2022年高等数学中常见的变量替换 .pdf

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1、目录引言(1) 一 极限运算中变量替换的应用(1) (一) 对于00(或)型极限(2) (二)对于型极限(2) (三) 隐函数中不易或不可能化为显函数形式，极限xynlim的求法 (3) (四) 求数列的极限(4) 二 不定积分运算中常用的变量替换(6) (一) 三角函数代换(6) (二) 倒数代换(7) (三) 指数代换(8) (四) 不定积分dxyf)(的计算，其中y是由方程0),(yxF所确定的x的函数(8) 三 定积分运算中常用的变量替换(9) (一) 被积函数或其主要部分为复合函数的积分的微分法(9) (二) 被积函数或其主要部分为复合函数的定积分的计算(10) (三) 由三角有理式

2、与其他初等函数通过四则运算或有限次复合而成的被积函数定积分的计算。(11) (四) 定积分等式的证明中所作的变量替换(12) 四 解微分方程中变量替换的应用技巧(14) (一) 在求解可别离变量方程中变量替换的应用(14) (二) 求解齐次方程中变量替换的应用(15) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页(三) 求解一阶线性方程中变量替换的应用(15) 五 重积分中变量替换的应用(16) (一) 二重积分计算中的变量替换(16) (二) 利用直角坐标系计算(18) (三) 利用柱面坐标系计算(19) (四) 利用球面

3、坐标系计算(19) 结束语(19) 参考文献(20) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 22 页3 高等数学中常见的变量替换鲁友栋数学系辽宁中国摘要变量替换是解决高等数学问题的重要手段。深入了解变量替换可以培养学生利用所学的知识灵活处理各种实际问题的能力。因此，在高等数学中，如何使用和掌握变量替换是解决某些问题的关键；如何灵活的运用变量替换，是一个值得重视的问题。本文通过几个实例详细介绍了“00”型，“”型，数列等几种极限运算中变量替换的应用和三角函数代换，倒数代换，指数代换等在不定积分运算中变量替换的应用，着重介绍了在定

4、积分运算及解微分方程中变量替换的应用。关键词变量替换积分极限引言在各种各样的数学运算中，相应的解题方法也有千千万万，而其中有一种方法是变量替换。变量替换在解题时不仅作为一种常用的数学方法而被广泛应用，更是一种常用的解题技巧。在很多运算中，往往我们用很多方法都无法顺利求出结果，此时，我们不妨试用一下变量替换，它很可能会给我们带来意想不到的收获。因此，变量替换又可以称之为在各种方法连连碰壁，走投无路的情况下，人们使出的“杀手锏”。作为未来从事数学教育的工作者，如何正确使用变量替换这种方法是我们学习和解决问题的关键；而熟练掌握变量替换的解题方法是我们在今后教学中应力求到达的目标。以下我就几种常见的运

5、算如极限运算、不定积分的运算、定积分的运算、微分方程的运算中，由于正确使用了变量替换而给解题带来的方便之处，来浅谈一下变量替换作为一种数学方法和解题技巧的重要性。一 极限运算中变量替换的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 22 页4 (一) 对于00或型极限假设用洛必达法则的结果比没用法则前还复杂，则应考虑用变量替换求解，常作的替换是令,.)2, 1( ,1kxtk例 1，求以下极限：1100102limxexx2dtexexxtxx10102211arctanlim解： 1直接用洛必达法则，得原式10210993102

6、2lim5011002limxexxexxxx此式比没用法则前还复杂，可见此路不通！考虑变量替换21xu，得原式0!50lim.50limlim4950uuuuuueeueu；2解：令xu1，得原式uutuuuutuuutuuuedteueuedteueudteueu0020222222222lim211limarctanlim2)1 (2)21(2lim242lim22222222222uuuuuuuuxeueueueeeue. (二) 对于型极限此种类型求极限一般采用根式有理化或通分，再用洛必达法则求解，或用“抓大头”求解。所谓“抓大头”就是取分子，分母中趋于最快的项 。但是对于一些特殊的

