2022年高中数学所有公式 .pdf

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1、高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系UxAxC A,UxC AxA.2. 德摩根公式();()UUUUUUCABC AC B CABC AC B. 3. 包含关系ABAABBUUABC BC AUAC BUC ABR4集合12,na aa的子集个数共有2n个；真子集有2n1 个；非空子集有2n1 个；非空的真子集有2n2 个. 5. 二次函数的解析式的三种形式(1) 一般式2( )(0)f xaxbxc a; (2) 顶点式2( )()(0)f xa xhk a; (3) 零点式12( )()()(0)f xa xxxxa. 6. 闭区间上的二次函数的 最值二次函数)0()(2ac

2、bxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在abx2处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a0时，假设qpabx,2，则minmaxmax( )(),( )( ),( )2bf xff xf pf qa；假设qpabx,2，maxmax( )( ),( )f xf pf q，minmin( )( ),( )f xf pf q. (2) 当 a0时，假设qpabx,2，则min( )min( ),( )f xfpf q，假设qpabx,2，则max( )max( ),( )f xf pf q，min( )min( ),( )f xf pf q. 7. 定区间上 含参数 的二次不等式 恒成立 的条

3、件依据 (1) 在给定区间,上含参数的二次不等式( , )0f x t( t为参数 ) 恒成立的充要条件是min( , )0()f x txL (2) 在给定区间,上含参数的二次不等式( , )0f x t( t为参数 ) 恒成立的充要条件是( , )0()manf x txL. (3)0)(24cbxaxxf恒成立的充要条件是000abc或2040abac. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页8. 四种命题的相互关系原命题互逆逆命题假设则假设则互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题假设非则非互逆假设非则非9.充要

4、条件1充分条件：假设pq，则 p 是 q充分条件 . 2必要条件：假设 qp，则 p 是 q必要条件 . 3充要条件：假设pq，且 qp ，则 p 是q 充要条件 . 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 10. 函数的 单调性 (1)设2121,xxbaxx那么1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数 . (2)设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数 .

5、11奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 ; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称， 那么这个函数是奇函数； 如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数12. 对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立 , 则函数)(xf的对称轴是 函 数2bax; 两 个 函 数)(axfy与)(xbfy的 图 象 关 于 直 线2bax对称. 13. 两个函数图象的对称性(1) 函数( )yf x与函数()yfx的图象关于直线0 x( 即 y 轴) 对称. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

6、第 2 页，共 16 页(2) 函数()yf mxa与函数()yf bmx的图象关于直线2abxm对称. (3) 函数)(xfy和)(1xfy的图象关于直线 y=x 对称. 14. 假设将函数)(xfy的图象右移 a、上移 b 个单位，得到函数baxfy)(的图象；假设将曲线0),(yxf的图象 右 移 a 、上移 b 个单位，得到曲 线0),(byaxf的图象 . 15. 几个常见的函数方程 (1)正比例函数( )f xcx,()( )( ),(1)f xyf xfyfc. (2) 指数函数( )xf xa,()( )( ),(1)0f xyfx f yfa. (3) 对数函数( )loga

7、f xx,()( )( ),( )1(0,1)f xyf xfyf aaa. (4) 幂函数( )f xx,()( )( ),(1)f xyf x fyf. 16有理指数幂的运算性质(1) (0, ,)rsrsaaaar sQ. (2) ()(0, ,)rsrsaaar sQ. (3)()(0,0,)rrraba babrQ. 注： 假设 a0，p 是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 17. 指数式与对数式的互化式logbaNbaN (0,1,0)aaN. 18. 对数的换底公式logloglogmamNNa (0a, 且1a,0m, 且1

8、m,0N). 推论loglogmnaanbbm(0a, 且1a,0m n, 且1m,1n,0N). 19对数的四则运算法则假设 a0，a1，M 0，N 0，则(1)log ()loglogaaaMNMN; (2) logloglogaaaMMNN; (3)loglog()naaMnM nR. 20. 等差数列的通项公式*11(1)()naanddnad nN；其前 n 项和公式为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页1()2nnn aas1(1)2n nnad211()22dnad n. 21. 等比数列的通项公式1*

