2022年高等数学定积分重点难点复习大纲例题讲解 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第五章 定积分一、基本要求：1. 理解定积分的概念、几何意义、物理意义及定积分的性质. 2. 理解积分上限的函数，并掌握其求导法则. 3. 掌握牛顿莱布尼兹公式. 4. 掌握定积分的换元法和分布积分法. 5. 理解反常积分 (广义积分 )的概念，会计算反常积分，了解反常积分的审敛法 . 6. 了解定积分的近似计算方法. 二、主要内容定积分概念定积分的近似计算方法定积分的换元法定积分的性质积分上限的函数及其导数定积分的分部积分法定积分的几何意义(物理意义 ) 利用对称区间的积分性质计算定积分牛顿莱布尼兹公式反常积分的审敛性无穷限的反常积分计算无界函数的反常积分计反常积分 (广义积

2、分 ) 利用周期性计算定积分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页学习必备欢迎下载.定积分概念：1. 定积分定义：设( )f x在区间 , a b上有界，在 , a b中任意插入若干个分点0121nnaxxxxxbL.把 , a b分成n个小区间1,(1,2, )iixxinL，小区间的长度记为1,(1,2, )iiixxxinL，在1,iixx上任 意 取 一点i， 作1()niiifx， 若01lim()niiifx1(max)iinx存在. 就称该极限为( )f x在 , a b上的定积分 .记为01( )lim

3、()nbiiaif x dxfx当上述极限存在时，称( )f x在 , a b上可积 . 2. 若( )f x在 , a b上连续，则( )f x在 , a b上可积。3. 若( )f x在 , a b上有界，且只有有限个间断点，则( )f x在 , a b上可积. .定积分的几何意义定积分( )baf x dx在几何上表示：由曲线( )yf x， 直线xa和xb以及x轴所围图形面积的代数和(x轴上方的面积取正，x轴下方的面积取负) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页学习必备欢迎下载.定积分的性质1. 补充规定：

4、(1)当ab时，( )0baf x dx(2)当ab时,( )( )baabf x dxfx dx2. 性质：(1)( )( )( )( )bbbaaafxg x dxf x dxg x dx(2)( )( ),()bbaakf x dxkf x dxk为常数(3)( )( )( )bcbaacf x dxfx dxfx dx(4)badxba(5) 若在 , a b上，( )0f x，则( )0,()baf x dxab推论 1：若在 , a b上，( )( )f xg x，则( )( ),()bbaafx dxg x dxab. 推论 2：( )( ),()bbaaf x dxf x dx

5、 ab. (6 ) 若在 , a b上，( )mf xM,则()( )(),()bam baf x dxM baab(7) (定积分中值定理 )：若( )f x在 , a b上连续，则在 , a b上至少存在，使( )( )(),()baf x dxfbaab. 3. 连续函数( )f x在 , a b上的平均值，1( )bayf x dxba. 积分上限函数及其导数1. 若对任意 , xa b，( )xaf t dt存在，则称( )( )xaxf t dt为积分上限的函数. 2. 若( )f x在 , a b上可积，则( )f x在 , a b上有界 . 且积分上限函数( )( )xaxf

6、t dt在 , a b上连续 . 3. 设( )f x在 , a b上 连 续 ， 则( )( )xaxf t dt在 , a b上 可 导 ， 且( )( )( ),()xadxf t dtf xaxbdx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页学习必备欢迎下载4. 设( )f x连续，( )x可导，则( )( )( ) ( )( )xadxf t dtfxxdx. 5. 设( )f x连续，( )x，( )x可导，则( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )xxdxf t dtfxxfxxdx. . 牛

7、顿莱布尼兹公式 .(微积分基本定理 ) 设( )f x在 , a b上连续，( )F x为( )f x在 , a b上的一个原函数，则( )( )( )baf x dxF bF a. . 定积分的换元法设( )f x在 , a b上连续，( )xt满足：(1)( ), ()ab. (2)( ) t在,(或,)上具有连续导数，且( )xt的值域不越出 , a b的范围，则有( ) ( )( )baf x dxftt dt. 注：当( ) t的值域,RA B越出 , a b的范围，但满足其余条件时，只要( )f x在,A B上连续，则换元法的结论仍然成立. . 定积分的分部积分法设( )u x与(