7、例子，应用变量替换。1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 22 页5 例 1，求)11ln(lim2xxxx解：令xu1得原式uuuuuuuuuuu2111lim)1ln(lim)1ln(11lim0202021)1(21lim)1 (2lim00uuuuuu. 例 2：求)(lim656656xxxxx解：令xu1得原式31661)1 (61)1 (61lim11lim65650660uuuuuxu. (三) 隐函数中不易或不可能化为显函数形式，极限xyxlim的求法。解题方法：将隐函数0),(yxF化为参数式)()(t

8、yytxx 将xyxlim化为)()(lim0txtytt的形式，0t可由观察法得出。2 例：设有方程)0(0333aaxyyx，求(1) 曲线的渐近线方程(2)求出与渐近线平行的切线。解：令txy，则taxtxx23333，进而3231313tatytatx(1) 1lim3113limlim13321tatttatxyAttxattttattattatAxxfBttx) 1)(1() 1(3lim)1313(lim)(lim213321故斜渐近线为：axBAxy，即0ayx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 22 页6

9、(2) 方程0333axyyx的斜率为：22yaxayxy而渐近线的斜率：1y，因为切线与渐近线平行，所以它们斜率相等，即122yaxayx，即)()(yxaxyxy，解得xy或axy，将axy代入方程得0a(矛盾)，所以xy。将其代入0333axyyx，得切点)23,23(),0, 0(aa. 故所求的切线方程：)0)(1(0 xy，即0yx. 或者)23)(1(23axay，即03ayx. (四) 求数列的极限解题方法：先作出与数列同类形的连续变量x的函数 ; 再求该函数当x时的极限，该极限即为数列的极限。例 1 求以下数列的极限：(1)nnnab)11 (lim，其中0,0 ba; (2

10、) 1(limnnan，0a. 解：(1)显然1b时，原极限为 1 当1b时，先求xxxab)11(lim1。由于22111111)1(lnlim11lim11lim)1(limxxbbaxbaxababxxxxxxxxx, 则aabxxxbeab1ln1)11(lim，故annnbab1)11(lim. (2)先求)1(lim1xxax. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页7 axxaaxaaxxxxxxxln)1(lnlim1lim) 1(lim221111. 故aannnln) 1(lim. 例 2：设数列n

11、x由下式给出：),2, 1( ,21211nxxxxnnn. 试求)111111(lim21nnxxx. 解：易知nx为正项数列，所以由nnnnnnxxxxxx)1(21知nx递增，于是0211xxn且nx1递减，nx1有下界0，从而知nx1) 1(1nnnxxx知1111211111nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx于是, 有11111121nnxxxS)11()11()11(13221nnxxxxxx1111211nnxxx设Axnn1lim，由式变形为111111nnnnxxxx，两边取n时的极限有001AAAAA所以由式得2)12(limlim1nnnnxS精选学习资料

12、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 22 页8 例 3：设)(21),(xyfxyxF，52), 1 (2yyyF，任 选00 x，作)2,(001xxFx)2 ,(112xxFx),2,(223xxFx,)2,(1nnnxxFx， , 证明：nnxlim存在并求值。解：)1(2152), 1(2yfyyyF，令uy1，则9)(2uuf所以9)(21),(2xyxyxF. 故)9(21)2,(00001xxxxFx, )9(21)2,(11112xxxxFx, )9(21)2,(1nnnnnxxxxFx, 由题设条件，显见0,nxNn且3

13、9)9(211nnnxxx又1)991 (21)91(2121nnnxxx，所以数列nx单调减少有下界， 因而该数列必收敛，记Axnnlim， 在(1)式中令n， 得)9(21AAA， 解得3A，取其正值便得3limnnx. 二 不定积分运算中常用的变量替换(一) 三角函数代换在被积函数中含有222222,axxaxa分别作变量代换：taxtaxtaxsec,tan,sin，将根式去掉变成三角函数的积分，最后作变量复原。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 22 页9 (1) dxxaxI221(2)dxxxaI422(3)d

