2022年高三数学一轮复习资料――基础知识归纳 .pdf

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1、高三数学一轮复习：基础知识归纳第一部分集合1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？2. 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具， 将抽象的代数问题具体化、形象化、 直观化， 然后利用数形结合的思想方法解决3. (1) 元素与集合的关系：UxAxC A,UxC AxA. （2）德摩根公式：();()UUUUUUCABC AC B CABC AC B. （3）ABAABBUUABC BC AUAC BUC ABR注意：讨论的时候不要遗忘了A的情况 . （4）集合12,na aa的子集

2、个数共有2n个；真子集有2n1 个；非空子集有2n 1 个；非空真子集有2n2 个. 4是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 第二部分函数与导数1映射： 注意 : 第一个集合中的元素必须有象；一对一或多对一. 2函数值域的求法：分析法；配方法；判别式法；利用函数单调性；换元法；利用均值不等式2222babaab； 利用数形结合或几何意义（斜率、 距离、绝对值的意义等） ；利用函数有界性（xa、xsin、xcos等） ；平方法；导数法3复合函数的有关问题: （1）复合函数定义域求法： 若 f(x)的定义域为 a，b,则复合函数fg(x)的定义域由不等式ag(x) b 解出 若 fg(x)的

3、定义域为 a,b,求 f(x)的定义域，相当于xa,b 时，求g(x) 的值域. （2）复合函数单调性的判定：首先将原函数)(xgfy分解为基本函数：内函数)(xgu与外函数)(ufy分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4分段函数：值域（最值） 、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5函数的奇偶性: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件)(xf是奇函数)()(xfxf；)(xf是偶函数)()(xf

4、xf. 奇函数)(xf在 0 处有定义，则0)0(f在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性6函数的单调性: 单调性的定义：)(xf在区间M上是增函数,21Mxx当21xx时有12()()f xf x；)(xf在区间M上是减函数,21Mxx当21xx时有12()()f xf x；单调性的判定：定义法：一般要将式子)()(21xfxf化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；导数法（见导数部分）；复合函数法；图像法注：证明单调性主要用定义法和导数法。7函数的周期性：(1) 周期性的定义：对定义域内的任意x，

5、若有)()(xfTxf（其中T为非零常数） ，则称函数)(xf为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函数的周期：2:sinTxy；2:cosTxy；Txy:tan；|2:)cos(),sin(TxAyxAy；|:tanTxy(3) 与周期有关的结论：)()(axfaxf或)0)()2(axfaxf)(xf的周期为a28基本初等函数的图像与性质：. 指数函数：)1, 0(aaayx；对数函数 :)1, 0(logaaxya；幂函数：xy（)R；正弦函数 :xysin；余弦函数：xycos；（6）正切函数：xyta

6、n；一元二次函数：02cbxax（a0） ；其它常用函数：正比例函数：)0(kkxy；反比例函数：)0(kxky；函数)0(axaxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页. 分数指数幂：mnmnaa；1mnmnaa（以上0,am nN，且1n）. . bNNaablog；NMMNaaalogloglog；NMNMaaalogloglog；loglogmnaanbbm. . 对数的换底公式:logloglogmamNNa. 对数恒等式 :logaNaN. 9二次函数：解析式：一般式：cbxaxxf2)(；顶点式：khx

7、axf2)()(，),(kh为顶点；零点式：)()(21xxxxaxf（a0）. 二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号。二次函数cbxaxy2的图象的对称轴方程是abx2， 顶点坐标是abacab4422，。10函数图象：图象作法：描点法（特别注意三角函数的五点作图）图象变换法导数法图象变换：平移变换：)()(axfyxfy，)0(a左“ +”右“”；)0( ,)()(kkxfyxfy上“ +”下“”；对称变换：)(xfy)0,0()( xfy； )(xfy0y)(xfy；)(xfy0 x)( xfy； )(xfyxy( )xfy；翻折变换：)

8、|)(|)(xfyxfy（去左翻右）y 轴右不动，右向左翻（)(xf在y左侧图象去掉）；)|)(|)(xfyxfy（留上翻下）x 轴上不动，下向上翻（|)(xf| 在x下面无图象）；11函数图象（曲线）对称性的证明：(1) 证明函数)(xfy图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明函数)(xfy与)(xgy图象的对称性，即证明)(xfy图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在)(xgy的图象上，反之亦然。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页注：曲线C1:f(x,y)=0