8、 )v x在 , a b上具有连续导数，则有( )( )( ) ( )( )( )bbbaaau x dv xu x v xv x du x. 几类特殊的积分公式1. 设( )f x在, a a上连续，则有0( )( )()aaaf x dxf xfx dx. 02( )( ), ( )( ), aaaf x dxf xa af x dxf xa a当为上连续的偶函数时0当为上连续的奇函数时2. 设( )f x是以l为周期的连续函数，则对任意实数a，有0( )( )a llaf x dxf x dx. 3. 设( )f x在0,1上连续，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

9、归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页学习必备欢迎下载2200(sin )(cos )fx dxfx dx00(sin )(sin )2xfx dxfx dx200(sin )2(sin )fx dxfx dx4.2200123 134 2 2124 2sincos135 31nnnnnnnnnxdxxdxnnnnLLg为正偶数为大于 1的正奇整数1. 反常积分 (广义积分 ) 1. 无穷限的反常积分(1) 设( )f x在 ,)a上连续 ,( )lim( )baabf x dxf x dx(2) 设( )f x在(, b上连续 ,( )lim( )bbaaf x dxf

10、 x dx(3) 设( )f x在(,)上连续 , 0000( )( )( )lim( )lim( )baabf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx若上述各式右端的极限存在， 则对应的反常积分收敛， 否则称该反常积分发散 . 注：(3)的右端是两个独立的极限，只有当两个极限都存在使，才有( )f x dx收敛. 只要有一个极限不存在，( )f x dx就发散 . 2. 无界函数的反常积分(1) 设( )f x在( , a b上 连 续 ， 点a为( )f x的 瑕 点 ，( )lim( )bbattaf x dxf x dx(2) 设( )f x在 , )a b上 连 续

11、 ， 点b为( )f x的 瑕 点 ，( )lim( )btaatbf x dxf x dx(3) 设( )f x在 , a b上除点c ()acb外连续，点c为( )f x的瑕点，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页学习必备欢迎下载( )( )( )lim( )lim( )bcbtbaacattctcf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx若上述各式右端的极限存在， 则对应的反常积分收敛， 否则称该反常积分发散 . 注：(3)的右端是两个独立的极限，只有当两个极限都存在使，才有( )baf x

12、dx收敛. 只要有一个极限不存在，( )baf x dx就发散 . 3. 反常积分的审敛法(1)(比较审敛法 1)设( )fx在 ,)(0)aa上连续，且( )0f x. 若存在常数0M及1p，使得( )pMf xx()ax，则反常积分( )af x dx收敛；若存在常数0N，使得( )Nf xx()ax，则反常积分( )af x dx发散. (2)(极限审敛法 1) 设( )f x在 ,)a上连续，且( )0f x. 若存在常数1p，使得lim( )pxx f x存在，则反常积分( )af x dx收敛；若lim( )0 xxf xd，(或lim( )xxf x)则反常积分( )af x d

13、x发散. (3) (比较审敛法 2)设( )f x在( , a b上连续，且( )0f x. xa为( )f x的瑕点 .若存在常数0M及1q，使得( )()()qMf xaxbxa，则 反 常 积 分( )bafx dx收 敛 ； 若 存 在 常 数0N， 使 得( )Nf xxa()axb，则反常积分( )baf x dx发散. (4)(极限审敛法 2) 设( )f x在( , a b上连续，且( )0f x. xa为( )f x的瑕点 . 若存在常数01q，使得lim()( )qxaxaf x存在，则反常积分( )baf x dx收敛；若lim() ( )0 xaxa f xd， (或l

14、im()( )xaxa f x)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页学习必备欢迎下载则反常积分( )baf x dx发散. 三、重点与难点1. 积分上限的函数及其导数 . 2. 牛顿莱布尼兹公式 . 3. 定积分的换元法和分部积分法. 四、例题1. 求2222212lim()12nnnnnnL分析：由定积分定义知01()( )lim( )nbiiainf x dxfx，可见求右端的极限也可通过求左端的定积分值而得到. 解决此类问题的关键是把和式归结为某个函数在某区间上的积分和式. 解：原式22221111limlim