14、xxaxI22解：(1)令taxtan;则tdtatdtadttatataIcsc1sin1cossectan12cxaxaxactta22ln1cotcscln1(2) 令taxsin，则cxxaactattdatdtatataI3222322244)(31cot311)(cotcot1cossincos(3) 令taxsec则cxaaaxcattadttatdtatdttatataIarccostan)1(sectantansecsectan2222(二) 倒数代换一般令tx1.适用于1qp的情形，其中qp,分别为被积函数的分母和分子关于x的最高次数。例：(1) 24xxdxI; (2)1

15、(24xxdxI; (3)1002)2(32xxxI. 解：(1)令tx1，得1)2()2(211)2()1(142222ttdtdtdttttIcxxctt142ln211)2(2ln2122. (2)令tx1，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 22 页10 dtttdtttdttttI)111(1)1(112224224cxxxcttt1arctan131)arctan31(33. (3)令tx12，得dttttdtttttI)32()1(3)12(2)12(98969722100cxxxcttt9897999997

16、98)2(491)2(971)2(331339749. (三) 指数代换当被积函数是由xa所构成的代数式的积分时，一般采用指数代换即令xat来求解。例：求以下积分(1)43931xxxdxI(2)dxeeIxx21解：(1)令tx3，则3lnlntx有，dttttdttttdxIxxx)1141(513ln13ln1434)3(3)3(322ccttxx|13|ln|43|ln3ln15|1|ln|4|ln3ln15; (2)令tex2，则txln2，有dttttdttttI)1111(22122cexectttxx)1ln(22)1ln(ln1 222. (四) 不定积分dxyf)(的计算，

17、其中y是由方程),(yxF=0 所确定的x的函数。解题方法：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 22 页11 将方程0),(yxF，代为参数方程)()(tytx将参数方程代入dxyfI)(，即dtttfdxyfI)()()(. 变量复原将积分结果化为yx,的关系式 . 例：求以下积分(1) 设xyxy2)(，求dxyx31，(2) 设33)(xyxy，求3ydx. 解(1)令tyx，则txy代入xyxy2)(，得dttttdxttyttx2222223) 1()3(,1,1于是：dtttdttttttttdxyx1)1()

18、3(13113122222223cyxct|1)( |ln21|1|ln2122; (2)令txy，代入方程中，得333)(xtxxxt,则有dttttdxttyttx2423)1(34,)1(1,)1(1. 于是dttttdttttttydx)473()1 ()34()1(43224363cxyxyxycttt)5447()5447(554433543. 三 定积分运算中常用的变量替换(一) 被积函数或其主要部分为复合函数的积分的微分法，解题方法：作变量替换， 使被积函数或其主要部分为简单形式)(uf，其中u为中间变量，此时积分变为变上限( 下限)积分；精选学习资料 - - - - - -

19、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 22 页12 利用变上限 ( 下限)积分的微分法求解。例 1：设)(xf为(- ，+)上的连续函数，且,cos)()(tdttxfxgba求)( xg. 解：令txu则xbxaxbxaduxuxuufduxuufxg)sinsincos)(cos()cos()()(xbxaxbxauduufxuduufxsin)(sincos)(cos, 而xbxaxaxafxbxbfxuduufxxg)cos()()cos()(coscos)(sin)( xbxaxaxafxbxbfxuduufx)sin()()sin()(sinsin)

