2022年测控停车场车位分配问题数学模型 .pdf

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1、1 停车位车位分配问题数学模型摘要随着城市车辆增多，停车场占城市建设面积越来越大，那么提高停车场的利用率就至关重要。【问题一】题目给出一个月的停车数据，为了简化计算，对每个时间段作平均数，将平均数输入spss分析拟合，得到最优的拟合曲线y=0.173x3-9.358x2+147.882x-566。对平均数做出折线图进行分析， 8 点到 9 点进车数量剧增，从40 辆左右增加到 130 辆左右； 9 点到 12 点车辆数达到一天的峰值，维持在 160 辆左右，最多达到 173 辆；12 点过后大约会开走20 辆车；17 点，数量开始剧减，到 20 点剩下大约 40 辆车；20 点之后的午夜时间段

2、大约只有20辆车。【问题二】计算最大售卡量。定义冲突概率：扩大售卡对象后，在同一时间有多于212 辆车来停车的概率。对 8 点到 13 点之间的所有数据导入spss中做正态分布检验，并计算均值和标准差，得到服从正态分布的结论。通过查标准正态分布表，概率为0.9495的变量右边范围是1.64，那么原数据相同概率的右边范围是168（取整） 。由假设停车高峰期的占用车位数与售卡数成正比，而原来售卡数时 212，根据比例得出冲突概率小于0.05 时最大售卡数为 267 张。【问题三】 规划停车场或得最大收益。 增加卡的种类： 普通包月卡、 时段包月卡（上午卡、下午卡、午夜卡） 、临时卡（前者优先于后者

3、）。普通包月卡只对写字楼里的工作人员出售，保证不影响停车场主要使用人的利益； 其他卡对社会上所有人出售， 时段卡的售出数量根据原数据这一时段的最大停车数确定，而临时卡则根据每一小时已经售出的两种月卡数确定，总和不多于212。但是总收益必须根据时段包月卡的社会需求量确定。给出目标函数总收益的公式：s=（212-a1）*y1+(z1+z2)*y2+z3*y3+1748*ijiby+7518*ijby+d 一问题重述某写字楼拥有 212个车位，主要供写字楼工作人员办卡包年或包月使用，车位不固定， 只要有空闲车位就可以停。现在的情况是，办卡客户虽然办了卡，但不一定都来停车，且很多车子是流动的，可能早上

4、停进来，中午就走了。这样，停车场空置率很大，造成了资源浪费，现计划扩大售卡数量和对象。 假定总车位固定不变， 请依据附表中 4 月份每天各时段的停车流量数据，建立数学模型回答下列问题：（1）模拟附表中停车流量，分析停车量统计规律；（2）定义冲突概率 ，求若冲突概率， 低于 0.05 情形下，计算最大售卡量；（3）替车位管理员，设计最佳车位分配管理方法，使得收益最大。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 2 二问题分析【

5、问题一分析】数据给出的一个月各个时段停车流量，求出整个月每个时段的平均数，导入spss进行拟合，选拟合效果最好的三次线性方程，以此来模拟一天当中各个时段的车流量。数据分析：做各时段平均数的折线图， 通过图能直观的分析各个时段的车辆数特点；把每一时段的数据减去前一时段的数据， 得到每一时段车辆增加数和减少数，来确定停进来的车数最多的时段和车开走数量最多的时段。【问题二分析】定义冲突概率：扩大售卡对象后，在同一时间有多于212 辆车来停车的概率。根据数据，发现每天8 点到 13点这一段时间内停车场的数量是一天内最多的，只要这一段时间内冲突概率小于 0.05，就可以确定一天内其他时段冲突概率肯定小于

6、0.05。对 8 点到 13 点这段时间内整月所有数据用 spss作正态分布检验，得到数据x 服从正态分布的结论。在加大售卡数之后停车数依旧服从正态分布。带入均值和标准差得出正态分布函数，积分得到概率函数P （x） 。现允许最大售卡数为 N 张，满足12212xxN，根据题目要求 P（x20.95, 先计算 P(x10.95 时的 x0值，根据0212212xN得到 N 的值。【问题三分析】 要取得最大收益， 就尽量让停车场停更多的车， 并且保证写字楼里的人员都有空车位可以停。因此，设计三种卡出售：普通包月卡、时段包月卡、临时卡（优先级别分别是前者优于后者） ，而根据常识，三种卡的单位时间所消