15、lim11( )nnniinnniiiiiinxininn11122220001111(1)ln(1)ln 212122xdxdxxxx2. 下列解法是否正确(1). 2200sec1tanarctan()02tan22xxdxx(2).111122211111111xtdxdtdxxtx令，即11221112011dxdxxx解：这两题的解法都不正确. (1) 被积函数220sec( )2tanxf xdxx在积分区间0,内2x处不满精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页学习必备欢迎下载足“牛顿莱布尼兹”公式的条件，

16、故不能直接应用公式. (2) 代换1xt在 1,1上不连续，故在 1,1上不可导，不符合换元法的条件 . 3. 求下列定积分(1)30sinsinxxdx(2)221min,xxdx(3)2221dxdxxx(4)2212xxx dx解：32000sinsinsincossincosxxdxxxdxxx dx2202sincossincosxxdxxxdx332220222sinsin33xx224333注：带绝对值符号的函数的积分，需先脱掉绝对值符号， 如在积分区间上脱掉绝对值符号后为分段函数，则转化为分段函数的积分. (2)2211min,12xxx xxx2122211113min,6x

17、 xdxx dxxdx(3)2222222222111111()ddxdxxdxxxxxx221arcsin4612x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页学习必备欢迎下载(4)22221121(1)xxx dxxxdx令1sin ,xt则cosdxtdt原式222222000(sin1)coscoscoscosttdttdttdt230111cos32 234t4. 设( )f x连续，0( )( )xg xxf t dt，求(0)g解：0( )( )( )xg xxfxf t dt(1) (0)0g000( )(

18、)( )(0)(0)limlimxxxxf xf t dtg xggxx000( )( )lim( )(0)lim2 (0)1xxxf t dtf xf xffx注：此题没有( )f x可导的条件，故“对 (1)式两边在对x求导. 得( )( )( )( )2( )( )(0)2 (0)gxf xxfxf xf xxfxgf“这种解法是错误的 . 5. 计算下列极限(1)20sin00ln(1)limsin 2xxxt dttdt(2)20030( )limxttxxtef u du dtx e解：(1)20sin0000ln(1)ln(12 ) 24limlimlimsin(2sin)cos

19、sin 2sin 2xxxxxt dtxxxxxtdt(2)222000032323000( )( )( )limlimlim(3)3xxtxtxxxxxxtef u du dtxef u duf u dux exx exx20() 2(0) 0lim0323xfxxfx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页学习必备欢迎下载6.设( )f x为连续函数，且221(2)( )arctan2xxxt f t dtx，(1)1f，求21( )f x dx. 解：22212( )( )arctan2xxxxxf t dttf

20、t dtx两边对x求导，得242( )2 2(2 )( )4(2 )( )1xxxf t dtxfxf xxfxxf xx整理后，有241( )( )2 1xxxf t dtxf xx令1x，即得211 13( )(1)2 24f x dxf7.设( )f x在(,)内连续，且0( )()( )2xxF xt f t dt证明：(1)若( )f x为偶函数，则( )F x也是偶函数 . (2) 若( )f x为 单 减 函 数 ， 则( )F x也 是 单 增 函数. 证明：(1)00()()( )() ()()22xxxxFxt f t dtu fu dutu0() ( )( )2xxu f

21、 u duF x即( )F x为偶函数(2)00( )( )( )2xxxF xf t dttf t dt0011( )( )( )( )( )( )222xxxF xf t dtf xxf xf t dtxf x00011( )( )( )( )22xxxf t dtf x dtf tf x dt由( )f x单减，当0tx时，( )( )0f tf x01( )( )( )0(0)2xFxf tf x dtx时当0 xt时，( )( )0f tf x. 0011( )( )( )0( )( )22xxFxf tf x dtf tf x dt(0)x时精选学习资料 - - - - - - -

22、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页学习必备欢迎下载即在(,)上，( )F x为单增函数 . 8.计算下列各题：(1)52222(sin)cosxxxdx(2)2ln(1)(0)axaxedxa(1)解：52cosxx为奇函数，22sincosxx为偶函数 . 原式522222222222cossincossincosxxdxxxdxxxdx22242220002sin(1 sin)2sinsinxx dxxdxxdx=13 12()224 228(2)分析：此题的积分区间是对称区间，而对称区间上的定积分有公式aaadxxfxfdxxf0)()()(，若

