《线性代数》复习提纲.pdf
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1、1 线性代数复习提纲第一部分:基本要求(计算方面)四阶行列式的计算;N 阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等);矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算);求矩阵的秩、逆(两种方法);解矩阵方程;含参数的线性方程组解的情况的讨论;齐次、非齐次线性方程组的求解 (包括唯一、无穷多解);讨论一个向量能否用向量组线性表示;讨论或证明向量组的相关性;求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示;将无关组正交化、单位化;求方阵的特征值和特征向量;讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵;通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化;写出二次型的矩阵,并将二次型
2、标准化,写出变换矩阵;2 判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分:基本知识一矩阵1矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵如单位矩阵、对角、对称矩阵等);2矩阵的运算(1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果;(2)关于乘法的几个结论:矩阵乘法一般不满足交换律(若ABBA,称 A、B是可交换矩阵);矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在;若 A、B 为同阶方阵,则 |AB|=|A|B|;|kA|=nk|A| 3矩阵的秩(1)定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;(2)秩的求法一般不用定义求,而用下面结论:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列,从此元开3
3、 始往下全为 0 的矩阵称为行阶梯阵)。求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4逆矩阵(1)定义: A、B 为 n 阶方阵,若 ABBAE,称 A可逆, B是 A 的逆矩阵(满足半边也成立);(2)性质:(AB)1=(B1)*(A1),(AT)1=(A1)T;(A B 的逆矩阵,你懂的 )(注意顺序)(3)可逆的条件:|A| 0 ;r(A)=n; A等价于 E; (4)逆的求解伴随矩阵法A1=(1/|A|)A*;(A* A 的伴随矩阵 ) 初等变换法( A:E)(施行初等变换 )(E:A1)5用逆矩阵求解矩阵方程:AX=B,则 X=(A1)B;XB=A,则 X=B(A1);AXB=C,则 X
4、=(A1)C(B1) 4 二、行列式1行列式的定义用 n2个元素 aij 组成的记号称为 n 阶行列式。(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和;(2)展开式共有 n!项,其中符号正负各半;2行列式的计算一阶| |= 行列式,二、三阶行列式有对角线法则;N 阶(n=3 )行列式的计算:降阶法定理:n 阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法:选取比较简单的一行(列),保留一个非零元素,其余元素化为0,利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;(2)行列式值为 0 的几种情况:行列式某行(列)
5、元素全为0;5 行列式某两行(列)的对应元素相同;行列式某两行(列)的元素对应成比例;三、线性方程组1线性方程组解的判定定理:(1) r(A,b) r(A) 无解;(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解;(3)r(A,b)=r(A)n 有无穷多组解;特别地:对齐次线性方程组AX=0 (1) r(A)=n 只有零解;(2) r(A)n 有非零解;再特别,若为方阵,(1)|A| 0 只有零解(2)|A|=0 有非零解2齐次线性方程组(1)解的情况:r(A)=n ,(或系数行列式D0 )只有零解;r(A)n ,(或系数行列式D0)有无穷多组非零解。6 (2)解的结构:X=c11+c22+Cn-
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