9、11()nnnaaa qqnNq；其前 n 项的和公式为11(1),11,1nnaqqsqna q22常见三角不等式1假设(0,)2x，则 sintanxxx . (2) 假设(0,)2x，则1sincos2xx. (3) |sin| cos| 1xx. 23. 同角三角函数的基本关系式22sincos1， tan =cossin， tan1cot. 24. 正弦、余弦的 诱导公式奇变偶不变符号看象限25. 和角与差角公式sin()sincoscossin; cos()coscossinsin; tantantan()1tantansincosab=22sin()ab( 辅 助 角所 在 象

10、限 由 点( , )a b的 象 限决定,tanba ).26. 二倍角公式sin2sincos. 2222cos2cossin2cos112sin. 22 tantan21tan. . 27. 三角函数的 周期公式函数sin()yx，xR 及函数cos()yx，xR(A,为常数，且 A0，0) 的周期2T；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页函数tan()yx，,2xkkZ(A, ,为常数，且A0， 0)的周期T. 28. 正弦定理2sinsinsinabcRABC. R是外接圆的半径29. 余弦定理2222cos

11、abcbcA; 2222cosbcacaB; 2222coscababC. 30. 面积定理1111222abcSahbhchabchhh、分别表示 a、b、c 边上的高 . 2111sinsinsin222SabCbcAcaB. 31. 三角形内角和定理在ABC 中，有()ABCCAB222CAB222()CAB. 32. 向量的数量积的运算律：(1) a b= ba 交换律 ; (2) a b= ab=ab= a b; (3) a+b c= a c +b c.33. 平面向量基本定理如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使得

12、a=1e1+2e2不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 34. a 与 b 的数量积 (或内积 )ab=| a| b|cos 数量积 ab 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos的乘积35. 平面向量的坐标运算(1) 设 a=11(,)x y, b=22(,)xy，则 a+b=1212(,)xxyy. (2) 设 a=11(,)x y, b=22(,)xy，则 a-b=1212(,)xxyy. (3) 设 A11(,)x y，B22(,)xy, 则2121(,)ABOBOAxx yy . (4) 设 a=( , ),x yR，则a=(,)xy

13、. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页(5) 设 a=11(,)xy, b=22(,)xy，则 ab=1212()x xy y. 36. 两向量的夹角 公式121222221122cosx xy yxyxy( a=11(,)x y, b=22(,)xy). 37. 平面两点间的距离公式,A Bd=|ABAB AB222121()()xxyy(A11(,)x y，B22(,)xy). 38. 向量的 平行与垂直设 a=11(,)x y, b=22(,)xy，且 b0，则a| bb=a 12210 x yx y. ab

14、(a0)ab=012120 x xy y. 39. 线段的 定比分点公式设111(,)P xy，222(,)Pxy，( ,)P x y是线段12PP的分点 ,是实数，且12PPPP ，则121211xxxyyy121OPOPOP12(1)OPtOPt OP 11t. 40. 三角形的 重心坐标公式ABC三个顶点的坐标分别为11A(x ,y)、22B(x ,y )、33C(x ,y), 则ABC的重心的坐标是123123(,)33xxxyyyG. O为ABC的重心0OAOBOC. 41. 点的平移公式xxhxxhyykyykOPOPPP . 注: 图形 F 上的任意一点P(x，y) 在平移后图形

15、F上的对应点为(,)P xy，且PP的坐标为( , )h k. 42. “按向量平移”的几个结论1点( , )P x y按向量 a=( , )h k平移后得到点(,)Pxh yk. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页(2) 函数( )yf x的图象C按向量 a=( , )h k平移后得到图象C, 则C的函数解析式为()yf xhk. (3) 图象C按向量 a=( , )h k平移后得到图象C, 假设C的解析式( )yf x, 则C的函数解析式为()yf xhk. (4) 曲线C:( , )0f x y按向量a=(

