(2022年整理)函数的奇偶性与周期性..pdf

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1、学海无涯1 函数的奇偶性与周期性1函数的奇偶性奇函数偶函数定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有 f(x)f(x)， 那么函数f(x)就叫做奇函数都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数图象特征关于原点对称关于 y 轴对称2.函数的周期性(1)周期函数对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期3判断下列结论的正误 (正确的打 “”

2、 ，错误的打 “” ) (1)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，则f(x)f(x)0.() (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点() (3)如果函数 f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)f(x)g(x)是偶函数 () (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件() (5)若 T 是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期 () (6)函数 f(x)在定义域上满足 f(xa)f(x)，则 f(x)是周期为 2a(a0)的周期函数 () (7)函数 f(x)0，x(0， )既是奇函数又是偶函数 () (8)若函数 yf(xa)是偶函数，则函

3、数yf(x)关于直线 xa 对称 () (9)若函数 yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点 (b,0)中心对称 () (10)若某函数的图象关于y 轴对称，则该函数为偶函数； 若某函数的图象关于 (0,0)对称，则该函数为奇函数 () 考点一判断函数的奇偶性学海无涯2 命题点用函数奇偶性定义判断例 1(1)下列函数为奇函数的是 () AyxByex Cycos xDxxeey解析： 对于 A，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B，f(x)f(x)，故不符合要求；对于C，满足 f(x)f(x)，故不符合要求；对于D， f(x)exex(exex)f(x)，yexex为奇函数，故选

4、D. 答案： D (2)下列函数中为偶函数的是() Ay1xBylg|x| Cy(x1)2Dy2x解析： 根据奇、偶函数的定义，可得A 是奇函数， B 是偶函数， C，D 为非奇非偶函数答案： B (3)函数 f(x)3x2x23，则() A不具有奇偶性B只是奇函数 C只是偶函数D既是奇函数又是偶函数解析： 由3x20，x230，得 x3或 x3. 函数 f(x)的定义域为 3，3对任意的 x3， 3，x3， 3，且 f(x)f(x)f(x)0， f(x)既是奇函数，又是偶函数答案： D 方法引航 判断函数的奇偶性的三种重要方法(1)定义法：学海无涯3 (2)图象法：函数是奇 (偶)函数的充要

5、条件是它的图象关于原点(y 轴)对称(3)性质法：“奇奇”是奇，“奇奇”是奇，“奇 奇”是偶，“奇 奇”是偶；“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶 偶”是偶，“偶 偶”是偶；“奇 偶”是奇，“奇 偶”是奇判断下列函数的奇偶性(1)f(x)(x1) 1x1x；(2)f(x)lg1x1x. 解：(1)要使函数有意义，则1x1x0，解得 1x1，显然 f(x)的定义域不关于原点对称， f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2)由1x1x0? 1x1，定义域关于原点对称又 f(x)lg1x1xlg1)11(xxlg1x1xf(x)，f(x)f(x)故原函数是奇函数考点二函数的周期性及应用命题点1.周期性的简

6、单判断2.利用周期性求函数值例 2(1)下列函数不是周期函数的是() 学海无涯4 Aysin xBy|sin x| Cysin|x| Dysin(x1) 解析：ysin x 与 ysin(x1)的周期 T2 ，B 的周期 T ，C 项 ysin|x|是偶函数， x(0，)与 x(，0)图象不重复，无周期答案： C (2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，若对于x0，都有 f(x2)1f x，且当 x0,2)时，f(x)log2(x1)，则求 f(2 017)f(2 019)的值为 _解析： 当 x0 时，f(x2)1f x， f(x4)f(x)，即 4 是 f(x)(x0)的一个周期

7、 f(2 017)f(2 017)f(1)log221，f(2 019)f(3)1f 11， f(2 017)f(2 019)0. 答案： 0 方法引航 (1)利用周期 f(xT)f(x)将不在解析式范围之内的x通过周期变换转化到解析式范围之内，以方便代入解析式求值(2)判断函数周期性的几个常用结论f(xa)f(x)，则 f(x)为周期函数，周期T2|a|. f(xa)1f x(a0)，则函数 f(x)必为周期函数， 2|a|是它的一个周期；f(xa)1f x，则函数 f(x)必为周期函数， 2|a|是它的一个周期1若将本例 (2)中“ f(x2)1f x”变为“ f(x2) f(x)”，则f

