2022年2022年鸡兔同笼教学案例 2.pdf

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1、1 数学广角鸡兔同笼教学案例【教学内容】：人教版课程标准实验教科书六年级上册第112114 页内容【教材分析 】：“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在孙子算经中。教材在本单元安排“鸡兔同笼”问题，一方面可以培养学生的逻辑推理能力；另一方面使学生体会代数方法的一般性。“鸡兔同笼”的原题数据比较大，不利于首次接触该类问题的学生进行探究，因此教材先编排了例，通过化繁为简的思想，帮助学生先探索出解决该类问题的一般方法后，再解决孙子算经中数据比较大的原题。解决“鸡兔同笼”问题时，教材展示了学生逐步解决问题的过程，既猜测、列表、假设或方程解。其中假设和列方程解是解决该类问题的一般方法。

2、“假设法”有利于培养学生的逻辑推理能力，列方程则有助于学生体会代数方法的一般性。因此在解决“鸡兔同笼”问题时，学生选用哪种方法均可，不强求用某一种方法。配合“鸡兔同笼”问题， 教材在“做一做”和练习中安排了类似的一些习题，比如“龟鹤”问题，生活中的一些实际问题等，让学生进一步体会到这类问题在日常生活中的应用，并巩固用“假设法”或方程的方法来解决这类问题。【设计理念】：“鸡兔同笼”向学生提供了现实、有趣、富有挑战性的学习素材，借助我国古代趣题“鸡兔同笼”问题，使学生展开讨论，应用画图法、列表法、假设法、方程等方法，从多角度思考，运用多种方法解题，使学生在具体情境中，根据自己的经验，逐步探索不同的

3、方法，找到解决问题的策略，并在合作交流学习的过程中，积累解决问题的经验，掌握解决问题的方法。使学生共同学习，共同进步，共同提高，把所学的数学知识应用到生活中去，用数学的眼光看待身边的事物，体会数学的价值。【教学目标】：1、通过问题情境，了解“鸡兔同笼”的问题，感受古代数学的趣味性。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 2 2、在探求解决问题方法的过程中，经历列表法、假设法、列方程解等方法的交流，体验解决问题策略的多样

4、化与策略的优化。3、通过解决实际生活问题的练习，培养数学思考能力，发展思维能力。【教学重点】：“鸡兔同笼”问题的解题方法。【教学难点】：用假设法来解决鸡兔同笼问题。【教学过程】：课前准备： 让学生诵读古诗。一、创设情境，引出问题1、师：从同学们刚才背得诗词中，让我们感受到我国古代文化的灿烂，然而这种文化的精髓不仅体现在语言文字中，在数学领域也有充分的体现。例如我们数学课上接触过的七巧板，九宫格填数等等，这些都起源于中国古代，不仅如此，在数学领域还有九章算术 、孙子算经等古代名著流传于世。今天我们就一起来探究一千五百年前的数学名著孙子算经中的趣味数学题“雉兔同笼”问题，这个“雉兔同笼”问题曾漂洋

5、过海，传到日本、欧洲等国，对世界各国的文明发展起了很大的作用。2、课件出示主题图和原题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？师：你能说说这道题是什么意思吗？（说明：雉指鸡）生：有鸡和兔子关在一个笼子里，从上面看有35 个头，从下面看有94 只脚，问鸡和兔各有多少只？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 3 笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有 94只脚。鸡和兔各有几只?今有雉兔

6、同笼，上有三十五头,下有九十四足，问雉兔各几何?人教课程标准实验教科书六年级上册鸡兔同笼出示题目：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35 个头，从下面数，有94 只脚，鸡和兔各有几只？3、揭示课题：这就是我们今天要研究的“鸡兔同笼”的问题。（板书课题）【设计意图： 教学即对文化的传承与弘扬，数学教学也不例外， 数学同样也是一种文化。利用我国古代数学名著孙子算经中的数学趣题直接导入新课学习，既让学生感受到了中国数学文化的悠久与魅力，同时激发了学生探究的兴趣和动机，明确了本节课学习的目的与要求，并为后面充分地探究学习争取了时间。】二、自主探索，解决问题（一）第一次探究学习1、师：这个问题看似比较复