7、费的价格是依次增高的。普通包月卡收入稳定，但是收益没有临时卡高；而临时卡虽然收入多，但是不稳定；而时段包月卡在两者好之间，所以三张卡搭配使用，能够最大程度地提高车位利用率。1）为保证写字楼里工作人员随时有车位停，所以只向写字楼里的人出售包月卡212 张，售价为 y1当然写字楼里的人也可以买其他的卡，如果写字楼里有a1人选购了别种的卡，那么包月卡就减少了 a1张，则其他两种卡总数就允许增加a1张。若其他 a1张卡出售出去， 则有 a1个车位单位时间收入增加了，于是增加总收益。当然这a1人是自愿的且基本是只有一个时段来停车的或者根本是比较少来，这样也更合理。2）时段包月卡面向社会出售，分上午卡、下

8、午卡、午夜卡三种，分别为z1、z2、z3张；允许使用时间段为 8 点到 12点、12 点到 18 点、18 点到第二日 8 点，时间到点就要出车，不然需要加倍收费；上午卡和下午卡售价为y2，午夜卡售价稍低为y3。3）临时卡作为临时使用。上午可以出售的卡数bij=212-a1-z1，下午可以出售的卡数bij=212-a1-z2，价格一样为 y4每小时，午夜可以出售的卡数bij=212-a1-z3，价格稍低为 y5每小时；允许使用的时间为一小时，超出时间则加倍收费。三模型假设1. 一天中每一个时段的停车辆总数是随机的。2. 包年卡和包月卡作相同卡计算。3. 统计表中的数据时出售的卡数是212张。4

9、. 增加售卡数之后， 8 点到 14 点停车数依然服从正态分布。5. 停车高峰期的占用车位数与售卡数成正比。6. 不考虑突发情况。7. 推出其他类型卡之前，写字楼里的工作人员是这个停车场的全部使用人。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 3 8. 楼里的工作人员由于长期在此工作，所有有车的人都购买了包月卡或者时段包月卡。9. 任意两种时段包月卡价格之和高于普通包月卡，而任何一种时段包月卡价格低于普通包月卡。10. 所有

10、数值涉及实际意义，均为正值。四符号说明数学期望标准差N（，）正太分布P 概率x1 未增加售卡数时的车辆数x2 已增加售卡数时的车辆数N 最大售卡数（包年卡和包月卡）a1 楼中不买普通包月卡的人数z1 购买上午包月卡人数z2 购买下午包月卡人数z3 购买午夜包月卡人数y1 包月卡价格y2 上午、下午包月卡价格y3 午夜包月卡价格y4 上午、下午临时卡价格y5 午夜临时卡价格y6 车辆停车超时的总收益s 总收益函数az1 放弃包月卡买上午包月卡人数az2 放弃包月卡买下午包月卡人数az3 放弃包月卡买午夜包月卡人数bij 临时卡售出数量cij 每小时停车场最多车量数d 车辆超时所得收益五模型建立和

11、求解问题一：因为题目要求我们拟合数据， 所以我们求出了每一时段的平均数，然后把各个时段的平均数据的数据导入 spss 进行曲线拟合，拟合的种类有线性，指数，正态。根据R2和 F值，发现 3 次线性函数拟合效果最好， R2=0.89，F=29，y=0.173x3-9.358x2+147.882x-566.曲线图如图 1：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 4 图 1 拟合出的曲线图原始数据如图 2：停车数量020406

12、08010012014016018067891011121314151617181920停车数量图 2 原来的真实停车数据分析数据规律： 不管是从模拟图还是原来的数据图可以看出，早上和晚上的停车数较少， 午夜车辆数大约是 20 辆，早上这段时间来停车数很多，11点达到了一个高峰之后略有下降但在16点前依然保持在 140 辆左右， 17 点可能是下班的缘故，停车数开始急剧下降。一天中最高停车数为173，远远没有达到212的车位数。再做出每一时间段进入停产位的车辆数（即后一时间段停车数减前一时间段停车数）。如图 3：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