23、)()(xfxf在,0a上容易积分，该公式就可利用了 . 解：axxaaxdxexexdxex0222)1ln()1ln()1ln(axxxaxxdxeeexdxeex001)1(ln211ln23003232322axdxxaa9.计算kdxx02sin1(k为正整数 ) 解：原式kkdxxxdxxx002cossin)cos(sinkkdxxxdxxxdxxx)1(20cossincossincossin0cossindxxxk)cos(sin)sin(cos440dxxxdxxxk)sin(cos)cos(sin440 xxxxk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

24、总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页学习必备欢迎下载k22注：xxcossin是周期为的周期函数 . 10.求dxxx1021)1ln(解：令txtan，原式dtttdttt402402)tan1ln(secsec)tan1ln(设dtt40)tan1ln(dttdtttdttt404040cosln)sinln(cos)cossin1ln(dttdtt4040cosln)4cos(2ln(1) 而duuduudtt400440)cos2ln)cos2ln()4cos(2ln)4(tuduudu4040cosln2ln代入(1)式得dttduudu404040coslnc

25、osln2ln2ln82ln40du所以2ln81)1ln(102dxxx11.求20cossinsindxeeexxx解：20sincoscos02sincoscos20cossinsindxeeedxeeedxeeexxxtttxxx于是222020sincoscossindxdxeeeexxxx420cossinsindxeeexxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页学习必备欢迎下载12.求10122dxdtexxt. 解：221xtdte为x的函数，令221)(xtdtexf原式10210210210)(

26、2)(22)()(dxxfxxfxxdxfdxxxf1021012222422dxxexdtexxxt104103)(4144xdedxexxx)1(411e13. 设函数xdttx0sin)(1)当n为正整数，且)1(nxn时，证明)1(2)(2nxn(2)求xxx)(lim解：(1)由0sint,且)1(nxn)1(00sin)(sinnndttxdtt有由tsin是周期为的周期函数 . ntdtndttndttn2sinsinsin000同理)1(2sin)1(0ndttn因此，当) 1(nxn时，有)1(2)(2nxn(2)由(1)知当) 1(nxn即nxn11)1(1有nnxxnn)

27、1(2)()1(2，令x，有n. 而2)1(2limnnn，2)1(2limnnn2)(limxxx14.设)(xf在 1 ,0上 连续 ， 且 单调递 减， 证 明 对)1 ,0(,有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页学习必备欢迎下载100)()(dxxfdxxf证法一：1010)()()(dxxfdxxfdxxf于是100)()(dxxfdxxf=)()()(100dxxfdxxfdxxf =10)()()1 (dxxfdxxf由积分中值定理)()(10fdxxf10)()1()(21fdxxf12因此100

28、)()(dxxfdxxf=)()1()()1 (21ff=)()()1 (21ff (1021) 因)(xf单减，则有)()(21ff，即100)()(dxxfdxxf. 证法二：设100)()(1)(dxxfdxxfF (10) 2201)()()()()(ffdxxffF00)()(ff即)(F在1 ,0(上单调不增，即0)1()(FF，即有100)()(dxxfdxxf. 注：此题还可以用积分换元法加以证明. 15. 设)(xf在 1 ,0上连续，)1 , 0(内可导，且满足2102)(2) 1(dxxfxf. 证明在)1 , 0(内至少有一点使)(2)(ff. 证：设)()(2xfxx

29、F，由积分中值定理，21)()()(12102102FdxxFdxxfx (2101) 即21021)(2)(dxxfxF，而dxxfxfF21022)(2) 1 (1)1 (即)1()(1FF，由罗尔定理，存在)1 ,0() 1 ,(1，使0)(F精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页学习必备欢迎下载而)()(2)(2xfxxxfxF，即有0)()(2)(2ffF也即0)()(2ff，)(2)(ff. 16. 计算下列反常积分 . (1)22ln1dxxx (2)0232)1 (arctandxxx (3)1021