20、(cosaxafbxbftdttxfaxafbxbfduxuufaxafbxbfduxuxuufbaxbxaxbxacos)(cos)(sin)(cos)(cos)()sin()(cos)(cos)()sincoscos)(sin(例 2：求以下函数的导数(1)10)()(22dttefexFxx，求)( xF，(2)dttxxfxFxsin0)()(，求)( xF，解：(1)令10)()(2dttefxfx，令2xteu有2201)()(xexdueufxf，则222010)()()(xexxduufdttefexF. 于是)(2)2()()()(222220 xxxxxeefxexeefd

21、uufdxxdFx. (2)xxdttxfxdttxxfxFsin0sin0,)()()(令txu，则xxxxxxxduufduufdttxfsin0sinsin,)()()(则xxxduufxxFsin)()(于是xxxxxxxxxxfxfxduufduufxxFsinsin)cos1()sin()()()()( xxxduufxxfxxxxfsin)()sin()cos1()(. (二) 被积函数或其主要部分为复合函数的定积分的计算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 22 页13 解题方法：作变量替换， 使被积函数或其

22、主要部分为简单形式)(uf，其中u为中间变量然后再积分或作判断例 1：设)(xf连续，证明000)(ln)()1(ln)(lndttfdttftfdttxfx证明：100110)()(ln)(ln)(ln)(lnxxxxduufduufduufduufutxdttxf令xxdttfdttfdttf0011) 1(ln)(ln)(ln1100)1(ln)1(ln1)(lnxxxdttfduufutdttf, 将式代入式，得0000)1(ln)(ln)(ln)(lnxxdttfdttfdttfdttxf00)(ln)()1(lndttfdttftfx即证。例 2：设0,10,)(2xxxexfx求

23、20) 1(dxxf. 解：11011021120)1()()(1)1(dxedxxdxxfduufxudxxfxeeexxx137)1(340110)31(13. (三) 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或有限次复合而成的被积函数定积分的计算。解题分法：假设积分限为2,0时, 则令x,0时，则令xu精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页14 2,0时，则令x24,0时，则令xu4例 1：求以下积分(1)40sin12sin1dxxxI(2)20cossin1sincosdxxxxxI解：(1)令xu4则044

24、0224022404041|)(tancoscos1cos2sin22cos12cos1)()4(2sin1)4(2sin1xxdxxxdxxxduuuduuuI(2) 令xu2，得202002cossin1sincoscossin1cossin)()2cos()2sin(1)2sin()2cos(IdxxxxxduuuuuduuuuuI故0I，即200cossin1sincosdxxxxx例 2证明：2020sin2cossinxdxxdxxnnnn，n为正整数。证明：202220)2(cos2222sin2cossinduuxuxdxxdxxnnnnnn令222002)(2(cos22co

25、s2cos212dttutuduudunnnnnn2020sin2sin2xdxtdtnnnn(四) 定积分等式的证明中所作的变量替换。解题方法： 任何变量替换， 主要是通过考察等式两边关于被积函数或其主要部分的形式来确定。例如一端的被积函数或其主要部分为)(xf，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22 页15 另一端为)(uf，则令)(ux。假设一端为)(xf，另一端为)(uf则所作的变换通过分析等式两端的积分上、下限去确定。1 例 1证明xxtxtxtdteedte0044222分析：xxuxxtxtxtduedte

26、dte0040422222比较2txte与422uxe， 可知，应令)(41222uxtxt， 则0)(4422uxxtt，进而2uxt或2uxt证明：xxuxxxuxuxxxtxtduedueuxtdte4)2()2(0222221)2(2令dteedtextxxtx0404442222. 例 2设)(xf连续，试证4242)3()9()3()3()9()9(dxxfxfxfdxxfxfxf；并求42)3()9()9(dxxfxfxf的值。分析：duufufufdxxfxfxf4242)3()9()3()3()9()9(比较两边的被积函数)3()9()3(,)3()9()9(ufufufxf

