正弦定理与余弦定理ppt课件.ppt

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1、15.4正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理回忆一下直角三角形的边角关系回忆一下直角三角形的边角关系? ABCcbasinacA 两等式间有联系吗？两等式间有联系吗？sinsinabcAB sin1C sinsinsinabcABC 思考思考:对一般的三角形对一般的三角形,这个结论还能成立吗这个结论还能成立吗?1.定理的推导定理的推导正弦定理正弦定理sinbcB (1)当当 是锐角三角形时是锐角三角形时,结论是否还成立呢结论是否还成立呢?ABC D如图如图:作作AB上的高是上的高是CD,根椐根椐三角形的定义三角形的定义,得到得到.sinsinbcAEBCBC同同理理, 作, 作有有 sinsi

2、nsinabcABC 正弦定理正弦定理sin ,sinCDaB CDbA sinsinaBbA 所所以以 sinsinabAB 得得到到 BACabcE(2)当当 是钝角三角形时是钝角三角形时,以上等式是否仍然以上等式是否仍然成立成立?ABCBACbca正弦定理正弦定理DCcBbAasinsinsin 正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各边和它所在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即对角的正弦的比相等，即正弦定理正弦定理解三角形解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程已知三角形的几个元素求其他元素的过程含三角形的三边及三内角含三角形的三边及三内角,由己知二角一边由己知二角一边

3、或二边一角可表示其它的边和角或二边一角可表示其它的边和角定理结构特征定理结构特征:二、外接三角形中二、外接三角形中OB/cbaCBARCcRcBCBCBAB2sin2sinsin,90RCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理（四）定理的应用例 1在ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。求 b (保留两位有效数字）。解：CcBbsinsin 且 105C)(A180 Bb = CBcsinsin19=30sin105sin10已知两角和任意边，已知两角和任意边，求其他两边和一角求其他两边和一角变式训练：（1）在ABC中，已知b= ，A= ，B=

4、 ，求a。34560（2）在ABC中，已知c= ，A= ，B= ，求b。37560解： BbAasinsinaBAbsinsin=60sin45sin3=2解： =45)6075(180又 CcBbsinsinCBcbsinsin45sin60sin32230180()CAB例2证明：用正弦定理证明三角形面积BacAbcCabSABCsin21sin21sin21BACDabcaABCahS21而BCADhasinBacSABCsin21又CbBcsinsinAcCasinsinBacAbcCabSABCsin21sin21sin21（五）总结提炼（1）三角形常用公式：（2）正弦定理应用范围：

5、 已知两角和任意边，求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。正弦定理：ABC111sinsinsin222ABCSabCbcAacBsinsinsinabcABC千岛湖千岛湖 ABC110.8 700m1338m用用正弦定理正弦定理能否能否直接直接求出求出A , B两处的距离？两处的距离？ 这是一个已知三角形两边这是一个已知三角形两边a和和b,和两边的夹角和两边的夹角C，求出第三边求出第三边c的问题的问题.?角边角角边角角角边角角边边边角边边角边角边边角边边边边边边边正弦定理正弦定理Cabbaccos2222Bcaacbcos2222Abccbacos2222 余弦定理余弦

6、定理 三角形任何三角形任何一边一边的平方等于其他两边的平方的平方等于其他两边的平方和和减去减去这两边与它们夹角的余弦的这两边与它们夹角的余弦的积积的两倍。的两倍。222bac勾股定理勾股定理令令C900勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理与余弦定理有何关系？适用于任何适用于任何三角形三角形ACBbacxyDC ( bcosA , bsinA ) 2220AsinbcAcosba 222AsinbcAcosbc2Acosb 22cAcosbc2b 能不能用坐标方法来证能不能用坐标方法来证明余弦定理呢？明余弦定理呢？B ( c , 0 )ACBbacxyDC ( bcosA , bsinA ) 2

7、220AsinbcAcosba 222AsinbcAcosbc2Acosb 22cAcosbc2b 能不能用坐标方法来证能不能用坐标方法来证明余弦定理呢？明余弦定理呢？B ( c , 0 )Cabbaccos2222Bcaacbcos2222Abccbacos2222 余弦定理余弦定理 三角形任何三角形任何一边一边的平方等于其他两边的平方的平方等于其他两边的平方和和减去减去这两边与它们夹角的余弦的这两边与它们夹角的余弦的积积的两倍。的两倍。222bac勾股定理勾股定理令令C900勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理与余弦定理有何关系？这个定理有什么作用？这个定理有什么作用？若已知若已知b=8,

8、c=3,A= ,能求能求a吗？吗？60适用于任何适用于任何三角形三角形它还有别的用途吗它还有别的用途吗？若已知若已知a,b,c,可以求什么？可以求什么？Cabbaccos2222Bcaacbcos2222Abccbacos2222abcbaC2cos222bcacbA2cos222acbcaB2cos222利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角）已知三边，求三个角 ; （2）已知两边和它们的）已知两边和它们的夹角夹角，求第三边，进而还可，求第三边，进而还可求其它两个角。求其它两个角。归纳：归纳：角边角角边角角角边角角

9、边边边角边边角边角边边角边边边边边边边正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理千岛湖千岛湖 ABC110.8 700m1338m?CCBCACBCAABcos22228 .110cos7001338270013382235511. 018732004900001790244665192228024429454361716AB答：答：A , B两处的距离约为两处的距离约为1716米。米。引题（精确到引题（精确到1米）米）解：由余弦定理可知解：由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2ABACcosA =4+9 - 223 =7BC=在在ABCABC中，已知中，已知AB=2AB=2，AC=3AC=3，A= A= ，求求BCBC的长的长3 217例例6 6：在在 ABCABC中，已知中，已知a=7,b=8,cosC= ,a=7,b=8,cosC= ,求最大求最大角的余弦值角的余弦值1314分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边出第三边,找到最大角。找到最大角。2222cosabCbca2213142 7 8987 解：解：3c 则有：则有：b是最大边，那么是最大边，那么B 是最大角是最大角22222273822 3 71cos7acbacB