16、,)h k平移后得到图象C, 则C的方程为(,)0f xh yk. (5) 向量 m =( , )x y按向量 a=( , )h k平移后得到的向量仍然为m =( ,)x y. 43. 常用不等式：1,a bR222abab( 当且仅当 ab 时取“ =”号) 2,a bR2abab( 当且仅当 ab 时取“ =”号)33333(0,0,0).abcabc abc4柯西不等式：22222()()() , , , ,.abcdacbda b c dR5bababa.44. 最值定理 积定和最小 已知yx,都是正数，则有1假设积 xy是定值 p ，则当yx时和yx有最小值p2；2假设和yx是定值

17、s，则当yx时积 xy有最大值241s. 推广 已知Ryx,，则有xyyxyx2)()(221假设积 xy是定值 , 则当|yx最大时 ,|yx最大；当|yx最小时 ,|yx最小. 2假设和|yx是定值 , 则当|yx最大时 , | xy最小；当|yx最小时 , | xy最大. 45. 指数不等式与对数不等式(1) 当1a时, ( )( )( )( )f xg xaaf xg x; ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x. (2) 当01a时, ( )( )( )( )fxg xaafxg x; ( )0log( )log( )( )0(

18、)( )aaf xf xg xg xf xg x46.斜率公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页2121yykxx111(,)P xy、222(,)P xy. 47.直线的五种方程1点斜式11()yyk xx(直线 l 过点111(,)P xy，且斜率为 k )2斜截式ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距 ). 3两点式112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)P xy、222(,)Pxy (12xx). (4) 截距式1xyab( ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、)5一般式0AxByC(其中

19、 A、B 不同时为 0).48.两条直线的平行和垂直假设111:lyk xb，222:lyk xb121212|,llkkbb; 12121llk k. 49. 1l到2l的倒角公式(1)2121tan1kkk k. (111:lyk xb，222:lyk xb,121k k)50两种常用直线系方程 (1)平 行 直 线 系 方 程 ： 与 直 线0AxByC平 行 的 直 线 系 方 程 是0AxBy(0)，是参变量 (2)垂直直线系方程：与直线0AxByC (A 0，B0) 垂直的直线系方程是0BxAy, 是参变量51.点到直线的距离0022|AxByCdAB(点00(,)P xy,直线

20、l ：0AxByC). 52.0AxByC或0所表示的平面区域设直线:0lAxByC，则0AxByC或0所表示的平面区域是：1假设0B，当 B与AxByC同号时，表示直线l的上方的区域；当 B 与AxByC异号时，表示直线 l 的下方的区域 .简言之 ,同号在上 ,异号在下 .2假设0B，当 A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当 A与AxByC异号时，表示直线 l 的左方的区域 . 简言之 ,同号在右 ,异号在左 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页53. 圆的四种方程1圆的标准方程222()()xay

21、br. 2圆的一般方程220 xyDxEyF(224DEF 0). 3圆的参数方程cossinxarybr. 4 圆的直径式方程1212()()()()0 xxxxyyyy(圆的直径的端点是11(,)A x y、22(,)B xy). 54. 直线与圆的位置关系直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种 : 0相离rd; 0相切rd; 0相交rd. 其中22BACBbAad. 55. 椭圆22221(0)xyabab的参数方程是cossinxayb. 椭圆22221(0)xyabab焦半径公式)(21caxePF，)(22xcaePF. 椭圆的的内外部1点00(,)P xy在

22、椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab. 2点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab. 56. 双曲线22221(0,0)xyabab的焦半径公式21| () |aPFe xc，22| () |aPFexc. 双曲线的内外部精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页(1) 点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab. (2) 点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab.