7、杂，当我们面对复杂问题的时候我们要学会“退一步”，我们都听过“退一步海阔天空” ，那我们就将头的个数，脚的只数变小来思考一下。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - 4 师：大家动脑筋猜一猜，“从上面数， 有 3 个头，从下面数， 有 8 只脚，鸡兔各有几只？”2、学生猜测。提出要求：（1）你是怎么猜的，说一说你猜的过程。生：我猜有 2 只鸡和 1 只兔，因为 2214=8，符合题目要求。师：2214 中的 2 和 4

8、 分别代表什么？生：2 是鸡的脚的只数， 4 是兔脚的只数。（引导学生说出隐藏了条件：鸡有2 只脚，兔有 4 只脚。 ）师：原来这道题目里面隐藏了“鸡有2 只脚，兔有 4 只脚”这两个条件。( 教师板书：鸡有 2 只脚，兔有 4 只脚) （2）你能将你的猜测过程画出来吗？说说想法。师：你会怎样画？怎样画方便？（渗透符号的思想：用来表示头，用来表示脚。）生：用来表示头，用来表示脚。指名学生上台画，其他学生观察他画的过程，做出评价。师提问：说说你先画的是头还是脚？生：先画头。师：为什么要先画头呢？生：因为鸡有 1 个头，兔也有 1 个头，题目说有 3 个头，那就是有 3 只动物，所以要先画头。师：

9、为什么每个头下面要先画2 只脚？生：至少鸡有 2 只脚，所以先画2 只脚。师：那多出来的脚是一只一只的往头下面添吗？生：不是一只一只的添，一只兔比一只鸡多2 只脚，所以要两只两只的添。师：这类问题我们还可以用画图的方式来解决，这种方法在数学上叫画图法。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 5 【设计意图：将孙子算经中的原题中的数据由大变小，既为分析和解决问题提供了方便，也巧妙渗透了转化的数学思想方法。将大数目的“鸡兔

10、同笼” 问题转变成小数目的 “鸡兔同笼”问题后，使得用画出直观图的思想方法来解决这一问题成为了可能，经历画图法的过程后，同时为后面假设法的学习做了准备。】（二）第二次探究学习师：我们刚才退一步将头的个数，脚的只数变小将问题解决了，那我们还要退中有进。1、出示：笼子里有若干只鸡兔。从上面数，有8 个头，从下面数，有26 只脚，鸡和兔各有几只？师提问：这道题告诉了我们什么已知条件？生：鸡和兔一共有8 只，它们共有脚26 只。师：你怎么知道鸡和兔共有8 只？生：一共有 8 个头，所以一共有8 只。2、引导学生探求解决问题的方法，交流学习。（1）列表法师提问：鸡和兔一共有8 只，那你能不能猜测一下鸡兔

11、可能各有几只？课件生：鸡 8 只，兔 0 只；鸡 7 只，兔 1 只；鸡 6 只，兔 2 只；鸡 5 只，兔 3 只；鸡 4 只，兔 4 只；鸡 3只，兔 5 只；鸡 2 只，兔 6 只；鸡 1 只，兔 7 只；鸡 0 只，兔 8 只。师：可能的情况是这几种吗？（课件出示可能的情况）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 6 师：要想能够没有遗漏，没有重复的例举鸡和兔各有几只的可能情况，那我们就要像这样有序地来例举。师

