2022年高中数学压轴题突破练函数与导数 .pdf

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1、学习必备欢迎下载高中数学压轴题突破练函数与导数A 组专项基础训练(时间： 35 分钟，满分：57 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分) 1 与直线 2x6y 10 垂直，且与曲线f(x)x33x21 相切的直线方程是() A3xy20 B3xy20 Cx3y20 Dx 3y2 0 答案A 解析设切点的坐标为(x0，x303x201)，则由切线与直线2x6y10 垂直，可得切线的斜率为3，又 f(x)3x26x，故 3x20 6x0 3，解得 x0 1，于是切点坐标为(1,1)，从而得切线的方程为3xy2 0. 2 设 f(x)， g(x)在 a， b上可导，且f(x)g(x)，则

2、当 axg(x) Bf(x) g(x) f(a) Df(x)g(b)g(x)f(b) 答案C 解析f(x)g (x)0，(f(x)g(x)0，f(x)g(x)在a，b上是增函数，当 axf(a) g(a)，f(x)g(a)g(x)f(a)3 三次函数f(x)mx3x 在(， )上是减函数，则m 的取值范围是() Am0 Bm1 C m 0 Dm1 答案A 解析f(x) 3mx21，依题可得m0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载4 点 P 是曲线 x2 y2lnx0 上任意一点，则点P 到直线 4x

3、4y 10 的最短距离是() A.22(1ln 2) B.22(1ln 2) C.2212ln 2D.12(1ln 2) 答案B 解析将直线 4x4y10平移后得直线l： 4x4yb0， 使直线 l 与曲线切于点P(x0，y0)，由 x2y2lnx0 得 y2x1x，直线 l 的斜率 k2x01x0 1 ? x012或 x0 1(舍去 )，P12，14ln 2 ，所求的最短距离即为点P12，14ln 2 到直线 4x4y10 的距离 d|2 14ln 2 1|4 222(1ln 2)5 函数f(x)在定义域32，3 内的图象如图所示，记f(x)的导函数为f (x)，则不等式f(x)0 的解集为

4、() A.32，121,2) B.1，1243，83C.13，1 2,3) D.32，1312，4343，3答案C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载解析不等式 f(x)0 的解集即为函数f(x)的单调递减区间， 从图象中可以看出函数f(x)在 13，1 和2,3)上是单调递减的，所以不等式f(x)0 的解集为13，1 2,3) ，答案选 C. 二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分) 6 设函数f(x)sin 3x33cos 2 x2tan ，其中 0，512，则导数f(1)的取值范围是_答案2

5、，2 解析f(x)sin x23cos x，f(1)sin 3cos 2sin 3. 0，512， 33，34，sin 322，1 .f(1)2，27已知函数f(x)xsin x，xR，则 f(4)，f(43)，f(54)的大小关系为_(用“ ”连接)答案f(43)f(4)f(54) 解析f(x)sin x xcos x，当 x54，43时， sin x0，cos x0，f(x)sin xxcos x0，则函数 f(x)在区间54，43上为减函数，54443，f(43)f(4)f(54)，又函数 f(x)为偶函数， f(43)f(4)f(54)8 把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，

6、当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为 _答案2 1 解析设圆柱高为x，底面半径为r，则 r6x2，圆柱体积V6x22x14(x312x236x)(0 x0)，f(x)x56xx2 x3x. 令 f(x)0，解得 x12，x23. 当 0 x3 时， f(x)0，故 f(x)在 (0,2)，(3， )上为增函数；当 2x3 时， f(x)0，故 f(x)在(2,3)上为减函数由此可知， f(x)在 x2 处取得极大值f(2)926ln 2， 在 x3 处取得极小值f(3) 26ln 3. 10(12 分)已知 f(x)是二次函数，不等式f(x)0 的解集是 (0,5)，且 f(x)在区

7、间 1,4上的最大值是 12. (1)求 f(x)的解析式；(2)是否存在自然数m，使得方程f(x)37x0 在区间 (m，m1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由解(1)f(x)是二次函数，且f(x)0)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载f(x)在区间 1,4上的最大值是f(1)6a. 由已知，得6a12，a2，f(x)2x(x5)2x210 x(xR)(2)方程 f(x)37x0 等价于方程2x310 x2370 设 h(x)2x310 x2 37，则 h(