23、 双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1假设双曲线方程为12222byax渐近线方程 ：22220 xyabxaby. (2)假设渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax. (3) 假设双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax0，焦点在 x 轴上，0，焦点在 y 轴上 . 57. 抛物线pxy22的焦半径公式抛物线22(0)ypx p焦半径02pCFx. 过焦点弦长pxxpxpxCD212122. 58. 直线与圆锥曲线相交的 弦长公式2222211212(1)()| 1tan| 1tABkxxxxyyco弦端点 A),(),(2211yxByx，由方程0

24、)y,x(Fbkxy消去 y 得到02cbxax，0,为直线 AB的倾斜角，k为直线的斜率 . 59证明 直线与直线的平行 的思考途径1转化为判定共面二直线无交点；2转化为二直线同与第三条直线平行；3转化为线面平行；4转化为线面垂直；5转化为面面平行 . 证明直线与平面的平行 的思考途径1转化为直线与平面无公共点；2转化为线线平行；3转化为面面平行 . 证明平面与平面平行 的思考途径1转化为判定二平面无公共点；2转化为线面平行；3转化为线面垂直 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页证明直线与直线的垂直 的思考途

25、径1转化为相交垂直；2转化为线面垂直；3转化为线与另一线的射影垂直；4转化为线与形成射影的斜线垂直. 证明直线与平面垂直 的思考途径1转化为该直线与平面内任一直线垂直；2转化为该直线与平面内相交二直线垂直；3转化为该直线与平面的一条垂线平行；4转化为该直线垂直于另一个平行平面；5转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 证明平面与平面的垂直 的思考途径1转化为判断二面角是直二面角；2转化为线面垂直 . 60. 平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 61.共线向量定理对空间任意两个

26、向量a、b(b0 )，ab存在实数使 a=bPAB、 、三点共线|APABAPt AB(1)OPt OAtOB. |ABCDAB、CD共线且 ABCD、不共线ABtCD且 ABCD、不共线 . 62. 共面向量定理向量 p 与两个不共线的向量a、b 共面的存在实数对, x y, 使paxby推 论 : 空 间 一 点 P 位 于 平 面 MAB内 的存 在 有 序 实 数 对, x y , 使MPxMAyMB， 或 对 空 间 任 一 定 点O， 有 序 实 数 对, x y ， 使OPOMxMAyMB. 63. 对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOCxyzk ，则

27、当1k时，对于空间任一点O，总有 P、A、B、C四点共面；当1k时，假设 O平面 ABC ，则 P、A、B、C四点共面；假设 O平面 ABC ，则P、A、B、C四点不共面 CAB、 、 、D 四点共面AD与AB、AC共面ADxAByAC(1)ODxy OAxOByOC O平面 ABC . 64. 空间向量基本定理如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组 x，y，z，使 pxaybzc推论设 O 、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数 x，y，z，使OPxOAyOBzOC. 精选学习资料 - - - - - - - - -

28、 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页65. 向量的直角坐标运算设 a123(,)a aa，b123(,)b b b则(1) ab112233(,)ab abab；(2) ab112233(,)ab ab ab；(3) a123(,)aaa ( R)；(4) ab1 12233a ba ba b；设 A111(,)xy z，B222(,)xyz，则ABOBOA= 212121(,)xx yy zz. 66空间的线线平行或垂直设111(,)ax y z ，222(,)bxyz，则a| b(0)ab b121212xxyyzz；ab0a b1212120 x xy y

29、z z. 67. 夹角公式设 a123(,)a aa，b123(,)b b b，则cosa，b=1 12233222222123123aba ba baaabbb. 推论22222221 12233123123()()()a ba ba baaabbb，此即三维柯西不等式 . 68异面直线 所成角cos| cos,|a b=121212222222111222| |x xy yz za babxyzxyz其中090为异面直线a b,所成角，, a b分别表示异面直线a b,的方向向量69.直线 AB 与平面所成角sin|AB marcABm(m为平面的法向量 ). 精选学习资料 - - - -

30、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页70.二面角l的平面角cos|m narcm n或cos| |m narcm nm，n为平面，的法向量 . 71. 空间两点间的距离公式假设 A111(,)xy z，B222(,)xyz，则,A Bd=|ABAB AB222212121()()()xxyyzz. 72. 点Q到直线 l 距离221(|)()|haba ba( 点 P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量b=PQ). 73.异面直线间的距离|CD ndn(12,ll是两异面直线，其公垂向量为n， CD、分别是12,ll上任一点，d为12,