12、：这位同学的猜测始终围绕着鸡和兔一共是几只在猜？生：8 只。师：有这么多种可能，究竟哪种猜测是正确的呢？怎么才能知道哪种可能是正确的，鸡是几只，兔是几只？生：验证。师：验证？如何验证？就是算什么？生：就是算鸡和兔脚的总只数。师：有 9种可能，那我们从哪里开始验证呢？生：可以从鸡 8 只，兔 0 只开始，一个一个地验证脚的总只数。师：这样验证可以，还可以从哪里开始验证呢？生：可以从鸡 4 只，兔 4 只开始。 4244=24 师：验证了鸡4 只，兔 4 只它们脚的总只数后，再怎样验证？是往前验证，还是往后验证？为什么？生：应该往后验证，因为鸡4 只，兔 4 只它们脚的总只数是24，比 26 少，

13、那说明兔的只数少了，所以要往后验证。师：那你们觉得怎样验证好呢？好在哪里？生：从中间开始验证好，能较快得到鸡兔的只数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 7 师：就按你们刚才说得办，把书翻到113 页，完成书上的表格。完成后，集体交流验证的过程。生：从鸡 4 只，兔 4 只开始验证，它们脚的总只数是24只，比 26 少了 2 只，那就说明兔的只数要多一些，多1 只兔少 1 只鸡，那么脚的总只数就会增加2 只。所以鸡

14、有 3 只，兔有 5 只。师：刚才我们把鸡兔出现的可能一一列表，然后采用逐一验证的方法或从中间验证的方法，这样的方法在数学上叫列表法。 （教师板书：列表法）【设计意图：将各种可能的结果有序地列举在表格中，通过验证脚的总只数来确定鸡兔各有几只，让学生在验证的过程中不断调整思路，从而优化解决问题的策略。】（2）列方程解师：那这类有两个未知量的题目还可以怎样解答呢？生：用方程来解答。师：那我们该如何设未知数呢？生：设鸡有 x 只，那么兔有 8x 只。师：还可以怎样设未知数？生：设兔有 x 只，那么鸡有 8x 只。师：好，那我们就设兔有x 只，那么鸡有 8x 只，来列方程解答。学生独立完成，集体交流。

15、指名学生演板。师提问： 4x 和 2(8x)分别表示什么？根据什么列方程？生：4x 是兔脚的总只数， 2(8x)是鸡脚的总只数，根据鸡和兔共有26 只脚列方程。4x+2(8x)=26 师：每次我们解答问题遇到困难的时候，方程总是会帮助我们解答，看来列方程解题还真是很好的解题方法。【设计意图：列方程解题是学生在五年级已学过的方法，但运用到解决鸡兔同笼问题之中又是新策略。以旧知识和旧方法为基础，放手让学生大胆尝试、自主探究，抓住其中的疑名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7

16、页，共 14 页 - - - - - - - - - 8 难点设问，帮助学生真正理解过程、掌握方法、提升技能。同时让学生感受到了代数法解题的一般性。】（3）假设法师：解决鸡兔同笼问题，还有没有其它的方法呢？生：还有假设法。师：假设法是怎样的？如何用假设法来解答呢？学生根据自己的经验来介绍假设法解题的过程。师：假设笼子里都是鸡，脚的只数是几只？生：16 只。师：只要有 1 只兔子学了鸡，脚的总只数就会怎样变化？生：就会减少 2 只脚。师：要是有 4 只兔子学鸡，脚的总只数又会怎样变化？生：会减少 8 只脚。师：要是脚的总只数减少了12 只，想想有几只兔子学了鸡？生：有 6只。122=6 师：现在

17、笼子里都是鸡，脚有16 只，跟 26 比少了 2616=10只脚，少的是谁的脚？兔子有几只呢？生：少的是兔子的脚，兔子有5 只。102=5 师：兔有 5 只，鸡就有几只？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 9 生：鸡有 3 只。85=3 师：哪位同学能将这个过程再说一遍。生：假设笼子里都是鸡，就有82=16 只脚，这样就多出2616=10只脚，一只兔比一只鸡多 2 只脚，也就是有 102=5 只兔。所以笼子里有3