8、x)6x2 20 x2x(3x10)当 x 0，103时， h(x)0，h(x)是增函数h(3)10， h1031270，方程 h(x)0 在区间3，103，103，4 内分别有唯一实数根，而在区间 (0,3)，(4，)内没有实数根，存在唯一的自然数m3，使得方程 f(x)37x0 在区间 (m，m1)内有且只有两个不等的实数根B 组专项能力提升(时间： 25 分钟，满分：43 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 15 分) 1 已知函数f(x)(xR)的图象上任一点(x0， y0)处的切线方程为yy0(x02)(x201)(xx0)，那么函数f(x)的单调减区间是() A1， ) B(，

9、 2C(， 1)，(1,2) D2， ) 答案C 解析根据函数 f(x)(xR)的图象上任一点(x0，y0)处的切线方程为yy0(x02) (x201)(xx0)，可知其导数f (x)(x2)(x21) (x 1)(x 1)(x 2)，令 f(x)0 得 x1 或 1x2.因此 f(x)的单调减区间是(， 1)，(1,2)2 给出定义：若函数f(x)在 D 上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在 D 上也可导，则称函数 f(x)在 D 上存在二阶导函数，记f(x)(f (x).若 f(x)0 在 D 上恒成立，则称精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

10、- - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载函数 f(x)在 D 上为凸函数，以下四个函数在0，2上不是凸函数的是() Af(x)sin xcos xBf(x) ln x2xCf(x) x32x1 Df(x) xex答案D 解析对于选项 A， f(x)sin xcos x，则 f(x) sin xcos x0 在 0，2上恒成立，故此函数为凸函数；对于选项B，f(x)ln x2x，则 f(x)1x20 在 0，2上恒成立，故此函数为凸函数；对于选项C，f(x) x32x1，则 f(x) 6x0 在 0，2上恒成立，故此函数不是凸函数二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分) 3 函数

11、 yx2(x0)的图象在点 (ak，a2k)处的切线与x 轴的交点的横坐标为ak1，其中 kN*.若 a116，则 a1a3a5的值是 _答案21 解析因为 y2x，所以过点 (ak，a2k)处的切线方程为ya2k 2ak(xak)又该切线与x轴的交点为 (ak1,0)，所以 ak112ak，即数列 ak是等比数列，首项 a116，其公比q12，所以 a34，a51.所以 a1a3a5 21. 4 设函数 f(x)e2x21x，g(x)e2xex，对任意x1、x2(0， )，不等式g x1kf x2k1恒成立，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

12、- -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载则正数 k 的取值范围是_答案1， ) 解析因为对任意x1、x2(0， )，不等式g x1kf x2k1恒成立，所以kk1g x1f x2max. 因为 g(x)e2xex，所以 g (x)(xe2x) e2xxe2x (1)e2x(1x)当 0 x0；当 x1 时， g(x)1 时， f(x)32(x1)；(2)当 1x3 时， f(x)1 时， g(x)1x12 x320. 又 g(1)0，所以有g(x)0，即 f(x)1 时， 2xx1，故xx212.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

13、7 页，共 9 页学习必备欢迎下载令 k(x)ln xx1，则 k(1)0，k(x)1x10，故 k(x)0，即 ln x1 时， f(x)32(x1)(2)证明方法一记 h(x)f(x)9 x1x5，由(1)得 h(x)1x12x54x522x2x54x52x54x54x52x53216x4x x52. 令 G(x)(x5)3 216x，则当 1x3 时，G(x)3(x5)22160，因此 G(x)在(1,3)内是减函数又由 G(1)0，得 G(x)0，所以 h(x)0. 因此 h(x)在(1,3)内是减函数又 h(1)0，所以 h(x)0. 于是当 1x3 时， f(x)9 x1x5. 方

14、法二记 h(x)(x5)f(x)9(x1)，则当 1x3 时，由(1)得 h(x)f(x)(x5)f (x)9 32(x 1)(x5) 1x12x9 12x3x(x1)(x5)(2x)18x 12x3x x1 x52x21218x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载14x(7x232x25)0. 因此 h(x)在(1,3)内单调递减又 h(1)0，所以 h(x)0，即 f(x)9 x1x5. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页