2022年高考数学二轮复习专项：排列、组合、二项式定理与概率统计 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载湖南师大附中高考数学二轮复习专项排列、组合、二项式定理与概率统计（含详解）1. 袋里装有30 个球，每个球上都记有1 到 30 的一个号码, 设号码为n的球的重量为344342nn(克). 这些球以等可能性(不受重量 , 号码的影响 )从袋里取出 .（）如果任意取出 1 球, 求其号码是3 的倍数的概率. （）如果任意取出1 球, 求重量不大于号其码的概率; （）如果同时任意取出2 球, 试求它们重量相同的概率. 2. 从 10 个元件中（其中4 个相同的甲品牌元件和6 个相同的乙品牌元件）随机选出3个参加某种性能测试. 每个甲品牌元件能通过测试的概率均为54， 每个乙品牌

2、元件能通过测试的概率均为53.试求：（I）选出的3 个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率；（II ）若选出的三个元件均为乙品牌元件，现对它们进行性能测试，求至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率. 3. 设在 12 个同类型的零件中有2 个次品，抽取3 次进行检验，每次任取一个，并且取出不在放回，若以和分别表示取出次品和正品的个数。（1）求的分布列，期望及方差；（2）求的分布列，期望及方差；4. 某大型商场一个结算窗口，每天排队结算的人数及相应概率如下：排队人数05 610 1115 1620 2125 25 以上概率0.1 a 0.25 0.25 0.2 0.05 （1）每天不超过20 人排

3、队结算的概率是多少？（2）一周 7 天中，若有三天以上（含三天）出现超过15 人排队结算的概率大于0.75，商场精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载就需要增加结算窗口，请问，该商场是否需要增加结算窗口？5. 某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货如果在某一小时内各柜面不需要售货员照顾的概率分别为0.9,0.8，0.7假定各个柜面是否需要照顾相互之间没有影响，求在这个小时内：（1）只有丙柜面需要售货员照顾的概率；（2）三个柜面最多有一个需要售货员照顾的概率；（3）三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概

4、率6. 某同学上楼梯的习惯每步走1 阶或 2 阶，现有一个11 阶的楼梯，该同学从第1 阶到第11 阶用 7 步走完。(1)求该同学恰好有连着三步都走2 阶的概率；(2)记该同学连走2 阶的最多步数为 ，求随机事件 的分布列及其期望。7. 甲、乙两支足球队，苦战120 分钟，比分为1 ：1，现决定各派5 名队员，每人射一个点球决定胜负，假设两支球队派出的队员点球命中率均为0.5.两队球员一个间隔一个出场射球，有多少种不同的出场顺序？甲、乙两队各射完5 个点球后，再次出现平局的概率是多少？8. 在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为

5、x、y，记xyx2（）求随机变量的最大值，并求事件“ 取得最大值 ” 的概率；（）求随机变量的分布列和数学期望精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载9. 一接待中心有A、B、C、D 四部热线电话， 已知某一时刻电话A、B 占线的概率均为0.5，电话 C、D 占线的概率均为0.4。各部门是否占线相互之间没有影响。假设有部电话占线，试求随机变量的概率分布和它的期望。10. 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32和43.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有

6、影响. ()求甲射击4 次,至少 1 次未击中目标的概率; ()求两人各射击4 次,甲恰好击中目标2 次且乙恰好击中目标3 次的概率 ; ()假设某人连续2 次未击中目标,则停止射击 .问:乙恰好射击5 次后 ,被中止射击的概率是多少? 11. 如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为mSn，假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷10000个点，以X表示落入M中的点的数目（I）求X的均值EX；（ II ） 求 用 以 上 方 法 估 计M的

7、 面 积 时 ，M的 面 积 的 估 计 值 与 实 际 值 之 差 在 区 间( 0.03)，内的概率附表：10000100000( )0.250.75kttttP kCk2424242525742575精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载( )P k0.04030.04230.95700.959012. 四个纪念币A、B、C、D,投掷时正面向上的概率如下表所示(01)a. 纪念币ABCD概率1212aa这四个纪念币同时投掷一次,设表示出现正面向上的个数. (1)求的分布列及数学期望；(2)在概

8、率()(0,1,2,3,4)Pii中,若(2)P的值最大 ,求a的取值范围 . 13. 数学试题中共有10 道选择题每道选择题都有4 个选项，其中有且仅有一个是正确的. 评分标准规定：“ 每题只选 1 项，答对得5 分，不答或答错得0 分 ” ，某考生每道题都给出了一个答案， 已确定有 6 道题的答案是正确的，而其余题中， 有两道题都可判断出两个选项是错误的， 有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜，试求出该考生：（1）得 50 分的概率；（2）得多少分的可能性最大. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页