18、只鸡，5 只兔。教师根据学生的回答板书解题过程。师：还可以怎样假设呢？生：假设都是兔。师：假设都是兔，鸡怎么学兔呢？生：鸡可以用它的两个翅膀当脚。师：1 只鸡学兔，脚的总只数怎样变化？生：脚的总只数会增加2 只。师：3 只鸡学鸡呢？生：会增加 6 只。师：要是脚的总只数增加了10 只，想想有几只鸡学兔子？生：有 5只。102=5 师：要是笼子里都是兔，共有几只脚？生：有 32 只脚。师：32 比 26 多 3226=6 只脚，多的是什么？生：多的是鸡的翅膀。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -

19、 - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 10 师：鸡有几只？生：鸡有 3 只。62=3 师：哪位同学能将这个过程再说一遍。生：假设笼子里都是兔，就有84=32只脚，这样就多出 3226=6只脚，一只鸡学兔就多 2 只脚，多的 6 只脚是鸡的翅膀，就有62=3 只鸡。所以笼子里有3 只鸡， 5 只兔。教师根据学生的回答板书解题过程。师：真好，这种假设的方法是数学中一种重要的思想方法。假设的思想方法，我们不仅能解决鸡兔同笼问题，还能解决生活中的很多问题。【设计意图：让学生认识、理解、运用假设法是本节课的教学难点。为此，以表格中数据变化规律为探究基础，以师生互

20、动为探究方式，以教师生动的肢体语言为探究辅助手段，逐一将难点突破，巧妙地将学生认知经验和思维过程转化成了数学语言，即数学算式，从而形成了解决问题的全新的一般策略，发展了学生的思维水平和推理能力。】3、小结交流，归纳方法师：我们在解决“鸡兔同笼”的问题时，用到了哪些方法？比较这些方法，你喜欢用哪种？为什么？你认为哪种方法一般都能适用？小结：解决这类问题的方法很多，用猜测、画图、列表法可以解决问题，但当数据较大时，过程就很繁琐了。假设法和方程解就具有一般性，不管是数据较大时或数据较小时都可用到这两种方法。【设计意图：在计算教学中，需要算法多样化，更需要算法的优化；同样，在解决问题教学中，需要策略多

21、样化，更需要策略的优化。发散思维与收敛思维应该兼顾并进。但优化并不等于强加，优化也强调自主和需要过程。】三、应用方法，解决问题1、师：你能用假设法或者方程解来解答“孙子算经”里的问题吗？课件再出示：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35 个头，从下面数，有94 只脚，鸡和兔各有几只？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 11 2、学生交流介绍自己的算法，集体订正。3、师：想知道古人在解答这道题时是怎么做的吗？（让学

22、生看课本第114 页的“阅读资料”， 了解“抬脚法”， 在西方把这种方法叫做玻利亚跳舞法。）【设计意图：解决孙子算经中的原题，让学生排除了开课的悬念；向学生介绍特殊而巧妙的古代 “ 抬腿法 ” ，让学生进一步感受到了我国古代数学的魅力。】四、汇报交流，总结归纳通过本课的学习，你有什么收获？你有什么体会？五、推广应用，形成技能练一练：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 12 1.自行车和三轮车共10 辆，总共有 2

23、6个轮子。自行车和三轮车各有多少辆？2.有龟和鹤共 40 只，龟的腿和鹤的腿共有112 条。龟、鹤各有几只？【设计意图：通过解决生活中类似于鸡兔同笼的问题，让学生体会到了此类问题在现实中的广泛存在，进而凸显了本节课的学习价值。】六、板书设计：鸡兔同笼 （隐含条件：鸡有2 只脚兔有 4 只脚）猜测： 兔 1 2 鸡 2 1 2214=8 画图法：列表法：逐一验证取中验证列方程解：解：设兔有x 只，那么就有（ 8 -x ）只鸡。4x+2(8 -x)=26 2x+16=26 x=5 85=3（只）答：兔有 5 只，鸡有35 只。假设法： 假设全是鸡 假设全是兔名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