30、1lndxx解：(1)22ln1dxxx=21)ln1(xdx =2221ln1dxxxx =2122ln1x=22ln. (2) 令xxtan，0232)1(arctandxxxdtttt2023secsec =dttt20cos=tdt sin20 =2020sinsintdttt=20cos2t=12. (3)2111lnlimxx, 1x为被积函数的瑕点 . 10211lndxx=ttdxxx01)1)(1 (1lnlim =ttdxxx01)1ln()1ln(lim =ttxxxxx01)1ln()1(2)1ln() 1(lim =)1ln()1(2)1ln()1(lim1ttttt

31、t =)2ln1(217. 已知dxex2，12dxcexx. 求c的值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页学习必备欢迎下载解：dxcexx2)21(41)21(2xdeecxtx21令dteect412dtecet24141ce即414111ecce. 18. 设其它010)(xxxf，000)(xxexgx，求函数dxxtgxfth)()()(的表达式 . 解：因为)(xf在)1 ,0(上为xxf)(，在) 1 ,0(之外都为零 . 故dxxtgxfth)()()(10)(dxxtxg而其它00)()(xt

32、extgxt当0t时，由于积分变量 1 ,0 x，故总有tx从而0)(xtg，0)()(10dxxtxgth. 当10t时，1010)()()()(ttdxxtxgdxxtxgdxxtxgth当积分变量x在 1 ,t上变化时，0 xt，0)(xtg，所以0)(1tdxxtxg从而txtttxtdxxeedxxedxxtxgth000)()(tttttxxteteteeexee1)1(0当1t时，txttxedxxeedxxedxxtxgth101010)()(. 综上时当时当时当110100)(textetthtt注：本题是含参变量的反常积分，这是一类重要的积分，它在概率统精选学习资料 - -

33、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页学习必备欢迎下载计以及积分变换中都会用到. 定积分自测题 (A) 一. 选择题( 每小题 3 分，共 15 分). 1.dtedxdbxt2( ) (A)2xe (B)2xe (C)22xbee (D)22xxe2.dxxxI3021, 则( ) (A) 化为)1()1(21230212xdxI后计算(B) 进行代换txsin后计算(C) 进行代换tx21，dttI30212121后计算(D) 进行代换txcos后计算3. 设)(xf连续且2)0(f，00)()(20 xcxxdtttfxFx，若)

34、(xF在0 x处连续，则c( ) (A)0c (B)1c (C)c不存在 (D)1c4. 设)(xf在aa, 上连续，则aadxxf)(等于( ) (A)adxxf0)(2 (B)0 (C)adxxfxf0)()( (D)adxxfxf0)()(5. 设)(xf是连续的奇函数，则)(xf的任一原函数 ( ) (A) 是偶函数 (B)是奇函数(C) 可能是奇函数，也可能是偶函数 (D)非奇非偶函数二.(7 分) 求4121141lim22222nnnn. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页学习必备欢迎下载三. 计算

35、下列各题 ( 每题 6 分，共 12 分). 1.202200)()(lim22dtedtextxtx 2. 设dttxfxxsin2)1arctan()(，求)0(f. 四. 计算下列定积分 ( 每题 8 分，共 56 分). 1.21ln11edxxx 2.dxxx20cossin 3.43412)1(1dxxxx 4.xedx1 5.dxx4302cos1 6.dxxx11224 7.dxxx22ln1五.(10 分) 设001)(2xexxxfx，求dxxf31)2(. 定积分自测题 (B) 一. 选择题( 每小题 3 分，共 15 分). 1. 设0)(dxxfba，且)(xf在,b

36、a连续，则 ( ) (A) 在,ba上，0)(xf (B)必存在,ba，使0)(f(C) 存在唯一的,ba， 使0)(f (D) 不一定存在,ba， 使0)(f2. 设dttIxeln1，dttIxe22)(ln，(0 x) ，则( ) (A) 对一切ex，有21II (B)仅当ex时，有21II(C) 对一切ex，有21II (D)仅当ex时，有21II3. 当0 x时，102)sin()(xedttxf与43)(xxxg比较，是 ( ) (A) 高阶无穷小 (B)低阶无穷小(C) 同阶但非等价无穷小 (D)等价无穷小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

