(2022年整理)函数的周期性与对称性总结..pdf

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1、学海无涯1 一:有关周期性的讨论在已知条件或中，(1) 等式两端的两自变量部分相加得常数，如，说明的图像具有对称性，其对称轴为2bax。(2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如，说明f（ x）的图像具有周期性，其周期T=a+b。设a为非零常数 ,若对于)(xf定义域内的任意x恒有下列条件之一成立周期性规律对称性规律(1)()(axfaxfaT2(1)()(xafxafax(2)()(axfxfaT(2)()(xbfxaf2bax(3)()(xfaxfaT2(3) )()(xbfxaf2bax(4)(1)(xfaxfaT2(4) )()(xbfxaf中心点)0,2(ba(5)(1)(xfaxf

2、aT2(5)()(xafxaf为对称中心点)0,(a(6)1)(1)()(xfxfaxfaT2(7) 1( )()1( )f xf xaf xaT2(8) 1( )()1( )f xf xaf xaT4(9) )(1)(1)(xfxfaxfaT4(10) )()()(axfaxfxf, 0aaT6学海无涯2 (11) 若函数)(xf同时关于直线ax, bx对称则函数)(xf的周期abT2(12) 若函数)(xf同时关于点)0,(a, )0 ,(b对称 ,则函数)(xf的周期abT2(13) 若函数)(xf同时关于直线ax对称 ,又关于点)0 ,(b对称)0(b则函数)(xf的周期abT4(14

3、) 若偶函数y=f(x) 的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且T=2a(15) 若奇函数y=f(x) 的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且T=4a(16) 若奇函数y=f(x) 满足 f(x+T)=f(x) (xR，T0),则 f(2T)=0. 若)x2(fy的图象关于两类易混淆的函数问题：对称性与周期性例 1. 已知函数y= f（x） （xR）满足 f（5+x）= f（5x） ，问：y= f（x）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？例 2. 已知函数y= f（x） （xR）满足 f（x+ 5）= f（x5） ，问：y= f（x）是周期函数吗？它的图像是不是轴对

4、称图形？定理 1：如果函数y= f（x） （xR）满足)()(xafxaf，那么 y= f（ x）的图像关于直线对称。证明： 设点是 y= f（x）的图像上任一点，点P 关于直线x=a 的对称点为Q，易知，点Q 的坐标为。因为点在 y= f（x）的图像上，所以于是000002yxfxaafxaafxaf所以点也在y= f（x）的图像上。由 P 点的任意性知，y= f（x）的图像关于直线x=a 对称。定理 2：如果函数y= f（x） （x R）满足 f（ a+x）= f（b x） ，那么 y= f（x）的图像关于直线的对称。定理 3：如果函数y= f（x） （xR）满足 f（x+a）= f（ xa） ，那么 y= f（x）是以 2a 为周期的周期函数。证明： 令，则代入已知条件得：根据周期函数的定义知，y= f（x）是以 2a 为周期的周期函数。定理 4：如果函数y= f（ x） （x R）满足，那么y= f（x）是以为周期的周期函数。