9、，共 17 页优秀学习资料欢迎下载14. 甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3 人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。 假设甲队中每人答对的概率均为32，乙队中 3 人答对的概率分别为21,32,32且各人正确与否相互之间没有影响.用 表示甲队的总得分. ()求随机变量 分布列和数学期望；()用 A 表示 “ 甲、乙两个队总得分之和等于3” 这一事件，用B 表示 “ 甲队总得分大于乙队总得分 ” 这一事件，求P(AB). 15. 多哈亚运会中，中国女排与日本女排以“ 五局三胜 ” 制进行决赛，根据以往战况，中国女排每一局赢的概率为53。已知比赛中，第一局日本女排先胜一局，在这个条

10、件下，（）求中国女排取胜的概率（）设决赛中比赛总的局数，求的分布列及E（ （）（）均用分数作答）16. 某商品 ,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数的分布列为1 2 3 4 5 P0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1 期付款，其利润为200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为250元；分 4 期或 5 期付款，其利润为300 元表示经销一件该商品的利润（1）求事件A：“ 购买该商品的3 位顾客中，至少有1 位采用 1 期付款 ” 的概率()P A；（2）求的分布列及期望E精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

11、-第 5 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载17. 有三张大小形状质量完全相同的卡片，三张卡片上分别写有0，1，2 三个数字，现从中任抽一张， 其上面的数字记为x，然后放回， 再抽一张， 其上面的数字记为y，记=xy ，求：(1)的分布列； (2)的期望18. 一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入了一箱，为了找出该箱中的二等品，我们对该箱中的产品逐一取出进行测试。（I）求前两次取出的都是二等品的概率；（II）求第二次取出的是二等品的概率；（III ）用随机变量表示第二个二等品被取出时共取出的件数，求的分布列及数学期望。19. 在一段线路中

12、并联着3 个自动控制的常开开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就能正常工作，假定在某段时间内，每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内：（1）开关 JA，JB 恰有一个闭合的概率；（2）线路正常工作的概率。20. 在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙；第三局：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者，求：（1）乙连胜四局

13、的概率；（2）丙连胜三局的概率21. 沿某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿灯交通信号，汽车在甲、乙、丙三个地方通过（即通过绿灯）的概率分别为31，21，32，对于该大街上行驶的汽车，求：（）在三个地方都不停车的概率；（）在三个地方都停车的概率；（）只在一个地方停车的概率答案：1. （）所以所求概率933010（）由244334nnn, 可解得411n由题意知n=4,5,6,7,8,9,10,11, 共 8 个值 , 所以所求概率为843015; （）设第m号和第n号的两个球的重量相等, 其中nm, 当344334434422nmnm时, 可以得到12nm, 则),(nm(1,11), (2,

14、10), , (5,7), 共 5 种情况 , 所以所求概率为8715230C. 2. （）随机选出的3 个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载16531036CC；（）至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率为)531 ()53(223C333)53(C=12581；3. （1）的可能值为0，1，2 若0表示没有取出次品，其概率为116)0(31231002CCCP；同理221)2(229) 1(3121101231221012CCCPCCCP的分布列为0 1

15、2 P11622922121221322911160E4415221)212(229)211 (116)210(222D（2）的可能值为1、2、3，显然3116)0()3(,229)1()2(,221)2()1(PPPPPP的分布列为1 2 3 P221229116253)3(EEE4415) 1(2DD4. （1）依题意知，所求概率为：P=1-0.2-0.05=0.75 每天不超过20 人排队结算的概率是0.75 （2）超过 15 人排队的概率为：0.25+0.2+0.05=21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页

16、优秀学习资料欢迎下载1 周 7 天中，没有出现超过15 人结算的概率为：707)21(C1 周 7 天中，有一天超过15 人结算的概率为：617)21)(21(C1 周 7 天中，有二天超过15 人结算的概率为：5227)21()21(C75.012899)21()21()21)(21()21(15227617707CCC该商场需要增加结算窗口。5. 设事件 A、B、C 分别表示 “ 某一小时内甲、乙、丙柜面不需要售货员照顾” ，则 A、B、C相互独立，且7.0)(, 8.0)(,9 .0)(CPBPAP. (1)设事件 D 表示 “ 某一小时内只有丙柜面不需要售货员照顾” 、则事件CBAD，