9、关于原点（ 0,0 ）的对称曲线C2方程为： f( x, y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0关于直线x=0 的对称曲线C2方程为： f( x, y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0关于直线y=0 的对称曲线C2方程为： f(x, y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0关于直线y=x 的对称曲线C2方程为： f(y, x)=0 f(a+x)=f(b x) （xR）y=f(x)图像关于直线x=2ba对称；特别地： f(a+x)=f(ax) （xR）y=f(x)图像关于直线x=a 对称 . ( )yf x的图象关于点( , )a b对称bxafxaf2. 特别地：( )yfx的图象关于点

10、( ,0)a对称xafxaf. 函数()yf xa与函数()yf ax的图象关于直线xa对称 ; 函数)(xafy与函数()yf ax的图象关于直线0 x对称。12函数零点的求法：直接法（求0)(xf的根） ；图象法；二分法. (4) 零点定理：若y=f(x)在a,b上满足 f(a) f(b)0 7圆的方程的求法：待定系数法；几何法。8点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）点与圆的位置关系： （d表示点到圆心的距离）Rd点在圆上；Rd点在圆内；Rd点在圆外。直线与圆的位置关系：（d表示圆心到直线的距离）Rd相切；Rd相交；Rd相离。圆与圆的位置关系： （d表示圆心距，rR,表示两圆半径，且

11、rR）rRd相离；rRd外切；rRdrR相交；rRd内切；rRd0内含。9直线与圆相交所得弦长22| 2ABrd第六部分圆锥曲线1定义： 椭圆：|)|2( ,2|2121FFaaMFMF；双曲线：|)|2( ,2|2121FFaaMFMF；抛物线：|MF|=d 2结论：直线与圆锥曲线相交的弦长公式: 若弦端点为A),(),(2211yxByx,则221212()()ABxxyy, 或2211kxxAB, 或22111kyyAB. 注：抛物线：ABx1+x2+p；通径（最短弦） ：）椭圆、双曲线：ab22；）抛物线： 2p. 过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：122nymx（nm,同时大于 0

12、 时表示椭精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页圆；0mn时表示双曲线） ；当点P与椭圆短轴顶点重合时21PFF最大；双曲线中的结论：双曲线12222byax（a0,b0 ）的渐近线：02222byax；共渐进线xaby的双曲线标准方程可设为(2222byax为参数，0） ；双曲线为等轴双曲线2e渐近线互相垂直；焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。3直线与圆锥曲线问题解法：直接法（通法） ：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。注意以下问题：联立的关于“x”还是关于“y”的一元二次方程？直线

13、斜率不存在时考虑了吗？判别式验证了吗？设而不求（点差法-代点作差法） ：-处理弦中点问题步骤如下：设点A(x1，y1) 、B(x2,y2) ；作差得2121xxyykAB；解决问题。4求轨迹的常用方法： （1）定义法：利用圆锥曲线的定义；（2）直接法 （列等式）； （3）代入法（又称相关点法或坐标转移法）；待定系数法； （5）消参法；（6）交轨法；（7）几何法。第七部分平面向量1. 平面上两点间的距离公式:,A Bd222121()()xxyy，其中 A11(,)x y，B22(,)xy. 2. 向量的平行与垂直：设a=11(,)x y,b=22(,)xy，且b0，则：abb=a12210 x

14、 yx y；ab (a0)ab=012120 x xy y. 3. ab =| a| b|cos= x1x2+y1y2；注：|a|cos叫做 a 在 b 方向上的投影；| b|cos叫做 b 在 a 方向上的投影；ab的几何意义： ab等于 | a| 与| b| 在 a 方向上的投影 | b|cos的乘积。4. cos=|baba；5. 三点共线的充要条件：P，A，B三点共线xy1OPxOAyOB且。第八部分数列1定义：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页BnAnSbknaNnnaaandaaNnddaaannnnn

15、nnn2111n1n*),2(2)2(,() 1(）为常数等差数列等比数列)Nn2,(n)0(1n1-n2n1nnaaaqqaaan2等差、等比数列性质：等差数列等比数列通项公式dnaan)1(111nnqaa前 n 项和dnnnaaanSnn2)1(2)(11qqaaqqaSqnaSqnnnn11)1(1.2;1.1111时，时，性质an=am+ (n m)d, an=amqn-m; m+n=p+q时 am+an=ap+aq m+n=p+q时 aman=apaq ,232kkkkkSSSSS成 AP ,232kkkkkSSSSS成 GP ,2mkmkkaaa成 AP,mdd,2mkmkkaa

