2022年初中数学竞赛精品标准教程及练习30：概念的分类 .pdf

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1、中考数学复习资料，精心整编吐血推荐, 如若有用请打赏支持，感激不尽！初中数学竞赛精品标准教程及练习(30) 概念的分类一、内容提要1. 概念的分类是揭示概念的外延的重要方法。当一个概念的外延有许多事物时，按照某一个标准把它分成几个小类，能更明确这一概念所反映的一切对象的范围，且能明确各类概念之间的区别与联系。2. 概念分类必须用同一个本质属性为标准，把一种概念分为最邻近的类概念。例如三角形可按边的大小分类，也可用角的大小分类；又如整数可按符号性质分为正、负、零，也可以按除以模m的余数分类。分别表示如下：整数负整数零正整数整数奇数偶数整数23133余除以余除以整除能被整数3424144余除以余除

2、以余除以整除能被3. 一种概念所分成的各类概念应既不违漏，又不重复。即每一个被分的对象必须落到一个类，并且只能落到一个类。所分的各类概念的外延总和应当与被分的概念的外延总和相等。例如正整数按下列分类是正确的正整数1合数质数正整数正偶数正奇数如果只分为质数和合数，则外延总和比正整数的外延小；如果分为奇数和偶数则外延总和比正整数外延大，因此都不对。又如等腰三角形的定义是：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。所以三角形按边的大小分类应是分成两类：不等边三角形和等腰三角形，而不能是三类：（不等边，等腰，等边）如果这样，三边相等的三角形将落入两类（等腰，等边），所以概念的分类与概念的定义有直接联系。4.

3、 二分法是常用的分类法。即把一种概念分为具有和不具有某种属性。例如三角形等腰三角形不等边三角形平面内两条直线位置不相交相交精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页实数可分为：非负实数和负实数；四边形可分为：平行四边形和非平行四边形等等。5. 从属关系的概念（上下位概念）是指一个概念的外延包含着另一个概念的外延。种概念与它所分的各类概念之间的关系就是从属关系。例如：等边三角形从属于等腰三角形，而等腰三角形又从属于三角形又如：代数式包含有理式和无理式，有理式包含整式和分式，整式包含单项式和多项式。其关系可图示如下：6. 并列关

4、系的概念是两个概念的外延互相排斥，互不相容。由同一种概念分成的各类概念之间的关系是并列关系的概念（同位概念） 。例如：偶数和奇数；有理式和无理式；直角三角形、钝角三角形和锐角三角形，它们之间的关系都是并列关系的概念。可图示如下: 7. 交叉关系的概念是指两个概念的外延有一部分重叠。一种概念用不同的标准分类，所得的各类概念之间的关系三角形等腰三角形等边三角形代数式有理式整式单 项锐角三角形钝角三角形直角三角形无理式有理式奇数偶数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页可能就有交叉关系的概念。例如：正数和整数是交叉关系的概念，

5、既是正数又是整数的数叫做正整数；等腰三角形和直角三角形也是交叉关系的概念，外延重叠的部分，叫做等腰直角三角形。图示如下: 二、例题 30 例 1. 把一元一次不等式axb (a,b 是实数， x 是未知数 )的解的集合分类。解：把实数 a,b 按正，负，零分类，得不等式解的集合如下：axb的解集时，解集是全体 实数b时，解集是空集baab时，b不 论何值xaab时，b不 论何值xa00000且例 2. 一个等腰三角形的周长是15cm,底边与腰长的差为3cm ，求这个三角形的各边长。解：设底边长为 xcm,则腰长是2-15xcm 当腰比底大时是2-15xx=3 x=3 2-15 x6 当腰比底小

6、时是x2-15x=3 x=7 2-15 x=4 答（略）例 3. 化简（22)1()1(xx2 yx1解：要使1x有意义，必须且只需x+10，即 x1 （22)1() 1(xx2 1xx+121xx1 当1x1-2x 当 x1-2x6.)01(2)1(3xxxxxx)1(11)1(21aaaa7.30，30，120；75，75，30。8. 1，0 9. 当 m=1时，调 3 人；m=2, 调 2 人；m=3,调 1 人10. x3, 11. 把 n 按奇数、偶数分类讨论，证明a1a2a3an中至少有 2 个偶数12. a,b 中若有一个是 3 的倍数，则 ab 能被 3 整除；若除 3 有同余

7、数则 a-b 能被 3 整除；若除 3余数分别为 1 和 2，则 a+b能被 3 整除. 13. a1 （见练习 29 第 7 题）14. 按奇数、偶数分类讨论当 n 为奇数时，设 n=2k+1,k2 的整数， n=k+(k+1), k 和 k+1 互质；当 n 为偶数时，设 n=4k 或 4k+2, k1 的整数若 n=4k=(2k+1)+(2k-1), 而 2k+1 和 2k-1 是互质的若 n=4k+2=(2k-1)+(2k+3), 易知 2k-1 和 2k+3 也是互质的，如果它们有公因子 d(d2 ) ， 可设 2k-1 md 2k+3=pd, (m,p是正整数 )，则（m-p）d=4，则4d, 这是不可能的。综合和所述精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页