17、且事件CBA,相互独立，故)()(CBAPDP216.03.08 .09.0)()()(CPBPAP. (2) 设事件 E 表示 “ 某一小时内三个柜面中最多有一个需要售货员照顾” ，则事件CBACBACBACBAE，故)()()()()(CBAPCBAPCBAPCBAPEP3 .08 .09.07.02. 09 .07 .08 .01 .07.08.09. 0902.0. (3) 设事件 F 表示 “ 某一小时内三个柜面中至少有一个需要售货员照顾” ，则事件CBAF，故)()()()()(CPBPAPCBAPFP504.07 .08 .09. 0，所以，496.0504.01)()(FPFP

18、. 6. 设走 2 阶的步数为x，走 1 阶的步数为y，则有347112yxyxyx(1)3512123567343724CA(2)P( =1)=3518235113723142437CCCCP,C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载P( =3)=3544351237143724CCP,CA随机事件 的分布列是1 2 3 4 P 35135183512354 的期望是 E=351 1+3518 2+3512 3+354 4=35897. （1）此题为5 个两类不同的元素的相间排列，其方法为：288

19、0025555AA（2）25663)5.01()21()5 .01()21()5.01()21(205552411525005CCC8. （）x、y可能的取值为1、2、3，12x，2xy，3，且当3,1yx或1,3yx时，3因此，随机变量的最大值为3有放回抽两张卡片的所有情况有933种，92)3(P答：随机变量的最大值为4，事件 “ 取得最大值 ” 的概率为91（）的所有取值为3,2,1,00时，只有2,2yx这一种情况，1时，有1,1yx或1,2yx或3,2yx或3,3yx四种情况，2时，有2,1yx或2,3yx两种情况91)0(P，94)1(P，92)2(P则随机变量的分布列为：0123精

20、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载P91949292因此，数学期望914923922941910E9. 22122122222211222222222121222222222(0)0.50.60.09(1)0.50.60.50.40.60.3(2)0.50.60.50.40.60.50.40.37(3)0.50.40.60.50.40.2(4)0.50.40.04PPCCPCC CCPC CC CP随机变量的概率分别为：0 1 2 3 4 P 0.09 0.3 0.37 0.2 0.04 00.

21、091 0.320.373 0.240.040.625E10. （1）设 “ 甲射击 4 次，至少1 次未击中目标” 为事件 A，则其对立事件A为“4次均击中目标 ” ，则426511381P AP A（2）设 “ 甲恰好击中目标2 次且乙恰好击中目标3次 ” 为事件 B,则22323442131133448P BCC（3）设“ 乙恰好射击5 次后， 被中止射击 ” 为事件 C,由于乙恰好射击5 次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。故221233 1314544 4441024P CC11. 每个点落入M中的概率均为14p依题意知11

22、00004XB，（）11000025004EX精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载（）依题意所求概率为0.03410.0310000XP，0.034 10.03(24252575)10000XPPX2574100001000024260.250.75ttttC257424251000010000 11000010000242600.250.750.250.75tttttttCC0.95700.04230.914712. (1)( )P是个正面向上 ,4个背面向上的概率.其中的可能取值为0,1 ,

23、2,3,4. 02022221124(0)(1)(1)(1)PCCaa, 10201222211112222(1)( 1)( 1)( 1)(1)(1)PCCaCC aaa, 220211022222222221111122224(2 )()(1)(1)(1)(1)(122)PCCaCC aaCC aaa, 22112222221112222(3 )()( 1)( 1)aPCC aaCC a,22222221124(4)( )PCC aa. 的分布列为01234P214(1)a12(1)a214(122)aa2a214a的数学期望为2221111424240(1)1(1)2(122)3421aE

24、aaaaaa. (2)01a,(0)(1)PP,(4)(3)PP.则14(2)(1)(12PPa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载221242)(241)0aaaa,2211424(2)(3)(122)(21)0aPPaaa, 由222410210aaa,得22222a,即a的取值范围是22222,. 13. （1）得分为50 分， 10 道题必须全做对. 在其余的四道题中，有两道题答对的概率为12，有一道题答对的概率为13，还有一道答对的概率为14，所以得分为50 分的概率为： P1 1 1

25、 11.2 2 3 448（2）依题意，该考生得分的范围为30，35，40，45，50. 得 分 为30分 表 示 只 做 对 了6道 题 ， 其 余 各 题 都 做 错 ， 所 以 概 率 为 ：1112361;22344 88P同样可以求得得分为35分的概率为：12211231113112117;22342234223448PC得分为 40 分的概率为：31748P; 得分为 45 分的概率为：4748P; 得分为 50 分的概率为：51.48P所以得 35 分或得 40 分的可能性最大. 14. ()解法一：由题意知， 的可能取值为0，1， 2，3,且所以 的分布列为0 1 2 3 P