27、xfxf,可知只要ux39，即xu6命题即可得证。证明：dxxfxfxfduufufufxudxxfxfxf244242)9()3()3()()9()3()3(6)3()9()9(令利用上式可得)3()9()3()3()9()9(21)3()9()9(424242dxxfxfxfdxxfxfxfdxxfxfxf421221121dx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 22 页16 四 解微分方程中变量替换的应用技巧(一) 在求解可别离变量方程中变量替换的应用解题方法：方程中出现)(),(),(),(22xyfyxfyx

28、fxyf等形式的项时， 通常要使用相应的变量替换：.,22xyyxyxxyu等。3 例 1：求解以下微分方程(1)xyxyyxy)sin(12(2)xyyxyy2tan212(3)01)ln(xyyxy(4)222)(21xyxxyy解：(1)令dxdyxydxduxyu,，代入方程得uudxdusin1，即,sindxuduu则cxuuusincos故原方程的通解为：cxxyxyxy)cos()sin(, (2)令dxduxudxdyyuxyxyu2,22，代入方程，得uudxduxutan，即xdxuducot，则,lnlnsinlncxu即cxusin故原方程的通解：cxxy2sin,

29、(3)令dxdyxydxduxyu,，代入方程，得0lnyuyydxdu，即uxudxduln，亦即xdxuuduln，进而,lnlnlnlncxu则cxuln，即cxeu故原方程的通解：cxexy, (4)令dxdyyxdxduyxu22,22，代入原方程，得2)(xudxdu即22xdxudu，解得cxu11，即cxu11. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22 页17 故原方程的通解：cxyx1122. (二) 求解齐次方程)(xyy中变量替换的应用解题方法：令,xuuyuxyuxy代入原方程，得)(uxuu，则

30、cxuuduln)(例：求解以下微分方程(1)xxyyxyarctan)(；(2)22yxyxy. 解：(1)由原方程得xyarctgxyy1令,xuuyuxyxyu，代入方程，得uuxuuarctan1所以xdxuduarctan，即xdxuarctan，解得：cxuuulnln)1ln(21arctan2即uueucxarctan21，因此xyxyecyxarctan22(2)2)(1xyxyy，令,xuuyuxyxyu代入原方程，得21uuxuu，所以xdxudu21，解得cxulnarcsin，即cxxylnarcsin(三) 求解一阶线性方程中变量替换的应用例：求解以下方程(1)yy

31、xytancos，(2)02)1(322xyyyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页18 解：(1)由,cossincosyyyxy知yxyysincos，即yxysin)(sin，令uysin，则原方程变为xuu特征方程：01即1，特解1)1(11*xxDxDu于是方程的通解为：1xceux，故原方程的通解为1sinxceyx(2)令2)(xyu，于是xyyu2)( ，原方程变为3221)(yyxyyu即32)( 1)(yyuyyu，则31)(1)( yyuyyu则方程的齐次方程：0)(1)( yuyyu.则y

32、dyudu，解得cyulnlnln，即ycu. 令方程的解为yycu)(，将其代入，并整理得231)( 1)( yycyyyc解得cyyc1)(故方程的通解为：ycyycyu11)1(2故原方程的通解为：122ycyx. 五 重积分中变量替换的应用(一) 二重积分计算中的变量替换设被积函数),(yxf在区域D上连续，假设变换),(),(vuyyvuxx，满精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 22 页19 足如下条件(1)将 uov 平面上的区域*D上的点一对一地变为D上的点；(2),(),(vuyvux在*D上有连续的一阶

33、编导数，且雅可比行列式0,),(),(vyuyvxuxvuyxJ则dudvJvuyvuxfdxdyyxfDD|),(),(),(*同样，作什么变换主要取决于积分域D 的形状，有时也兼顾被积函数),(yxf的形状，基本想法是定限简便，求积容易。例 1：计算dxdyxyID，其中 D 是由曲线6)32(4xyyx在第一象限中所围成的区域。4 解：6)32(4xyyx是一个四次方程，要解出x(或y)相当难。因此不宜在直角坐标系中计算。为此，令22sin3,cos2yx则曲线方程变为2224cossin，即222cossin，又因所研究的是曲线在第一象限中围成的区域，于是20因而,cossin令0，得

34、0，2cossin12cossin6sin3sincos4cos2),(),(22yxJ故156cossin612|cossin6220cossin022222ddddJIDx例 2：设)(tf为连续函数，证明：dttatfdxdyyxfaaD|)|( )()(. 其中 D 为矩形域，2| ,2|ayax(常数0a)如图(1)，证明：令yxvyxu,，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 22 页20 avuaavuaDDx,:如图(2) 21),(),(1),(),(yxvuvuyxJ故：dudvufdxdyyxfxDD

35、21)()(0000)()()()(21)(21aaauaauuaauaduufduufuadvufdvduufduufuaduufuaaa)(|)|()(|)|(00dttatfaa|)|( )(. (二) 利用直角坐标系计算例 1，dxdydzxyI21，其中为1, 1,12222yzxzxy之间。解：如图Dxzyxdyxydxdzdxdydzxy11222211222211111121xxzxydydzdxxdzZxdxxxx21221111222x y a a -a -a 0 (1) x y 0 2a2a-2a(2) y x z x2+z2=1 o y=1 精选学习资料 - - - -

36、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 22 页21 4528)313132(1124dxxx(三) 利用柱面坐标系计算例：,)(dvzyxI由222Zyx；hZ0所围成形体解：由于关于yoz坐标面，xoz坐标面均对称，故,0ydvxdv于是hhphyxDzdzddzdzdxdyzdvIxy02022403202241)(21)(2hdhdhhh(四) 利用球面坐标系计算例：dvzyxzyxzI1) 1ln(222222，其中为1222zyx，解：ddrdrrrIsin1)1ln(cos222drrrrdd102230201)1ln(cossin因为00

37、cossind, 所以0I. 结束语以上我仅就五个领域，论述了由于运用变量替换而给解题带来的方便之处。虽然这些类型是很有限的，但它们却反映了实际问题的相当部分，通过实践，我们可以清楚的看到在运算中由于运用了变量替换，不仅给解题带来了方便，更为我们提供了一种全新的思维方式。当然，变量替换应用的领域很广泛，不只有我以上提到的几种。譬如，利用残数定理计算实积分等领域中也用到了变量替换。因此，可以毫不夸张的说变量替换已经作为一种数学思想渗透在数学这门学科的每一个角落，它精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 22 页22 就如同一盏指

38、航灯，为我们在数学海洋的遨游中指明了方向，使我们顺利到达成功的此岸。因此，变量替换的作用不可无视，变量替换应用的前景无可限量。它会为我们打开方便之门，成为数学知识宝库中一个瑰丽的奇葩，大放异彩！参考文献：1华东师范大学数学系编.数学分析上册。高等教育出版社，1991 年。2华东师范大学数学系编.数学分析下册。高等教育出版社，1991 年。3王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程。高等教育出版社，1983 年。4陈文灯，黄先开.数学题型集粹与模拟试题集.理工类 2001 版。世界图书出版公司，2000 年。Common in higher mathematics variable subst

39、itution Lu Youdong (Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract Variable substitution is resolving the significant measure of higher mathematics problem . Thoroughly comprehending the variable substitution may foster the capability that student utilized the dif

40、ferent actual problem of agile handle of the information studyed . Hence being living in the higher mathematics , how to employ and masters the variable substitution is the key to resolve some issues ; The how agile application variable substitution is a problem that merit valueing . The original de

41、tailedly introduced by means of several examples the mould , the sequence of number awaits variable substitution in some kinds of calculations the maximum application and circular function replace , reciprocal replace with the mould , and the index number replace awaits the variable substitution ind

42、efinite integral calculation in the application , and emphasizees to introduce the application that the definite integral being living operates the variable substitution in the solution differential equation Key words Variable substitution Integration The maximum 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 22 页