37、 - - - -第 18 页，共 23 页学习必备欢迎下载4. 函数dttttxx0213)(在区间 1 ,0上的最小值为 ( ) (A)21 (B)31 (C)41 (D)0 5.xdttxxcos1)1ln(lim2sin00( ) (A)8 (B)4 (C)2 (D)1 二. 填空题( 每小题 3 分，共 15 分). 1. 设)(xf为连续函数，则aadxxfxfx)()(2. 2.)212111(limnnnn. 3. 若dxxfdxxxfa0202)(21)(，则a. 4. 设21110)(2xxxxf， 而xdttfxF1)()()20(x， 则)(xF. 5.dxx201. 三

38、. 计算下列各题 ( 每题 8 分，共 56 分). 1.10 xxeedx 2.214)1 (xxdx3.d22234sin)sin(cos 4.dxxx202sin3sin5.2ln021dxex 6.02)1 ()1ln(dxxx7. 已知5)2(, 3)2(, 1)0(fff，求10 )(dxxxf. 四.(8 分) 设xdtttxf111ln)()0(x, 试求)1()(xfxf. 五.(6 分) 设)(xf在1 ,0上连续，)1 ,0(内可导，且)0()(3132fdxxf. 证明：在) 1 ,0(内至少存在一点，使0)(f. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

39、归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页学习必备欢迎下载定积分自测题 (C) 一. 选择题( 每小题 3 分，共 18 分). 1. 设)(xf为连续函数，那么函数xdtttfxF02)()(为( ) (A) 奇函数 (B)偶函数(C) 非奇非偶函数 (D)单调增加函数2.xadttf)2( ) (A)()( 2afxf (B)2()2(afxf(C)2()2( 2afxf (D)2()2(21afxf3. 函数)(xf在闭区间,ba上连续是定积分dxxfba)(存在的( ) (A) 必要条件 (B)充分条件(C) 充要条件 (D)无关条件4. 设114121sindxe

40、xxIx，1142)1sin(2dxexxIx，1143)1sin(2dxexxIx，则( ) (A)321III (B)231III(A)213III (A)123III5. 设)(xf连续，则xdttxtfdxd022)( ) (A)(2xxf (B)(2xxf(C)(22xxf (D)(22xxf6. 广义积分收敛的是 ( ) (A)edxxxln (B)edxxxln1(C)exxdx2)(ln (D)exxdxln二. 填空题( 每小题 3 分，共 12 分). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页学习必

41、备欢迎下载1.)1ln(22xxtdttedxd . 2. 设)(xf在4,0上连续，且3)(212xdttfx，则)2(f. 3. 设)(xf为连续函数，且dxxfxxfe1)(ln)(，则dxxfe1)(. 4.dxxx1122)1(. 三. 计算下列各题 ( 每题 8 分，共 40 分). 1.402cos1dxxx 2.203) 1(1xxdx3. edxxx1ln1 4.10222)1(dxxx5.5ln031dxeeexxx四.(10 分) 已知dtteaxaxatxx2)(lim，试求a的值. 五.(10 分) 已知xxdttatxbx0201sin1lim，求ba,的值. 六.

42、(10 分) 设)(xf在,0a上连续，且0)0(f. 证明：2)(20Madxxfa，其中)(max0 xfMax. 定积分自测题答案自测题 (A) 一. 1.D 2.A 3.B 4.C 5.A 二. 6. 三. 1.1 2.2四. 1.)13(2 2.)12(2 3.3831ln44.ee12ln 5.122 6.2332精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页学习必备欢迎下载7.2ln1五. e137自测题 (B) 一.1.B 2.B 3.C 4.D 5.B 二. 1.0 2.2ln 3.4a4.21110) 1

43、(31)(3xxxxxF 5.1 三. 1.earctan 2.1732ln41 3.16 4.31ln415.)32ln(23 6.1 7.2 四.2)(ln21x五. 提示：利用积分中值定理及罗尔定理. 自测题 (C) 一. 1.B 2.D 3.B 4.C 5.A 6.C 二. 1.)1ln(2)1ln(422xxexexx 2.41)2(f 3.e1 4.2 三. 1.)22ln4(21 2.6 3.234.82 5.4四. 25a五. 1,4 ba六. ,0(ax，由拉格朗日中值定理，xffxf)()0()(，),0(x. 又因0)0(f，故xfxf)()(，,0ax，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页学习必备欢迎下载于是200002)()()(aMdxxMdxxfdxxfdxxfaaaa.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页