24、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 13 教学反思：本节课借助我国民间广为流传的数学趣题“鸡兔同笼”这个题材，培养学生从多角度思考， 运用多种方法解决问题的能力。因此本节课重在研究解决 “鸡兔同笼”问题的方法和策略上。要让学生经历从多种角度思考，运用多种方法解决问题的过程，通过展开讨论，根据学生已有的经验，不断调整解题策略，逐步探讨出不同的方法，找到合理解决问题的策略；并在交流学习的过程中，积累解决问题的经验，掌握解决问题的方法，灵活运用该方法解决生活

25、中的类似“鸡兔同笼”问题。孙子算经中的原题数据比较大，不利于首次接触该类问题的学生进行探究，于是我将的原题中的数据变小，既为分析和解决问题提供了方便，也巧妙渗透了化“难”为“易”，化“繁”为“简”的数学思想方法。将大数目的“鸡兔同笼”问题转变成小数目的“鸡兔同笼”问题我分了两个层次，第一个层次是“从上面数，有3 个头，从下面数，有8 只脚，鸡兔各有几只？”提供这样的数据，是为了激起学生大胆猜测的渴望，同时也使得用画出直观图的思想方法来解决这一问题成为了可能，经历画图法的过程后，同时为后面假设法的学习做了准备。画图的思想方法已成为小学生学习数学的一种需要。学生在自己画图的活动中，能感悟策略、发展

26、思维、体会方法和获得思想。第二个层次是“从上面数，有8 个头，从下面数，有26 只脚，鸡和兔各有几只？”让学生将各种可能的结果有序地列举在表格中，再通过验证脚的总只数来确定鸡兔各有几只，在验证失败的过程中学生逐步感受到“如果总脚数猜多了，就要多猜鸡少猜兔的只数；如果总脚数猜少了，要多猜兔少猜鸡的只数。”也正是在这样的过程中，学生参与探究的热情更高了，开展探究的勇气更大了，解决问题的思路更明了。学生通过列表验证，不断调整思路，从而优化解决问题的策略。列方程解题是学生在五年级已学过的方法，但运用到解决鸡兔同笼问题之中又是新策略。以旧知识和旧方法为基础，放手让学生大胆尝试、自主探究，让学生感受到了代

27、数法解题的一般性。让学生认识、理解、运用假设法是本节课的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 14 教学难点。为此，以表格中数据变化规律为探究基础，以师生互动为探究方式，以教师生动的肢体语言为探究辅助手段，逐一将难点突破，巧妙地将学生认知经验和思维过程转化成了数学语言，即数学算式，从而形成了解决问题的全新的一般策略，发展了学生的思维水平和推理能力。后来又向学生介绍特殊而巧妙的古代 “ 抬腿法 ” ，让学生进一步感受

28、到了我国古代数学的魅力。并通过解决生活中类似于鸡兔同笼的问题，让学生体会到了此类问题在现实中的广泛存在，进而凸显了本节课的学习价值。在教学中，我精心设计问题，引导学生先后运用猜测法、画图法、列表法、代数法、假设法等分析和解决问题，从而获得了分析问题和解决问题的基本方法和一般方法，体验了解决问题策略的多样性，发展了创新意识。在短短的四十分钟里，我只关注于解决问题策略的多样化，没有时间去解决策略的自主优化，让学生感知不同策略间的相互联系和影响，对比解决问题策略的局限性和一般性。回过头来细细品味这节课上所渗透的数学思想方法，我在不禁感叹“鸡兔同笼”问题中数学思想方法的多样、深刻与灵巧的同时也感觉到了“鸡兔同笼”问题的在教学上的挑战性。如何通过一节课的教学，有效提升学生对教学中渗透的数学思想方法的认识，是我要继续思考的问题。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -