2022年函数的奇偶性与周期性 .pdf
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1、学习必备欢迎下载 2.3函数的奇偶性与周期性了解函数奇偶性的含义.在高考中,函数的奇偶性、周期性常与函数的其他性质结合在一起命题,综合考查学生对函数基本概念及性质的理解,题型以选择、填空为主.1.奇偶函数的概念(1)偶函数一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么函数f(x)就叫做偶函数 .(2)奇函数一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么函数f(x)就叫做奇函数 .2.奇偶函数的图象特征偶函数的图象关于对称;奇函数的图象关于对称 .3.具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于,即定义域关于是一个函数具有奇偶性的条件 .4.周期函数的概念(
2、1)周期、周期函数对于函数 f(x),如果存在一个T,使得当 x 取定义域内的值时,都有,那么函数f(x)就叫做周期函数 .T 叫做这个函数的周期.(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 .5.函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数 f(x)为奇函数,在 a,b上为增 (减)函数,则 f(x)在b, a上应为;(2)若函数 f(x)为偶函数,在 a,b上为增 (减)函数,则 f(x)在b, a上应为.6.奇偶函数的 “ 运算 ” (共同定义域上 ) 奇 奇,偶 偶,奇 奇,偶 偶,奇 偶. 7.函数的对称性如果函数 f(x
3、),xD,满足 ?xD,恒有 f(ax)f(bx),那么函数的图象有对称轴;如果函数 f(x), xD,满足 ? xD,恒有 f(ax) f(bx),那么函数的图象有对称中心.8.函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f(x)(xD)在定义域内有两条对称轴xa,xb(ab),则函数 f(x)是周期函数,且周期T2(ba)(不一定是最小正周期,下同).(2)如果函数 f(x)(xD)在定义域内有两个对称中心A(a, 0),B(b,0)(a0 时,f(x)x21x,则 f(1)() A 2 B0 C1 D2 解: f(x)为奇函数, f(1) f(1) 2. 故选 A.(2013 东北三校联考
4、)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足f(1)1,f(2)2,则 f(3)f(4)() A 1 B1 C 2 D2 解: 函数 f(x)的周期为 5,f(3)f(4)f(2)f(1),又f(x)为 R 上的奇函数, f(2)f(1) f(2)f(1) 21 1.故选 A.设函数 f(x)x(exaex)(xR)是偶函数,则实数a. 解: 令 g(x)x,h(x)exaex,因为函数g(x)x 是奇函数,则由题意知,函数h(x)exaex为奇函数,又函数f(x)的定义域为R,h(0)0,解得 a 1.故填 1.若 f(x)a 2xa12x1是奇函数,则a. 解: 由 f(x) f(
5、x)对任意 x 恒成立,即 f(x)a 2xa12x1(1a)2xa12x f(x)a 2xa112x对任意 x 恒成立,所以1aa,即 a12.故填12.类型一函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)(x1)1x1x;(2)f(x)x22x1,x0,x22x1,x0;(3)f(x)4x2x;(4)f(x)x211x2;(5)f(x)loga(xx21)(a0 且 a1) .解: (1)定义域要求1 x1 x 0,1x 1,f(x)的定义域不关于原点对称,f(x)不具有奇偶性(2)解法一 (定义法 ):当 x0 时, f(x) x22x1, x0,f(x)(x)22(x)1x22x
6、1 f(x);当 x0 时, f(x)x22x1, x0,f(x) (x)22( x)1 x22x1f(x)f(x)为奇函数解法二 (图象法 ):作出函数f(x)的图象, 由图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数(3)4x2 0,x0 ,2 x 2 且 x0 ,定义域关于原点对称又 f(x)4( x)2x4x2x,f(x) f(x)故函数 f(x)为奇函数(4)f(x)的定义域为 1,1,关于原点对称,又f(1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页学习必备欢迎下载f(1)0,即 f(1)f(1),且 f(1) f
7、(1),故 f(x)既是奇函数,又是偶函数(5) 函数的定义域为R,又f(x)f(x) logax( x)21loga(xx21) loga(x21x)loga(x2 1x) loga(x21x)(x21x) loga(x21 x2)loga10. 即 f(x) f(x),f(x)为奇函数【评析】 (1)判断函数奇偶性的步骤是:求函数定义域,看定义域是否关于原点对称,若不对称,则既不是奇函数,也不是偶函数;验证f(x)是否等于 f(x),或验证其等价形式f(x) f(x)0 或f( x)f(x) 1(f(x)0) 是否成立 (2)对于分段函数的奇偶性应分段验证,但比较繁琐,且容易判断错误,通常
8、是用图象法来判断(3)对于含有 x 的对数式或指数式的函数通常用 “ f(x) f(x)0” 来判断(2013 广州模拟 )判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)(x1)1x1x;(2)f(x)lg(4x2)|x2|x4|;(3)f(x)x2x,x0,x2x,x0.解: (1)由1x1x 0,得 1 x1,即函数f(x)的定义域是 x|1 x1,关于原点不对称,故f(x)为非奇非偶函数(2)由4x20,|x2|x4| 0,得 2x2,即函数 f(x)的定义域是 x|2x2又 f(x)lg(4x2)|x2|x4|lg(4x2)2x x416lg(4x2),f(x)16lg4(x)216lg(4x2
9、)f(x),所以函数f(x)是偶函数(3)当 x0 时, f(x)x2x, x0,f(x)(x)2x x2x f(x);当 x0 时, f(x) x2x, x0,f(x)(x)2xx2x f(x)f(x)是奇函数类型二利用函数性质求解析式已知函数 f(x)满足 f(x) f(x2)13. (1)求证: f(x)是周期函数;(2)若 f(1)2,求 f(99)的值;(3)若当 x0,2时, f(x)x,试求 x4,8时函数 f(x)的解析式 .解:(1)证明:由题意知f(x)0 ,则 f(x2)13f(x).用 x2代替 x 得 f(x4)13f(x2)f(x),故 yf(x)为周期函数,且周期
10、为 4. (2)若 f(1)2,则 f(99)f(24 43)f(3)13f(1)132. (3)当 x4,6时, x40,2,则 f(x4)x4,又周期为4,所以 f(x)f(x4)x4. 当 x(6,8时, x6(0,2,则 f(x6)x6,根据周期为 4,则 f(x2)f(x6)x6. 又 f(x) f(x2)13,所以 f(x)13f(x2)13x6. 所以解析式为f(x)x4,4 x 6,13x6,6x 8.【评析】 本题存在规律性:若f(xa) f(x)b(常数 ),则f(x)的周期为 2a(a0);同理, f(xa)f(x)或 f(xa)1f(x)或 f(xa)1f(x),均可推
11、得f(x)的周期 T2a(a0)已知函数 f(x),xR 的图象关于y 轴对称,且当 x0,1时,f(x)x2,同时 f(x2)f(x),求 f(x).解: 由题意知函数f(x)是偶函数,也是以2 为周期的周期函数所以先求出一个周期内的表达式,然后推广到整个定义域即可0 x 1 时, f(x)x2,且 f(x)为偶函数,当 1 x 0 时, f(x)x2. 1 x 1 时, f(x)x2. f(x)为周期函数,且周期为2,f(x2n)f(x)(nZ)故 f(x)(x2n)2(x(2n1,2n1)(nZ)类型三奇偶性与单调性的综合设定义在 2,2上的偶函数 f(x)在区间 0,2上单调递减,若f
12、(1m)f(m),则实数 m 的取值范围是_.解: f(x)是偶函数, f(x)f(x)f(|x|)f(1m)f(m) ? f(|1m|)f(|m|)又当 x0,2时, f(x)是减函数,|1m|m|,2 1m 2,2 m 2.解得 1 m12. 故填)1,12.【评析】 在解题过程中抓住偶函数的性质,将1m,m 转化到同一单调区间上,避免了由于单调性不同导致1m 与 m 大小不明确的讨论,从而使解题过程得以优化另外,不要忘记定义域已知定义域为 (1,1)的奇函数yf(x),在(1,1)上又是减函数,且满足f(2x1)f( )130,则 x的取值范围为 _.解:由奇函数的性质得f(2x1)f(
13、 )13,又 yf(x)是(1,1)上的减函数,则12x11,2x113,解得13x 1.故填()13,1.类型四函数周期性和奇偶性的应用已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,且满足f(5x)f(5x),在0,5上有且只有f(1)0, 则 f(x)在2014,2014上的零点个数为 () A808 B806 C805 D804 解: 函数 f(x)是 R 上的偶函数,在 0,5上有且只有一个零点,所以在 5,0上也只有一个零点,而f(5x)f(5x),说明函数yf(x)的图象以直线x5 为对称轴,所以f(x)的周期是 10,每个周期上有两个零点,因此 f(x)在2010,2010上有40201
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