工程力学第9章(扭转)ppt课件.ppt

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1、 中南大学土木建筑学院力学系中南大学土木建筑学院力学系 Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University 第九章第九章 扭转扭转 9-1 9-1 引言引言 两力偶作用面之间的各横截面绕轴线相对转动。两力偶作用面之间的各横截面绕轴线相对转动。 杆件受到一对等值、反向、作用面与轴线垂直的力偶作用。杆件受到一对等值、反向、作用面与轴线垂直的力偶作用。扭转变形特点扭转变形特点扭转受力特点扭转受力特点相对扭转角相对扭转角9-2 9-2 外力偶矩与扭矩外力偶

2、矩与扭矩 一、功率、转速与外力偶矩之间的关系一、功率、转速与外力偶矩之间的关系 1.1.外力偶矩与功率、角速度关系外力偶矩与功率、角速度关系 2.2.外力偶矩与功率、转速关系外力偶矩与功率、转速关系 PM (kW)N m9549(r/min)PMn（）(PS)N m7024(r/min)PMn（）260n二、扭矩与扭矩图二、扭矩与扭矩图 ()0:xMF 0TMTM 扭矩正负规定扭矩正负规定 由右手螺旋法则确定，扭矩矢量与截面外法线一由右手螺旋法则确定，扭矩矢量与截面外法线一致者为正；反之为负。致者为正；反之为负。1.1. 扭矩扭矩T 例：例：图示传动轴，主动轮图示传动轴，主动轮B 输入的功率输

3、入的功率PB=10kW，若不计，若不计轴承摩擦所耗的功率，两个从动轮输出的功率分别为轴承摩擦所耗的功率，两个从动轮输出的功率分别为PA=4kW，PC=6kW，轴的转速，轴的转速n = 500r/min，试作轴的扭矩图。，试作轴的扭矩图。 2.2.扭矩图扭矩图 表示扭矩沿轴线方向变化的图形，横坐标表示横截表示扭矩沿轴线方向变化的图形，横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示扭矩的大小。面的位置，纵坐标表示扭矩的大小。 解：解： 计算外力偶矩计算外力偶矩 AA49549954976.4N m500PMnBB1095499549191N m500PMnCC695499549114.6N m500PMn 计

4、算轴各段的扭矩计算轴各段的扭矩 ()0:xMF 1A0TM解得：解得： 176.4N mT 2C0TM2114.6N mT 绘制扭矩图绘制扭矩图 解得：解得： ()0:xMF 2-2： 1-1： 9-3 9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律切应力互等定理与剪切胡克定律一、薄壁圆管的扭转应力一、薄壁圆管的扭转应力 1. 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、大小及相各圆周绕轴线相对转动，但其形状、大小及相邻两圆周线之间的距离不变，说明横截面上无正应邻两圆周线之间的距离不变，说明横截面上无正应力。力。 2. 2.在小变形下，各纵向线倾斜相同的小角度，但在小变形下，各纵向线倾斜相同的小角度，但仍为直线

5、，表面的矩形变为平行四边形，说明横截仍为直线，表面的矩形变为平行四边形，说明横截面上有切应力面上有切应力试验现象：试验现象： 微元体无轴向、横向正应变，但存在垂直于半径微元体无轴向、横向正应变，但存在垂直于半径方向的切应变方向的切应变 ，且圆周上所有各点的切应变相同。，且圆周上所有各点的切应变相同。所以圆周上各点在轴向、横向无正应力，在垂直于半所以圆周上各点在轴向、横向无正应力，在垂直于半径方向上有相同的切应力。径方向上有相同的切应力。222000d2TRR 202TR 由于管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚均匀分布由于管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚均匀分布 壁厚壁厚平均半径平均半径二、纯剪切与切

6、应力互等定理二、纯剪切与切应力互等定理 2. 2. 纯剪切纯剪切 微元体的四个侧面上只存在切应力而无正应力。微元体的四个侧面上只存在切应力而无正应力。 1. 1. 切应力互等定理切应力互等定理 在微元体的两个互相垂直的截面上，垂直于截面在微元体的两个互相垂直的截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向均指向或背离该交线。交线的切应力数值相等，方向均指向或背离该交线。 ()0:zMF (d )d(d )dyxxy 三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律 当切应力不超过材料的剪切当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力与切应变成比例极限时，切应力与切应变成正比。正比。 G 2(1)EG 材料的三个弹

7、性常数（弹性模材料的三个弹性常数（弹性模量、切变模量、泊松比）之间的数量、切变模量、泊松比）之间的数值关系：值关系： 剪切比例极限剪切比例极限G 为切变模量为切变模量9-4 9-4 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力 一、扭转切应力的一般公式一、扭转切应力的一般公式 1.1.变形几何关系变形几何关系 1. 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、大小及相各圆周绕轴线相对转动，但其形状、大小及相邻两圆周线之间的距离不变，说明横截面上无正应邻两圆周线之间的距离不变，说明横截面上无正应力。力。 2. 2.在小变形下，各纵向线倾斜相同的小角度，但在小变形下，各纵向线倾斜相同的小角度，但仍为直

8、线，表面的矩形变为平行四边形，说明横截仍为直线，表面的矩形变为平行四边形，说明横截面上有切应力面上有切应力 试验现象试验现象 变形规律变形规律 tan ddx ddx ddad 平面假设平面假设 圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍为圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍为平面，且其形状、大小不变，半径仍为直线，两相邻平面，且其形状、大小不变，半径仍为直线，两相邻截面间的距离不变。截面间的距离不变。（圆轴扭转时各横截面像刚性平（圆轴扭转时各横截面像刚性平面一样绕轴线转动。）面一样绕轴线转动。）距轴线为距轴线为 处的切应变与处的切应变与 成正比成正比2.2.物理关系物理关系 G ddGx

9、ddx ddx 未知，与内力、材料、截面有关。未知，与内力、材料、截面有关。P时：时：切应力分布规律图切应力分布规律图实心圆轴实心圆轴空心圆轴空心圆轴 与与 成正比成正比3.3.静力关系静力关系 AdTA 2PAdIA PddTxGI AdddGAx 2AdddGAx 令令抗扭刚度：截面抵抗抗扭刚度：截面抵抗扭转变形的能力扭转变形的能力极惯性矩极惯性矩扭转切应力的一般公式扭转切应力的一般公式 PTI PddTxGI ddGx 二、最大扭转切应力二、最大扭转切应力 PPPmaxIIWR maxPTW maxmaxPTI 抗扭截面系数抗扭截面系数同一截面上最大切应力同一截面上最大切应力发生在周边各

10、点处。发生在周边各点处。仅适用于线弹性范仅适用于线弹性范围内的等直圆轴围内的等直圆轴9-5 9-5 极惯性矩与抗扭截面系数的计算极惯性矩与抗扭截面系数的计算 一、实心圆截面一、实心圆截面 2PAdIA 3PP162IdWd 220(2d )d 432d 二、空心圆截面二、空心圆截面 4444()(1)3232DdD34PP(1)162IDWD 222(2d )Dd 2PAdIA dD三、薄壁圆截面三、薄壁圆截面 20AdRA 2P02WR 2PAdIA 302 R 极惯性矩与面积对于点的分布有什么关系？极惯性矩与面积对于点的分布有什么关系？相同面积的实心圆与空心圆哪个对于圆心的极惯性矩相同面积

11、的实心圆与空心圆哪个对于圆心的极惯性矩大？大？一、扭转失效与扭转极限应力一、扭转失效与扭转极限应力 1. 1. 塑性材料的扭转失效塑性材料的扭转失效 横截面上的最大切应横截面上的最大切应力即力即扭转屈服应力扭转屈服应力为扭转为扭转极限应力。极限应力。 断口材料呈片状，剪断口材料呈片状，剪切破坏切破坏 断口横截面，最大切断口横截面，最大切应力引起剪切破坏应力引起剪切破坏 低碳钢抗剪能力低碳钢抗剪能力比抗拉能力差比抗拉能力差9-6 9-6 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件 2. 2. 脆性材料的扭转失效脆性材料的扭转失效 横截面上的最大切应力即横截面上的最大切应力即扭转强度极限扭转强度

12、极限为扭转为扭转极限应力。极限应力。 断口断口45o的螺旋面，最大的螺旋面，最大拉应力引起的脆性断裂拉应力引起的脆性断裂断口材料呈颗粒状，脆断口材料呈颗粒状，脆性断裂破坏性断裂破坏 铸铁抗拉能力比铸铁抗拉能力比抗剪能力差抗剪能力差 Un许用扭转切应力许用扭转切应力二、圆轴的扭转强度条件二、圆轴的扭转强度条件 maxmaxP()TW 三、圆轴合理截面与减缓应力集中三、圆轴合理截面与减缓应力集中 1. 1.设计轴截面宜将材料远离圆心，平均半径越设计轴截面宜将材料远离圆心，平均半径越大，壁厚越小，切应力分布越均匀，材料的利用率大，壁厚越小，切应力分布越均匀，材料的利用率越高。越高。 2. 2.设计时

13、尽量减少截面尺寸的急剧改变，以减设计时尽量减少截面尺寸的急剧改变，以减缓应力集中。缓应力集中。 对于等直圆轴：对于等直圆轴： maxmaxPTW 根据扭转强度条件可进行三类强度问题计算：根据扭转强度条件可进行三类强度问题计算：强度校核强度校核截面设计截面设计许可载荷确定许可载荷确定 例：例：图示阶梯形空心圆截面轴，在横截面图示阶梯形空心圆截面轴，在横截面A、B、C处承受处承受扭力偶作用，已知扭力偶作用，已知MA=150Nm，MB=50Nm，MC=100Nm，许，许用切应力用切应力 = 90MPa。试校核轴的强度。试校核轴的强度。 解：解： AB与与BC段的扭矩分别为段的扭矩分别为 AB150N

14、 mTBC100N mT ABmaxAB34PAB16 15080.8MPa0.0180.0241()0.024TW BCmaxBC34PBC16 10086.7MPa0.0180.0221()0.022TW 所以轴满足强度条件。所以轴满足强度条件。 AB与与BC段进行强度校核段进行强度校核 例：例：某传动轴，轴内的最大扭矩某传动轴，轴内的最大扭矩T = 1.5kNm ，若，若许用切应力许用切应力 = 90MPa。试按下列两种方案确定轴的横试按下列两种方案确定轴的横截面尺寸，并比较其重量。实心圆截面。实心圆截截面尺寸，并比较其重量。实心圆截面。实心圆截面，其内外径的比值面，其内外径的比值d /

15、D = 0.9。 解：解： 计算实心轴直径计算实心轴直径 max3P16TTWd 33361616 1.5 1053.5mm50 10Td 计算空心轴外径计算空心轴外径 max34P16(1)TTWD 3334461616 1.5 1076.3mm(1)(10.9 ) 50 10TD空心轴内径空心轴内径 0.90.9 76.368.7mmdD 确定空心轴与实心轴的重量比确定空心轴与实心轴的重量比 22276.368.70.38553.5WW 空空心心实实心心 max34P016(1)TTWd 空心轴比实心轴省材。空心轴比实心轴省材。9-7 9-7 圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件

16、一、圆轴扭转变形一、圆轴扭转变形 1.1.相距相距dx的两截面间的相对扭转角的两截面间的相对扭转角 PddTxGI 2.2.相距相距 l 两截面的相对扭转角两截面的相对扭转角 PdlTxGI 3. 3.扭矩、切变模量为常数的等直圆轴相距扭矩、切变模量为常数的等直圆轴相距l l 的两的两截面的相对扭转角截面的相对扭转角 PTlGI Pi iiTlGI 阶梯轴：阶梯轴：二、圆轴扭转刚度条件二、圆轴扭转刚度条件 maxmaxmaxPd()()dTxGI 单位扭转角单位扭转角（为相距单位长度（为相距单位长度1 1的两截面的相对扭转角）的两截面的相对扭转角）许可单位扭转角许可单位扭转角 maxmaxma