13、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 5 各个时间段进入停车场的车辆-60-40-200204060801007到8点9到10点11到12点13到14点15到16点17到18点19到20点时间车辆数各个时间段进入停车场的车辆图 3 各时段进出停车场的车辆数从图中可以看出中午虽然是停产数最多的，但并不是进入停车场的车数最多的，入场高峰在 9 到十点，属于上班高峰，符合常理。从13点开始基本没有车进场了，只有出去的，从19 点开始有大量车辆驶出停车场。问题二：作 8 点到 13点 30 天的平均数，如下

14、表：表 1 上午各时段车辆平均数时间断8 点到 9 点9 点到 10 点10 点到 11点11 点到 12 点12 点到 13点平均车辆数131 161 148 160 143 说明这一段时间车辆数达到一天中的峰值。对所有数据作直方图：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 6 图 4 8 点到 13 点数据频率直方图作正态分布检验： sig 值是 0.098（大于 0.05即为正态分布）。作 QQ 图：名师资料总结 -

15、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 7 图 5 8-13 点数据 QQ 图QQ 图中点和线符合得越好就说明数据越接近正态分布。从正态分布检验和QQ 图中看出数据完全符合正态分布，均值是147.6，标准差是 12.139。正太分布公式为： f（x）=1() 2*2 22*xe积分得到概率函数P（x）=01() 2*2 22*xxedx=1 带入均值=147.6，标准差=12.139，P（x0）=0.95 时，查标准正态分布表计算得x0

16、=168（取整） ，由0212212xN，得 N=267（取整）。问题三：1）普通包月卡收益为s包=（212-a1）*y12）时段包月卡的约束和收益：原数据是在只有出售包月卡情况下统计的，在推出时段包月卡之后， 有一定数量的人会放弃普通包月卡而选择时段包月卡，设有 az1人选择上午包月卡， az2人选择下午包月卡， az3人选择午夜包月卡，这是出售给写字楼内部人员的数段包月卡数量，当然，这部分人丧失了最优级的车位使用权,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9

17、页 - - - - - - - - - 8 数量满足 a1= az1+ az2+az3；而对社会出售的时段包月卡数量依次为z1 、z2 、z3 。找出上午 8 点到 12 点停车场内车辆数最大值173，那么对社会还可以出售至少39 张上午包月卡；下午 12点到 17 点停车场内车辆最大值154，对社会还可以出售至少58 张下午包月卡；下午18 点到次日早上 8 点停车场内车辆数最大值80，对社会还可以出售至少132 张午夜卡。通过以上分析：时段包月卡的总数： z1= z1 +az1z2=z2 +az2z3=z3 +az3（z139，z258,z3132）把时段包月卡控制在最少以内， 可以基本上

18、保证社会上的分段包月卡顾客不会与写字楼内的人员发生停车冲突，而有些时候可能空闲出来的车位，则可以通过临时卡出售给其他顾客。规划时段包月卡只要控制好对社会的出售量，而内部人员则只是月卡种类的转化。收益为 s段=(z1+z2)*y2+z3*y33）临时卡的约束和收益：每一时段的停车场车辆数最大值：表 2 每时段停车数最大值时间段6-7 7-8 8-9 9-10 10-11 11-12 12-13 13-14 14-15 15-16 16-17 17-18 18-19 19-20 20后车数27 48 139 173 158 172 154 143 147 148 143 123 80 53 40

19、每一小时最多停车数记为cij8 点到 12 点：各个小时段最多出售的临时卡数=212-cij-z1 （7i,j13，j=i+1）12 点到 18 点：各个小时段最多出售的临时卡数=212-cij-z2 (12i,j19，j=i+1) 18 点到次日 8 点：各个小时段最对出售的临时卡数=212-cij-z3 (18i.j8，j=i+1) 临时卡的出售数量由时段包月卡的数量确定，价格分别为y4、y5那么临时卡收益为s临=1748*ijiby+7518*ijby4）因车辆超时而增加的收益d 根据实际情况而定。终上所述，总收益s=（212-a1）*y1+(z1+z2)*y2+z3*y3+1748*i

20、jiby+7518*ijby+d 六模型结果分析第三题的结果分析： 此目标函数是建立在各个参数值是最大值的前提下，在实际情况中， 停车场是还有些许空位，但是并不多，这样有调节的余地，发生冲突的概率小，也一定程度上保证了停车场的信誉度。七模型优缺点分析参考文献名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 9 附录名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -