2022年高三数学一轮总复习专题圆锥曲线与方程 .pdf

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1、专题十二、圆锥曲线与方程抓住 3 个高考重点重点 1 椭圆及其性质1椭圆的定义：椭圆的第一定义：对椭圆上任意一点M都有1212|2|2MFMFaF Fc椭圆的第二定义：对椭圆上任意一点M都有|,(01)MFeed2求椭圆的标准方程的方法（1）定义法：根据椭圆定义，确定22,ab的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆的标准方程（2） 待定系数法： 根据椭圆焦点是在x轴还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于, ,a b c的方程组，解出22,ab，从而写出椭圆的标准方程3求椭圆的标准方程需要注意以下几点？（ 1）如果 椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为221(0,0,)AxByAB

2、AB或22221xymn（2）与椭圆2222221()xymnmn共焦点的椭圆方程可设为2222221(,)xykmknmknk（3）与椭圆22221(0)xyabab有相同离心率的椭圆方程可设为22122xykab（10k，焦点在x轴上）或22222yxkab（20k，焦点在y轴上）4椭圆的几何性质的应用策略（1）与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形：若涉及顶点、 焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量，则要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的联系，求解自然就不难了（2） 椭圆的离心率221cbeaa是刻画椭圆性质的不变量，当e越接近于1 时，椭圆越扁， 当e

3、越接近于0时，椭圆越接近于圆，求椭圆的标准方程需要两个条件，而求椭圆的离心率只需要根据一个条件得到关于, ,a b c的齐次方程，再结合222abc即可求出椭圆的离心率 高考常考角度 角度 1 若椭圆12222byax的焦点在x轴上，过点)21, 1(作圆122yx的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是14522yx. 解析 : 方法一：设过点)21, 1(的直线方程为：当斜率存在时，1(1)2yk x，即22120kxyk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页由题意，2|12|3

4、1444kkk，由22331(1)542415xyxyxy，切点为3 4(,)5 5B，又当斜率不存在时，直线方程为1x，切点为(1,0)A，故直线:220ABxy, 则与y轴的交点即为上顶点坐标(2,0)2b，与x轴的交点即为焦点1c，2225abc，即椭圆方程为14522yx（说明：如果设切点00(,)B xy，则过切点的切线方程为001x xy y，与3134(1)14255yxxy比较，也可求出切点3 4(,)5 5B）方法二：（数形结合）设点1(1, )2P，则有直线1:2OPyx，作图分析可得2ABk，又切点(1,0)A故直线:2(1)AB yx，即220 xy，则AB与y轴的交点

5、即为上顶点坐标(2,0)2b，与x轴的交点即为右焦点1c，2225abc，故 椭圆方程为14522yx角度 2 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点12,FF在x轴上，离心率为22. 过1F的直线l交C于,A B两点，且2ABF的周长为16，那么C的方程为 . 解析：可设椭圆方程为22221(0)xyabab,22cea, 2ABF的周长为24164,2 28aacb, 故椭圆C的方程为221168xy角度 3 已知椭圆2222:1(0)xyEabab, 直线l为圆222:O xyb的一条切线，记椭圆E的离心率为e若直线l的倾斜角为3，且恰好经过椭圆的右顶点，则e的大小为 _.

6、解析：本题考查直线与圆的位置关系，椭圆的离心率等知识如图所示，设直线l与圆O相切于C点，椭圆的右顶点为D，则由题意，知OCD为直角三角形，且|,|,3OCb ODaODC22221|cos32cCDODOCabcea重点 2 双 曲线及其性质1双曲线的定义：双曲线的第一定义：对双曲线上任意一点M都有1212|2| 2MFMFaF Fc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页双曲线的第二定义：对双曲线上任意一点M都有|,(1)MFe ed2求双曲线的标准方程的方法（1）定义法（2）待定系数法3求双曲线方程需要注意以下几点：

7、（1）双曲线与椭圆的标准方程均可记为221(0)mxnymn，其中，0m且0n，且mn时表示椭圆；0mn时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论（2）常见双曲线设法：已知ab的双曲线设为22(0)xy；已知过两点的双曲线可设为221(0)AxByAB；已知渐近线0 xymn的双曲线方程可设为2222(0)xymn4. 双曲线的几何性质的应用策略（1）关于双曲缉的渐近线求法：求双曲线22221(0,0)xyabab的渐近线的方法是令22220 xyab，即得两渐近线方程00 xybxayab两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且关于x轴、y轴对称 . 与22221(0,0)xyabab共渐近

8、线的双曲线方程可设为2222(0)xyab. （2）求双曲线的离心率双曲线的离心率221cbeaa，求双曲线的离心率只需根据一个条件得到关于, ,a b c的齐次方程，再结合222cab即可求出 . 高考常考角度 角度1 已知双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线均和圆22:650Cxyx相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A.22154xy B.22145xy C.22136xy D.22163xy解析：由已知得，圆22:(3)4Cxy，3,c双曲线的渐近线为0bxay，由已知得222232,3bdabab32bc，则22,5ba，故选 A. 角度 2 已知

9、双曲线221412xy的左、右焦点分别是1F、2F，P为右支上一动点，点(1,4)Q，则1|PQPF的最小值为 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页解析：由双曲线的定义得1212|2|2|PFPFaPFaPF，又22(4,0),| 5FQF122| | 2| 2549PQPFPQPFaQFa，当且仅当2,FP Q共线时取等号，故1|PQPF的最小值为9角度3 设1F、2F分别为双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点. 若双曲线右支上存在点P，满足212PFF F，且2F到直线1PF的距离等于双曲线的

10、实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A. 340 xy B. 350 xy C. 430 xy D. 540 xy解析：如图，过2F作21F APF于A，由题意知212|2 ,|2 ,F AaF Fc则11| 2 , | 4 ,AFbPFb而2212| 2 ,4222(2)PFPFabcacbacba2222443babbabaa则 双曲线的渐近线方程为43yx，即430 xy，故选 C 重点 3 抛物线及其性质1求抛物线的标准方程的方法（1）定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p的值，得到抛物线的标准方程（2）待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线的

11、标准方程有四种形式从简单化角度出发，焦点在x轴上的，设为2(0)yax a，焦点在y轴上的，设为2(0)xby b2抛物线定义的应用策略抛物线是到定点和定直线（定点不在定直线上）距离相等的点的轨迹，利用该定义，可有效地实现抛物线上的点到焦点和到准线的距离的转化，将有利于问题的解决3抛物线几何性质的应用策略（1）焦半径：抛物线22(0)ypx p一点00(,)P xy到焦点(,0)2pF的距离0|2pPFx. （2）通径：过焦点(,0)2pF且与x轴垂直的弦AB叫做通径，且|2ABp（3）设过抛物线22(0)ypx p的焦点F的弦为1122,(,),(,)AB A xyB xy，则有弦长：122

12、2|(sinpABxxp为弦AB的倾斜角）221212,4pyypxx112|AFBFp精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页 以弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 直线AB的方程为()2pyk x（k不存在时弦AB为通径） 高考常考角度 角度 1 已知F是抛物线2yx的焦点，,A B是该抛物线上的两点，| =3AFBF，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A34B1 C54D74解析：设1122(,),(,)A xyB xy，由抛物线定义，得1212121155|344224xxAFBFxxxx，故线段AB的中点到y

13、轴的距离为54.故选 C 角度 2 设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x，则抛物线的方程是（）A. 28yx B. 28yx C. 24yx D. 24yx点评：由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键解析：由题意可知，抛物线的方程为22(0)ypx p，由准线方程2x得22p, 所以28yx故选 B 角度 3 设抛物线28yx的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为3，那么|PF（ B ）A. 4 3B.8 C. 8 3D. 16 解析：方法一：抛物线的焦点(2,0)F，直线AF的方程为3(2)yx，所以得点( 2,4 3)A、(6, 4 3)P，从而

14、| 628PF，故选 B 方法二：如图，,/PAlPAx轴，又0060 ,60AFOFAP，又由抛物线定义得| |,PAPFPAF为等边三角形，令l与x轴的交点为F，则( 2,0)F在Rt AFF中，| 4, | 8, | 8FFAFPF，故选 B 突破 10 个高考难点难点 1 直线与圆锥曲线的位置关系1. 直线与圆锥曲线的位置关系2. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式典例如图，设P是圆2225xy上的动点，点D是P在x轴上投影，M为PD上一点，且精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页4|5MDPD（）当P在圆上运动时，

15、求点M的轨迹C的方程；（）求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的长度点评：（）动点M通过点P与已知圆相联系，所以把点P的坐标用点M的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；（）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；结合两点的距离公式计算解析：（）设点M的坐标是( , )x y，P的坐标是(,)ppxy，因为点D是P在x轴上投影，M为PD上一点，且4|5MDPD，所以pxx，且54pyy，P在圆2225xy上，225()254xy，整理得2212516xy，即C的方程是2212516xy（）过点(3,0)且斜率为45的直线方程是4(3)5yx，设此直线与C的交点为

16、11(,)A xy，22(,)B xy，由224(3)512516yxxy得222(3)25380 xxxx，则12123,8xxx x221212161641|(1)()4(1)34( 8)25255ABxxx x，直线被C所截线段的长度为415点评：如果直接解方程2380 xx，13412x，23412x，形式复杂，增加运算难度所以线段AB的长度是22212121216|()()(1)()25ABxxyyxx414141255）难点 2 中点弦问题的处理1. 解决圆锥曲线中与弦的中点有关的问题的常规思路有三种：（1）通过方程组转化为一元一次方程，结合一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式

17、进行求解；（2）点差法，设出弦的两端点，利用中点坐标公式求解；（3）中点转移法，先得出一个端点的坐标，再借助于中点坐标公式得出另一个端点的坐标，而后消二次项2对于中点弦问题，常用的解题方法是点差法，其解题步骤为：（1）设点：设出弦的两端点坐标；（2）代入：代入圆锥曲线方程；（3）作差：两式相减，再用平方差公式把式子展开；（4）整理：转化为斜率与中点坐标的关系式，最后求解. 典例已知椭圆2222:1(0)xyGabab的离心率为63，右焦点为(22,0). 斜率为1 的直线l与椭圆G交于,A B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为( 3,2)P。（）求椭圆G的方程；（）求PAB的面积。解析：（

18、）由已知得62 2,.3cca解得2 3.a又2224.bac精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页所以椭圆G的方程为221.124xy（）设直线l的方程为.mxy由221124yxmxy得. 01236422mmxx设A、B的坐标分别为112212(,),(,),(),A x yB xyxxAB中点为00(,)E xy，则,432210mxxx400mmxy因为AB是等腰PAB的底边，所以PEAB. 所以PE的斜率.143342mmk解得2m，此时方程为. 01242xx解得.0,321xx所以.2, 121yy所以

19、| 3 2AB. 此时，点( 3,2)P到直线:20AB xy的距离,2232|223|d所以19|.22PABSABd难点 3 圆锥曲线中的分点弦典例已知椭圆2222:1(0)xyCabab 的 离心率为32，过右焦点F且斜率为(0)k k的直线与C相交于AB、两点若3AFFB，则k（）A. 1B. 2 C. 3 D. 2 解析：设l为椭圆的右准线，e为离心率，过,A B分别作11,AA BB垂直于l，11,A B为垂足，过B作1BEAA于E，由椭圆的第二定义得11|AFAFeAAAAe，11|BFBFeBBBBe由3AFFB，令|FBt，则|3 ,|4AFtABt，112| |tAEAAB

20、Be2|136cossin,tan2|4233tAEeBAEBAEBAEABte即2k，故选 B. 难点 4 圆锥曲线上点的对称问题典例 1 已知椭圆C：221,43xy在椭圆上是否存在两点AB、关于直线4yxm对称，若存在， 求出实数m的取值范围，若不存在，说明理由. 解析：方法一：( 方程组法 ) 设椭圆上存在两点AB、关于直线4yxm对称，由题意，设1:4AByxn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页由2214143yxnxy2213816480 xnxn，设1122(,),(,)A xyB xy，AB的中点为

21、00(,)M xy，则21212816(3),1313nnxxx x，22213644 13 16(3)04nnn0004112,13413nnxyxn，又点00(,)M xy在直线4yxm上，12413413134nnmnm代入解得2 132 131313m，2 13 2 13(,)1313m为所求方法二： ( 点差法 ) 设椭圆上存在两点1122(,),(,)A x yB xy关于直线4yxm对称，AB的中点为00(,)Mxy，则222211221,14343xyxy2222121211()()043xxyy1212121211()()043yyxxyyxx又121200,22xxyyxy

22、1201202,2,xxxyyy1200121,304yyxyxx又点00(,)M xy在直线4yxm上，004yxm 解得00,3 ,xm ym(, 3 )MmmM在椭圆C内，22()( 3 )143mm2 132 131313m，2 132 13,1313m为所求难点 5 求轨迹（曲线）方程典例已知双曲线222xy的左、右焦点分别为1F、2F，过点2F的动直线与双曲线相交于A B,两点若动点M满足1111F MF AF BFO（其中O为坐标原点） ，求点M的轨迹方程 . 解析：由条件知1( 2,0)F，2(2,0)F，设11()A xy，22()B xy，方法一：设()M xy，则1(2)

23、FMxy，111(2)F Axy，1221(2),(2 0)F BxyFO，由1111F MF AF BFO得121226xxxyyy，即12124xxxyyy，于是AB的中点坐标为4()22xyE，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页当AB不与x轴垂直时，2ABEFkk，即121224822yyyyxxxx，即1212()8yyyxxx又因为AB，两点在双曲线上，所以22112xy，22222xy，两式相减得（点差法）12121212()()()()xxxxyyyy，即1212()(4)()xxxyyy将1212(

24、)8yyyxxx代入上式，化简得22(6)4xy当AB与x轴垂直时，122xx，求得(8 0)M，也满足上述方程所以点M的轨迹方程是22(6)4xy方法二：同解法一，有12124,xxxyyy当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是(2)(1)yk xk代入222xy有2222(1)4(42)0kxk xk则12xx，是上述方程的两个实根，所以212241kxxk21212244(4)(4)11kkyyk xxkkk从而22441kxk241kyk相除得4xky，将其代入241kyk得2222444 (4)(4)(4)1xy xyyxxyy整理得22(6)4xy当AB与x轴垂直时，122xx，

25、求得(8 0)M，也满足上述方程故点M的轨迹方程是22(6)4xy难点 6 圆锥曲线中的定点问题典例已知椭圆22:1,43xyC若直线:lykxm与椭圆C相交于A，B两点（AB，不是左右顶点） ，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标解析：设1122(,),(,)A xyB xy，由22143ykxmxy得222(34)84(3)0kxmkxm，22226416(34)(3)0m kkm22340km（1）212122284(3),.3434mkmxxxxkk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页

26、，共 15 页22221212121223(4)() ()().34mkyykxmkxmk x xmk xxmk以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D1ADBDkk，1212122yyxx1212122()40y yx xxx, 即2222223(4)4(3)1640343434mkmmkkkk，即2271640(72 )(2 )0mmkkmkmk，解得1222 ,7kmk m，且满足22340km. 当2mk时，有:(2)lyk x，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27km时，有2:()7lyk x，直线过定点2(,0).7综上可知，直线l过定点，定点坐标为2(,0).7难点 7

27、圆锥曲线中的定值问题典例已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1 且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OAOB与(3, 1)a共线 . （）求椭圆的离心率；（）设M为椭圆上任意一点，且OMOAOB，( ,)R，证明22为定值 . 解析：（）设椭圆方程为22221(0),xyabab则右焦点为( ,0)F c，直线AB的方程为yxc，由22221yxcxyab整理得22222222()20abxa cxa ca b，设1122(,),(,)A x yB xy，则212222,a cxxab22221222a ca bx xab由1212(,),(3, 1)OAOBxxyya共线，

28、得121211223()()0,yyxxyxc yxc12121233(2 )()02xxcxxxxc222222332a ccabab2223()aac2226,33cceaa（）由（）可知223ab，故椭圆22221xyab可化为22233xyb，设( , )OMx y由OMOAOB1122( , )(,)(,),x yxyxy1212xxxyyy( , )Mx y在椭圆上，2221212()3()3xxyyb，即2222221122(3)(3)xyxy212122(3)3x xy yb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，

29、共 15 页由（）知1232xxc，222231,22acbc，22222122238a ca bx xcab1211 21233()()x xy yx xxcxc2121243()3x xxxcc222393022ccc又222222112233,33xybxyb，代入得221难点 8 圆锥曲线中的最值问题和范围问题典例设1F、2F分别是椭圆1422yx的左、右焦点. （）若P是该椭圆上的一个动点，求12PF PF的 最大值和最小值; （）设过定点)2,0(M的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点） ，求直线l的斜率k的取值范围 . 解析：（）方法一：由已知得2

30、,1,3abc，所以12(3,0),( 3,0)FF，设( ,)P x y，则12(3,) ( 3,)PF PFxyxy223xy222113(38)44xxx因为 2,2x，故当0 x，即点P为椭圆短轴端点时，12PF PF有最小值2当2x，即点P为椭圆长轴端点时，12PFPF有最大值1方法二：由已知得2,1,3abc，所以12(3,0),( 3,0)FF，设( , )P x y，则121212| | cosPFPFPFPFF PF22212121212| |2| |PFPFF FPFPFPFPF22221(3)(3)122xyxy223xy（以下同方法一）（）显然直线0 x不满足题设条件，

31、可设直线1222:2,(,),(,)lykxA xyB xy，由22214ykxxy，消去y，整理得221()4304kxkx，12122243,1144kxxxxkk由221(4 )4()34304kkk得32k或32k又00090AOBcos00AOBOA OB，12120OA OBx xy y又1212(2)(2)y ykxkx212122 ()4k x xk xx22223841144kkkk22114kk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页2223101144kkk，即24k22k综合、得322k或322

32、k故直线l的斜率k的取值范围为33( 2,)(,2)22难点 9 圆锥曲线中的探索问题典例已知直线:1lykx与双曲线22: 21Cxy的右支交于不同的两点,.A B（）求实数k的取值范围（） 是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在， 求出k的值； 若不存在，说明理由 . 解：（）由22121ykxxy得22(2)220kxkx依题意，直线与双曲线的右支交于不同的两点，故2222220(2 )8(2)202202kkkkkk解得22k( 2,2)k（）设1122(,),(,),A xyB xy则由可得12222kxxk，12222xxk假设存在实数k，使得以线段

33、AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点( ,0)F c，则FAFB1212()()0 xc xcy y1212()()(1)(1)0 xcxckxkx221212(1)()()10kx xkcxxc将62c及代入，得252 660kk解得665k或66( 2,2)5k（舍去）因此存在665k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F. 规避 5 个易失分点易失分点1 焦点位置考虑不全典例已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为4 53和2 53，过点P作长轴的垂线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 1

34、5 页恰好过椭圆的一个焦点，则该椭圆的方程为_. 易失分提示：焦点没有确定，所以有两种情况。解析：14 5|3PF，22 5|3PF，由椭圆的定义得124 52 5|2 52533PFPFaa，又12| |,PFPF0022112121|190 ,sin,30 ,|2PFPF FPF FPF FPF02221212 1515102| |cos30,333cF FPFcbac当焦点在x轴上时，椭圆的方程为2231510 xy，当焦点在y轴上时，椭圆的方程为2231510yx易失分点2 忽视圆锥曲线定义的条件典例 1 动点P与定点(1,1)F和直线340 xy的距离相等，则动点P的轨迹是（ D ）

35、A椭圆 B 双曲线 C抛物线D直线易失分提示：容易忽视点F 在直线上，而误选C解析：点(1,1)F在直线:340lxy， 所以到点(1,1)F和直线:340lxy的距离相等的点一定在过点P，且与直线l垂直的直线上故选D 典例 2 已知圆221:(3)1Cxy和圆222: (3)9Cxy，动圆M同时与圆1C及圆2C相外切， 则动圆圆心M的轨迹方程为（）A2218yxB2218yxC221(0)8yxxD 221(0)8yxx易失分提示：容易因错误运用双曲线定义而出错，21| 2MCMC，与双曲线定义相比，左边少了外层绝对值，因此只能是双曲线的一支如果不注意，就会出现错误的结果，即点M的轨迹方程为

36、2218yx解析：如图所示，设动圆M半径为, r动圆M同时与圆1C及圆2C分别外切于A和B根据两圆外切的条件，得12|1,|3MCrMCr,2112|2| 6MCMCC C所以动点M的轨迹为双曲线的左支, 其中2223,1,8cabca故点M的轨迹方程为221(0)8yxx, 故选 D 易失分点3 离心率范围求解错误典例已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12(,0)( ,0)FcFc、，若椭圆上存在点P（异于长轴精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页的端点），使得1221sinsincPF FaP

37、F F，则该椭圆离心率的取值范围是_( 21,1)_. 易失分提示 : 求离心率e的范围关键是构建关于e（或, a c）的不等式本题容易出现的错误：一是不会利用正弦定理进行边角转化；二是不会利用椭圆的定义或性质建立不等关系，根据题意利用正弦定理，将已知条件转化为关于离心率e的不等式，进而求出其取值范围解析：由已知12112122112222sin|2|2sinsin1sin|PF FPFaPFcacPF FaPF FaPF FPFPFPF由椭圆的几何性质知，2|PFac，所以22211|aaacPFacac，即212101aceeeeace结合01e，可解得(21,1)e本题容易出错的地方是忽

38、略“点P异于长轴端点”这一隐含条件，导致在建立不等式时误带等号而出错在平时的训练中应该加强对解题过程的监控，多注意所要解决问题的特殊情况，仔细阅读，深入挖掘隐含条件，形成全面思考，周密解答的良好习惯，这对考生来说是非常重要的易失分点4 弦长公式使用不合理典例已知椭圆22:1,3xCy设直线l与椭圆C交于AB、两点，坐标原点O到直线l的距离为32， 求AOB面积的最大值易失分提示： 本题的实质就是求直线l被椭圆C所截得 的弦长|AB的最大值， 易错之处在于对弦长公式的使用不合理，致使运算繁杂，导致最后结果错误或是解题半途而废解析：设1122(,),(,),A xyB xy（1）当ABx轴时，|3

39、AB（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm由已知222|33(1)241mmkk由22223()313ykxmxkxmxy，整理得222(31)6330kxkmxm212122263(1),3131kmmxxx xkk22222221212222363(1)|(1)()4(1)4(31)31k mmABkxxx xkkk22222423(1)(91)123(31)961kkkkkk当0k时，上式242221212123334196123696kkkkk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页当且仅当22

40、19kk，即33k时等号成立当0k时，|3AB，综上所述，max|2AB，此时，max133|2222AOBS易失分点5 焦点三角形问题忽视细节典例已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为12(,0)( ,0)FcFc、若双曲线上存在点P使1221sinsinPF FcPF Fa，则该双曲线的离心率的取值范围是_ 易失分提示 : 本题容易出现的一个致命的错误就是忽视了隐含条件“12PF F,21PF F都不能等于0 ，这样会导致在最后的答案中含有离心率等于21解答数学题要注意对隐含条件的挖掘，确保答案准确无误. 解析：由已知点P不会是双曲线的顶点，否则1221sinsinPF FcPF Fa无意义 . 因为在1PF F中，由正弦定理，得211221|,sinsinPFPFPF FPF F则由已知得21212121|sin|sinPFPF FccPFPFPFPF Faa，且知点P在双曲线的右支上，由双曲钱的定义知12|2 ,PFPFa则22222| 2|caPFPFaPFaca由双曲线的几何性质，知2|PFca，则2222220210acacacaeeca1212e，又1e，所以离心率的取值范围是(1,12)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页