8、(2 017)f(2 019)_. 解析： 由 f(x2)f(x)可知 T4 f(2 017)1，f(2 019)1，f(2 017)f(2 019)0. 答案： 0 2若本例 (2)条件变为 f(x)对于 xR，都有 f(x2)f(x)且当 x0,2)时，f(x)log2(x1)，求f(2 017)f(2 019)的值学海无涯5 解：由 f(x2)f(x)，T2 f(2 019)f(1)log221，f(2 017)f(2 017)f(1)1， f(2 017) f(2 01 9)2. 考点三函数奇偶性的综合应用命题点1. 已知奇偶性求参数2. 利用奇偶性、单调性求解不等式3. 利用奇偶性求

9、解析式或函数值例 3(1)若函数 f(x)2x12xa是奇函数，则使 f(x)3 成立的 x 的取值范围为 () A(， 1)B(1,0) C(0,1) D(1， ) 解析： 因为函数 yf(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，即2x12xa2x12xa.化简可得 a1，则2x12x13，即2x12x130，即2x13 2x12x10，故不等式可化为2x22x10，即 12x2，解得 0 x1，故选 C. 答案： C (2)函数 f(x)axb1x2是定义在 (1,1)上的奇函数，且)21(f25. 确定函数 f(x)的解析式；用定义证明 f(x)在(1,1)上是增函数；解不等式 f(t1)f

10、(t)0. 解：在 x(1,1)上 f(x)为奇函数，f(0)0，即 b0， f(x)ax1x2. 又)21(f25，a211425.解得， a1. f(x)x1x2，经检验适合题意证明：由 f(x)1x22x21x2 21x21x2 2.x(1,1)时，1x20，f(x)0 f(x)在(1,1)上为增函数学海无涯6 由 f(t1)f(t)0，得 f(t1)f(t)，即 f(t1)f(t)1t111t1t1t得 0t12. (3)已知 f(x)是 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x3ln(1x)，则当 x0 时，f(x)() Ax3ln(1x) Bx3ln(1x) Cx3ln(1x) D

11、x3ln(1x) 解析： 当 x0 时， x0，f(x)(x)3ln(1x)，f(x)是 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)f(x)(x)3ln(1x)x3ln(1x)答案： C 方法引航 1 根据奇偶性求解析式中的参数，是利用f x f x 或 f x f x 在定义域内恒成立，建立参数关系 .2 根据奇偶性求解析式或解不等式，是利用奇偶性定义进行转化. 1已知 f(x)ax2bx是定义在 a1,2a上的偶函数，那么ab 的值是 _解析： a12a0，a13. f(x)ax2bx 为偶函数，则 b0， ab13. 答案：132定义在 R 上的偶函数 yf(x)在0，)上递减，且)21(f

12、0，则满足 f(x)0 的 x 的集合为 () A.), 2()21,(2， )B.)1 ,21(1,2) C.)21,0(2，) D.)1 ,21(2， ) 解析： 选 C.由题意可得 ff0)21(f，又 f(x)在0，)上递减，所以12， 即x12或x12， 解得 0 x12或 x2， 所以满足不等式 f学海无涯7 0 的 x 的集合为)21,0(2，)3已知函数 f(x)xlog21x1x1，则)21()21(ff的值为 () A2 B2 C0 D2log213解析：选 A.由题意知， f(x)1xlog21x1x，f(x)1xlog21x1xxlog21x1x(f(x)1)，所以 f

13、(x)1 为奇函数，则)21(f1)21(f10，所以)21()21(ff2. 方法探究 “多法并举 ”解决抽象函数性质问题典例(2017 山东泰安模拟 )定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)，f(x2)f(x)且 f(x)在1,0上是增函数，给出下列四个命题：f(x)是周期函数； f(x)的图象关于x1对称；f(x)在1,2上是减函数； f(2)f(0)，其中正确命题的序号是 _(请把正确命题的序号全部写出来 )分析关系 f(xy)f(x)f(y)隐含了用什么结论？什么方法探究？f(x2)f(x)，隐含了什么结论？用什么方法探究若 f(x)的图象关于 x1 对称，其

14、解析式具备什么等式关系？从何处理探究？f(x)在1,0上的图象与 1,2上的图象有什么关系？依据什么指导？f(2)，f(0)从何处计算解析第一步： f(xy)f(x)f(y)对任意 x，yR 恒成立(赋值法 )：令 xy0， f(0)0. 令 xy0， y x，f(0)f(x)f(x) f(x)f(x)，f(x)为奇函数第二步：f(x)在 x1,0上为增函数，又f(x)为奇函数，f(x)在0,1上为增函数学海无涯8 第三步：由 f(x2)f(x)? f(x4)f(x2) ? f(x4)f(x)，(代换法 )周期T4，即 f(x)为周期函数第四步： f(x2)f(x)? f(x2)f(x)(代换

15、法 ) 又f(x)为奇函数，f(2x)f(x)，关于 x1 对称第五步：由 f(x)在0,1上为增函数，又关于x1 对称， 1,2上为减函数 (对称法 ) 第六步：由 f(x2)f(x)，令 x0 得 f(2) f(0)f(0)(赋值法) 答案回顾反思 此题用图象法更直观高考真题体验 1(2014 高考课标全国卷 )设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是() Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数解析：选 C.由题意可知 f(x)f(x)，g(x)g

16、(x)，对于选项 A，f(x) g(x)f(x)g(x)，所以 f(x)g(x)是奇函数，故 A 项错误；对于选项 B，|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故 B 项错误；对于选项C，f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以 f(x)|g(x)|是奇函数，故 C 项正确；对于选项D，|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，所以 |f(x)g(x)|是偶函数，故 D 项错误，选 C. 2(2016 高考山东卷 )已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x0 时，f(x)x31；当 1x1 时，学海无涯9 f(x)f

17、(x)；当 x12时，)21()21(xfxf.则 f(6)() A2 B1C0 D2 解析： 选 D.由题意可知，当 1x1 时，f(x)为奇函数，且当x12时，f(x1)f(x)，所以f(6)f(511)f(1)而 f(1)f(1)(1)312，所以 f(6)2.故选 D. 3(2016 高考四川卷 )已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f(x)4x，则)25(ff(1)_. 解析： 综合运用函数的奇偶性和周期性进行变换求值 f(x)为奇函数，周期为2， f(1)f(12)f(1)f(1)，f(1)0. f(x)4x，x(0,1)，)25(f)21(

18、)21()225(fff4122.)25(ff(1) 2. 答案： 2 4(2015 高考课标全国卷 )若函数 f(x)xln(xax2)为偶函数，则 a_. 解析： 由题意得 f(x)xln(xax2)f(x)xln(ax2x)，所以ax2x1ax2x，解得 a1. 答案： 1 5(2014 高考四川卷 )设 f(x)是定义在R 上的周期为2 的函数，当x1,1)时， f(x)4x22，1x0，x，0 x1，则)23(f_. 解析： 由已知易得)21(f12)21(42，又由函数的周期为2，可得)23(f)21(f1. 答案： 1 学海无涯10 课时规范训练A 组基础演练1下列函数中为偶函数

19、的是() Ayx2sin xByx2cos xCy|ln x| Dy2x解析： 选 B.因为 yx2是偶函数， ysin x 是奇函数， ycos x 是偶函数，所以 A 选项为奇函数，B 选项为偶函数； C 选项中函数图象是把对数函数yln x 的图象在 x 轴下方部分翻折到x 轴上方，其余部分的图象保持不变，故为非奇非偶函数；D 选项为指数函数 yx)21(，是非奇非偶函数2下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是() Ay2|x|Bylg(xx21) Cxxy22Dylg1x1解析： 选 D.选项 D 中函数定义域为 (1，)，不关于原点对称，故ylg1x1不是奇函数也不是偶函数，选项A

20、为偶函数，选项B 为奇函数，选项 C 为偶函数3若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则 f(3)f(4)等于() A1 B1 C2 D2 解析： 选 A.由 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数知 f(3)f(2)f(2)2，f(4)f(1)f(1)1，f(3)f(4)1，故选 A. 4已知函数 f(x)为奇函数，且当x0 时，f(x)x21x，则 f(1)() A2 B0 C1 D2 解析： 选 A.当 x0 时， f(x)x21x， f(1)12112. f(x)为奇函数，f(1)f(1)2. 5设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的函数，当

21、x2,1)时，f(x)4x22，2x0 x，0 x1，学海无涯11 则)25(f() A0 B1 C.12D1 解析： 选 D.因为 f(x)是周期为 3 的周期函数，所以)25(f)21()321(ff42)21(21，故选 D. 6函数 f(x)对于任意实数 x满足条件 f(x2)1f x，若 f(1)5，则 f(f(5)_. 解析： f(x2)1f x， f(x4)1f x2f(x)， f(5)f(1)5，f(f(5)f(5)f(3)1f 115. 答案： 157 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(2)1， 且对任意的 xR， 都有 f(x3)f(x)， 则 f(2 017)_