31、ll间的距离 ). 74.点 B 到平面的距离|AB ndnn为平面的法向量， AB 是经过面的一条斜线， A. 75.异面直线上两点距离公式2222cos,dhmnmnEAAF. ( 两条异面直线a、b 所成的角为，其公垂线段AA 的长度为 h. 在直线 a、b上分别取两点 E、F，A Em, AFn , EFd ). 76. 三个向量和的平方公式2222()222abcabca bb cc a2222 | | cos,2 | |cos,2| |cos,abcaba bbcb ccac a77. 面积射影定理cosSS. ( 平面多边形及其射影的面积分别是S、S， 它们所在平面所成锐二面角的

32、为). 78. 欧拉定理 (欧拉公式 ) 2VFE( 简单多面体的顶点数V、棱数 E和面数 F). 1E =各面多边形边数和的一半. 特别地 , 假设每个面的边数为 n 的多边形，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页面数 F 与棱数 E 的关系：12EnF；2假设每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数 V与棱数 E的关系：12EmV. 79. 球的半径是 R，则其体积343VR, 其外表积24SR13VSh锥体S是锥体的底面积、h是锥体的高 . . 80. 组合数公式mnC =mnmmAA=mmnnn21)1()1(

33、=！)(mnmn( nN*， mN ，且 mn ). 性质： (1)mnC =mnnC ; (2) mnC+1mnC=mnC1. 注:规定10nC. (3)nnnrnnnnCCCCC2210. 81.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率( )(1).kknknnP kC PP82. 离散型随机变量的分布列的两个性质10(1,2,)iPi; 2121PP. 83. 数学期望1122nnEx Px Px P数学期望的性质 : 1()( )E abaEb. 2假设( ,)B n p, 则Enp. (3)假设服从几何分布 , 且1()( ,)kPkg k pqp，则1Ep.84. 方差222

34、1122nnDxEpxEpxEp标准差=D. 方差的性质 :(1)2D aba D； (2假设( ,)B n p，则(1)Dnpp. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页(3) 假设服从几何分布 , 且1()( ,)kPkg k pqp，则2qDp.方差与期望的关系 :22DEE. 85.)(xf在0 x处的导数或变化率000000()()()limlimxxxxfxxf xyfxyxx. 函数)(xfy在点0 x处的导数的几何意义函数)(xfy在点0 x处的导数是曲线)(xfy在)(,(00 xfxP处的切线的斜

35、率)(0 xf，相应的切线方程是)(000 xxxfyy. 86. 几种常见函数的导数(1) 0CC为常数 . (2) 1()()nnxnxnQ. (3) xxcos)(sin. (4) xxsin)(cos. (5)xx1)(ln；eaxxalog1)(log. (6) xxee )(; aaaxxln)(. 87. 导数的运算法则1()uvuv. 2()uvu vuv. 32( )(0)uu vuvvvv. 88. 复合函数的求导法则设函数( )ux在点 x处有导数( )xux，函数)(ufy在点 x 处的对应点U处有导数( )uyfu，则复合函数( )yfx在点 x处有导数，且xuxyy

36、u，或写作( ( )( )( )xfxfux. 89. 判别)(0 xf是极大小值 的方法当函数)(xf在点0 x处连续时，1如果在0 x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0 xf是极大值；2如果在0 x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0 xf是极小值 . 90. 复数的相等,abicdiac bd. , , ,a b c dR复数 zabi 的模或绝对值|z=|abi=22ab . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页91. 复数的四则运算法则(1)()()()()abicdiacbd i; (2)()()()()abicdiacbd i; (3)()()()()abicdiacbdbcad i; (4)2222()()(0)acbdbcadabicdii cdicdcd. 92. 实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程20axbxc，假设240bac, 则21,242bbacxa; 假设240bac, 则122bxxa; 假设240bac，它在实数集 R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数根22(4)(40)2bbac ixbaca.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页