2022年排列组合的常见题型及其解法 .pdf

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1、黄金试题金榜试题排列组合的常见题型及其解法李锋排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的顺序有关。复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本的排列、组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。一. 特殊元素（位置）用优先法把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。例 1. 6 人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。解法 1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右

2、两端之间的任一位置上，有A41种站法；第二步再让其余的5 人站在其他5 个位置上，有A55种站法，故站法共有：AA4155480（种）解法 2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5 个人中任选两人站在左右两端， 有A52种；第二步再让剩余的4 个人（含甲）站在中间4 个位置，有A44种，故站法共有：AA5244480（种）二. 相邻问题用捆绑法对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。例 2. 5 个男生和3 个女生排成一排，3 个女生必须排在一起，有多少种不同排法？解：把

3、 3 个女生视为一个元素，与5 个男生进行排列，共有A66种，然后女生内部再进行排列，有A33种，所以排法共有：AA66334320（种）。三. 相离问题用插空法元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。例 3. 7 人排成一排，甲、乙、丙3 人互不相邻有多少种排法？解：先将其余4 人排成一排，有A44种，再往 4 人之间及两端的5 个空位中让甲、乙、丙插入，有A53种，所以排法共有：AA44531440（种）四. 定序问题用除法对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将n 个元素进行全排列有Ann种，m mn

4、()个元素的全排列有Amm种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，则有AAnnmm种排列方法。例 4. 由数字 0、1、2、 3、4、5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？解：不考虑限制条件，组成的六位数有AA5155种，其中个位与十位上的数字一定，所名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 黄

5、金试题金榜试题以所求的六位数有：AAA515522300（个）五. 分排问题用直排法对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。例 5. 9 个人坐成三排，第一排2 人，第二排3 人，第三排4 人，则不同的坐法共有多少种？解： 9 个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，不同的坐标共有A99种。六. 复杂问题用排除法对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要注意做到不重不漏。例 6. 四面体的顶点和各棱中点共有10 个点，

6、取其中4 个不共面的点，则不同的取法共有（）A. 150 种B. 147 种C. 144 种D. 141 种解：从 10 个点中任取4 个点有C104种取法，其中4 点共面的情况有三类。第一类，取出的 4 个点位于四面体的同一个面内，有464C种；第二类，取任一条棱上的3 个点及该棱对棱的中点，这4 点共面，有6 种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4 个点共面，有3 种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有：CC10464463141（种）。七. 多元问题用分类法按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最

7、后计算总数。例 7. 已知直线axbyc0中的 a， b，c 是取自集合 3， 2， 1，0，1，2， 3中的 3 个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。解：设倾斜角为，由为锐角，得tanab0，即 a，b 异号。（1） 若 c0， a， b 各有 3种取法，排除 2 个重复 （330 xy，220 xy，xy0） ，故有： 3327（条）。（2）若c0，a 有 3 种取法， b 有 3 种取法，而同时c 还有 4 种取法，且其中任意两条直线均不相同，故这样的直线有：33436（条）。从而符合要求的直线共有：73643（条）八. 排列、组合综合问题用先选后排的策略

8、处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。例 8. 将 4 名教师分派到3 所中学任教，每所中学至少1 名教师，则不同的分派方案共有多少种？解：可分两步进行：第一步先将4 名教师分为三组（1，1， 2），（ 2，1，1），（ 1，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 黄金试题金榜试题2，1），共有：CCCA422111226（种），第二步将这三组教师分派到3 种中学任教有A33种方法。由分步计数原理得不同的分派方

9、案共有：CCCAA422111223336（种）。因此共有36 种方案。九. 隔板模型法常用于解决整数分解型排列、组合的问题。例 9. 有 10 个三好学生名额，分配到6 个班，每班至少1 个名额，共有多少种不同的分配方案？解： 6 个班，可用5 个隔板，将10 个名额并排成一排，名额之间有9 个空，将5 个隔板插入 9 个空，每一种插法，对应一种分配方案，故方案有：C95126（种）年级高中学科数学版本期数内容标题排列组合的常见题型及其解法分类索引号G.622.475 分类索引描述统考试题与题解主题词排列组合的常见题型及其解法栏目名称专题辅导供稿老师审稿老师录入韩秋荣一校胡丹二校审核名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -