxaxaa Cxaxaaxaxln21d22 xaxaxaxaa)(d)(d21小结小结 用第一换元积分法求不定积分的步骤是：用第一换元积分法求不定积分的步骤是：uufxxxfxxuxuxxxfd )(d)( )( d)( d

9、),( d)( )( . 1，于是有作变量代换，令的形式，若能将被积表达式化为换元.)(d )( )()( )( )( . 2CuFuufufuFuFufu则，使得得易积分的，即如果易求是容，若被积函数为换元后的积分变量是积分.)( )()( . 3CxFxCuFxu的函数，即得答案为积分变量中，还原为原代入已求出的把还原上述过程可表示为：上述过程可表示为： 第一类换元积分法（凑微分法）在积分计算中是经常使用的方法，不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，要善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，并凑出合适的微分因子。