26、2719294278 的数学期望为E=.227839429212710解法二：根据题设可知)32,3(B因此 的分布列为.278)32()3(,94)321()32()2(,92)321 (32)1(,271)321()0(3333232231330CPCPCPCP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载2323),32, 3(. 3, 2, 1 ,0,32)321()32()(3323EBkCCkPkkkkk所以因为（）解法一：用C 表示 “ 甲得 2 分乙得 1 分” 这一事件，用D 表示 “

27、甲得 3 分乙得 0 分” 这一事件，所以AB=C D,且 C、D 互斥，又,34)213131()32()(,310213132213231213132)321()32()(52324232CDPCCP由互斥事件的概率公式得24334334354310)()()(54DPCPABP.解法二：用Ak 表示 “ 甲队得 k 分” 这一事件，用Bk 表示 “ 已队得 k 分” 这一事件， k=0,1,2,3由于事件 A3B0,A2B1为互斥事件，故事P(AB)=P(A3B0 A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1). =.24334)32213121(32)2131()32(2212323223

28、CC15. （） 中国女排取胜的情况有两种：中国女排连胜三局中国女排在第2 局到第 4局 中 赢 两 局 ， 且 第5 局 赢 。 故 中 国 女 排 取 胜 的 概 率 为535253532233Cp62529762516212527（）比赛局数则25452)3(2P，1255153525352)4(312CP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载12554625270535253525352)5(223213CCP的分布列为 : 1255341255451255142543E16. （1）由A

29、表示事件 “ 购买该商品的3 位顾客中至少有1 位采用 1 期付款 ” 知A表示事件 “ 购买该商品的3 位顾客中无人采用1 期付款 ”2()(10.4)0.216P A，()1()10.2160.784P AP A（2）的可能取值为200元，250元，300元(200)(1)0.4PP，(250)(2)(3)0.20.20.4PPP，(300)1(200)(250)10.40.40.2PPP的分布列为200250300P0.40.40.22000.42500.43000.2E240（元） 10 分17. （1）可取 0， 1，2，4 55(0)339p；1(1)9p，2(2)9p，1(4)9

30、p的分布列为0 1 2 4 p 591929193 4 5 P 2541255112554精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载（2）1E18. （I）四件产品逐一取出排成一列共有A44种方法，前两次取出的产品都是二等品的共有CC2121种方法，前两次取出的产品都是二等品的概率为CCA21214416（II）四件产品逐一取出排成一列共有A44种方法，第二次取出的产品是二等品的共有CA2133种方法，第二次取出的产品是二等品的概率为CAA21334412（III ）的所有可能取值为2，3，4，的概率

31、分布为2 3 4 p 162636E21632643610319. 分别记在这段时间内开关能够闭合为事件A、B、C，则它们的对立事件为A，B，C且P（A）=P（B）=P（C）=0.7，P（A）=P（B）=P（C）=1-0.7=0.3 根据题意在这段时间内 3 个开关是否能够闭合相互之间没有影响，即事件A、B、C 相互独立（ 2分）（1）在这段时间内“ 开关 JA，JB 恰有一个闭合 ” 包括两种情况：一种是开关JA 闭合但开关精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载JB 不闭合（事件AB发生） ，一

32、种是开关JA 不闭合但开关JB 闭合（事件A B 发生） ，根据题意这两种情况不可能同时发生即事件AB与事件A B 互斥。根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率是：P（AB+A B）=P（A+B）+P（A+B） =P（A）P（B）+P（A）P（B）=0.7 0.3+0.30.7=0.42（7 分）（2）在这段时间内，线路正常工作，意味着3 个开关至少有一个能够闭合，即事件A、B、C 至少有一个发生，其对立事件为事件A，B，C同时发生于是所求的概率为：1-P（ABC）=1-P（A）P（B）P（C）=1-0.3 0.3 0.3=1-0.027=0.973 （11 分）答

33、：开关 JA， JB 恰有一个闭合的概率为0.42；线路正常工作的概率是0.973 20. 1）当乙连胜四局时，对阵情况如下：第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜；第四局：乙对丙，乙胜所求概率为1P20.4)(120.520.3 0.09 乙连胜四局的概率为0.09（2）丙连胜三局的对阵情况如下：第一局：甲对乙，甲胜，或乙胜当甲胜时，第二局：甲对丙，丙胜第三局：丙对乙，丙胜；第四局：丙对甲，丙胜当乙胜时，第二局：乙对丙，丙胜；第三局：丙对甲，丙胜；第四局：丙对乙，丙胜故丙三连胜的概率2P0.4 20.6 0.5（ 1-0.4）20.5 0.60.16221. （1）91322131p；（2）91312132p；(3)187312131322131322132p精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页