16、a成 GP,mqq3常见数列通项的求法：定义法（利用AP,GP的定义）；累加法（nnncaa1型） ；公式法：累乘法（nnncaa1型） ； 待定系数法 （bkaann 1型） 转化为)(1xakxann（6）间接法（例如：4114111nnnnnnaaaaaa） ； （7） （理科） 数学归纳法。4前n项和的求法：分组求和法；错位相减法；裂项法。5等差数列前n 项和最值的求法：nS最大值000011nnnnnaaSaa最小值或；利用二次函数的图象与性质。第九部分不等式1均值不等式：)0,(2222bababaab注意：一正二定三相等；变形：),(2)2(222Rbababaab。an= S1

17、(n=1)SnSn-1 (n2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页2极值定理：已知yx,都是正数，则有：(1) 如果积xy是定值p，那么当yx时和yx有最小值p2；(2) 如果和yx是定值s，那么当yx时积xy有最大值241s. 3. 解一元二次不等式20(0)axbxc或: 若0a, 则对于解集不是全集或空集时, 对应的解集为“大两边，小中间”. 如 : 当21xx,21210 xxxxxxx；12210 xxxxxxxx或. 4. 含有绝对值的不等式：当0a时，有：axaaxax22；22xaxaxa或xa

18、. 5. 分式不等式：（1）00 xgxfxgxf；（2）00 xgxfxgxf；（3）000 xgxgxfxgxf；（4）000 xgxgxfxgxf. 6. 指数不等式与对数不等式(1) 当1a时,( )()( )( )fxg xaaf xg x；( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x. (2) 当01a时,( )( )( )( )fxg xaaf xg x；( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x3不等式的性质：abba；cacbba,；cbcaba；dcba,dbca；bdaccb

19、a0,；bcaccba0,；,0ba0cdacbd; )(00Nnbabann; 0ba)(Nnbann第十部分复数1概念：z=a+biRb=0 (a,b R)z=z z20；z=a+bi是虚数b0(a,b R)；z=a+bi 是纯虚数a=0 且 b0(a,b R)zz0（z0）z20 时，变量yx,正相关；r 0 时，变量yx,负相关；当| r越接近于1，两个变量的线性相关性越强；当| r越接近于0 时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。4 回归直线方程yabx，其中1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxnxaybx第十三部分算法初步1程序框图：图形符号：

20、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页 终端框（起止框）； 输入、输出框； 处理框（执行框） ； 判断框； 流程线；程序框图分类: 顺序结构：条件结构：循环结构： r=0? 否求 n 除以 i 的余数输入 n 是 n不是质数n 是质数 i=i+1 i=2 in 或 r=0?否是注：循环结构分为：当型（while 型）先判断条件，再执行循环体；直到型（until型）先执行一次循环体，再判断条件。2基本算法语句：输入语句INPUT “提示内容”；变量；输出语句： PRINT “提示内容”；表达式赋值语句：变量 =表达式条

21、件语句： IF 条件 THEN IF条件 THEN 语句体语句体 1 END IF ELSE 语句体 2 END IF 循环语句：当型：直到型 : WHILE条件 DO 循环体循环体 WEND LOOP UNTIL 条件第十四部分常用逻辑用语与推理证明1充要条件的判断：（1）定义法 -正、反方向推理注意区分：“甲是乙的充分条件（甲乙） ”与“甲的充分条件是乙（乙甲） ”（2）利用集合间的包含关系：例如：若BA，则 A是 B的充分条件或B是 A的必要条件；若 A=B，则 A是 B的充要条件。2逻辑联结词：且 (and) ：命题形式 pq； p q pq pq p 或（ or ） ： 命题形式 p

22、q；真真真真假非（ not ） ：命题形式p . 真假假真假假真假真真假假假假真3四种命题的相互关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页原命题互逆逆命题若则若则互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非则非互逆若非则非4。四种命题：原命题：若p 则 q；逆命题：若q 则 p；否命题：若p 则q；逆否命题：若q 则p 注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。5. 全称量词与存在量词全称量词 -“所有的”、“任意一个”等，用表示；全称命题p：)(,xpMx；全称命题p 的否定p：)(,xpMx。存在量词 -“存在

23、一个”、“至少有一个”等，用表示；特称命题p：)(,xpMx；特称命题 p 的否定p：)(,xpMx；6. 常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有 （1n）个小于不小于至多有n个至少有 （1n）个对所有x，成立存在某x，不成立p或qp且q对任何x，不成立存在某x，成立p且qp或q第十五部分推理与证明1推理：合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具

24、有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。注：类比推理是特殊到特殊的推理。演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。注：演绎推理是由一般到特殊的推理。“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提-已知的一般结论；小前提-所研究的特殊情况；结论-根据一般原理，对特殊情况得出的判断。2证明：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

25、 - - -第 15 页，共 16 页直接证明综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。（2）间接证明（反证法） ：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页