22、. 解析： 由 f(x3)f(x)得函数 f(x)的周期 T3，则 f(2 017)f(1)f(2)，又 f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以f(2 017)f(2)1. 答案： 1 8函数 f(x)exx(xR)可表示为奇函数h(x)与偶函数 g(x)的和，则 g(0)_. 解析： 由题意可知 h(x)g(x)exx，用x 代替 x 得 h(x)g(x)exx，因为 h(x)为奇函数， g(x)为偶函数，所以h(x)g(x)xex. 由( ) 2 得 g(x)exex2，所以 g(0)e0e021. 答案： 1 9已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当x(， 0)时， f(x) xlg(2

23、x)，求 f(x)的解析式解：设 x(0，)，x(，0)，f(x)xlg(2x)， f(x)为奇函数， f(x)f(x)，学海无涯12 f(x)xlg(2x)， f(x) xlg(2x)又当 x0 时，f(0)0，适合 f(x)xlg(2x) f(x)xlg 2xx0，xlg 2xx ，010已知函数 f(x)x2ax(x0，常数 aR)(1)讨论函数 f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数 f(x)在2， )上为增函数，求实数a 的取值范围解：(1)函数 f(x)的定义域为 x|x0 ，当 a0 时，f(x)x2(x0)，显然为偶函数；当 a0 时，f(1)1a，f(1)1a，因此 f(

24、1)f(1)，且 f(1)f(1)，所以函数 f(x)x2ax(x0)既不是奇函数，也不是偶函数(2)f(x)2xax22x3ax2，当 a0 时，f(x)0，则 f(x)在2，)上是增函数；当a0时，令 f(x)2x3ax20，解得 x32a，由 f(x)在2，)上是增函数，可知32a2，解得0a16. 综上，实数 a的取值范围是 (，16B 组能力突破1若 f(x)是定义在 R 上的函数，则“ f(0)0”是“函数 f(x)为奇函数”的() A必要不充分条件B充要条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件解析： 选 A.f(x)在 R 上为奇函数 ? f(0)0；f(0)0f(x)在 R

25、上为奇函数，如f(x)x2，故选A. 2 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)g(x)xxaa2(a0， 且 a1) 若g(2)a，则 f(2)等于() 学海无涯13 A2 B.154C.174Da2解析： 选 B. f(x)为奇函数， g(x)为偶函数， f(2)f(2)，g(2)g(2)a， f(2)g(2)a2a22， f(2)g(2)g(2)f(2)a2a22，由、联立， g(2)a2，f(2)a2a2154. 3已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4)f(x)，且在区间 0,2上是增函数，则 () Af(25)f(11)f(80) Bf(8

26、0)f(11)f(25) Cf(11)f(80)f(25) Df(25)f(80)f(11) 解析： 选 D.由函数 f(x)是奇函数且 f(x)在0,2上是增函数可以推知， f(x)在2,2上递增，又f(x4)f(x)? f(x8)f(x4)f(x)，故函数 f(x)是以 8 为周期的周期函数f(25)f(1)，f(11)f(3)f(34)f(1)，f(80)f(0)，故 f(25)f(80)f(11)4定义在 R 上的函数 f(x)，对任意 x 均有 f(x)f(x2)f(x2)且 f(2 016)2 016，则 f(2 028)_. 解析： xR，f(x)f(x2)f(x2)， f(x4

27、)f(x2)f(x)f(x2)，f(x6)f(x)，f(x12)f(x)，则函数 f(x)是以 12 为周期的函数又 f(2 016)2 016， f(2 028)f(2 02812)f(2 016)2 016. 答案： 2 016 5函数 f(x)的定义域为 D x|x0，且满足对于任意x1，x2D，有)()()(2121xfxfxxf(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果 f(4)1，f(x1)2，且 f(x)在(0， )上是增函数，求 x 的取值范围学海无涯14 解：(1)对于任意 x1，x2D，有 f(x1 x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得 f(1)2f(1)，f(1)0. (2)令 x1x21，有 f(1)f(1)f(1)，f(1)12f(1)0. 令 x11，x2x，有 f(x)f(1)f(x)， f(x)f(x)，f(x)为偶函数(3)依题设有 f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数， f(x1)2? f(|x1|)f(16)又 f(x)在(0，)上是增函数 0|x1|16，解得 15x17 且 x1. x 的取值范围是 x|15x17且 x1