17、xPd180180()()dTxGI （rad/m）/m根据扭转刚度条件可进行三类刚度问题计算：根据扭转刚度条件可进行三类刚度问题计算：刚度校核刚度校核截面设计截面设计许可载荷确定许可载荷确定 例：例：图示圆截面轴图示圆截面轴AC ，承受扭力偶矩，承受扭力偶矩MA、MB、MC作用作用。已知。已知MA = 180Nm，MB = 320Nm，MC = 140Nm ，IP = 3.0105mm4，l = 2m，G = 80GPa， = 0.5o/m。试计算该轴。试计算该轴的总扭转角的总扭转角AC AC ，并校核轴的刚度。，并校核轴的刚度。 解：解： 计算轴的总扭转角计算轴的总扭转角 AB180N m

18、TBC140N mT 2ABAB9512P180 21.50 10 rad80 103.0 1010TlGI 2BCBC9512P( 140) 21.17 10 rad80 103.0 1010T lGI 222ACABBC1.50 10( 1.17 10 )0.33 10 rad 校核轴的刚度校核轴的刚度 omaxABmax9512PP180 1800.43 /m80 103.0 1010TTGIGI 所以轴的刚度满足要求。所以轴的刚度满足要求。 例：例：两端固定的等截面圆杆两端固定的等截面圆杆AB，在截面，在截面C 受一扭转力受一扭转力偶矩偶矩M作用。已知杆的抗扭刚度为作用。已知杆的抗扭刚

19、度为GIP，试求两端的约束，试求两端的约束力偶矩。力偶矩。 解：解：以圆杆以圆杆AB为研究对象，建立平衡方程为研究对象，建立平衡方程 0:xM AB0MMM由变形几何关系得变形协调方程由变形几何关系得变形协调方程 ABACCB0AC ACAACPPTlM aGIGI由扭转胡克定律可得由扭转胡克定律可得 CB CBBCBPPT lM bGIGI ABPP0M aM bGIGI由解得：由解得： AMbMab BMaMab AC ACAACPPTlM aGIGI ABACCB0 例：例：传动轴转速传动轴转速n = 300r/min，主动轮，主动轮A输入的功率输入的功率PA = 36.7kW。从动轮。

20、从动轮B、C、D输出功率分别为输出功率分别为PB=14.7kW，PC = PD = 11kW。轴的材料为。轴的材料为5号钢，号钢，G = 80GPa， = 40MPa ， = 2o/m 。试选择。试选择BD的直径。的直径。 解：解： 计算外力偶矩计算外力偶矩 AA36.7954995491.168kN m300PMnBB14.7954995490.468kN m300PMnDCD11954995490.35kN m300PMMn 计算计算BD的直径的直径 按强度条件设计轴的直径按强度条件设计轴的直径 作扭矩图确定最大扭矩作扭矩图确定最大扭矩 BA468N mTAC700N mT CD350N

21、mT max700N mT maxmaxmax3P16TTWd maxmaxmax3P16TTWd 2max3361616 7004.47 10 m40 10Td 按刚度条件设计轴的直径按刚度条件设计轴的直径 maxmaxmax4P32TTGIG d 2max4493232 700 1804.00 10 m80 102TdG 所以所以BD的直径的直径 24.4710md 按强度条件设计轴的直径按强度条件设计轴的直径 9-6 9-6 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件 一、扭转失效与扭转极限应力一、扭转失效与扭转极限应力 1.1.塑性材料的扭转失效塑性材料的扭转失效 2.2.脆性材料的扭转失效脆性材料的扭转失效 横截面上的最大切应横截面上的最大切应力即力即扭转屈服应力扭转屈服应力为扭转为扭转极限应力。极限应力。 横截面上的最大切应横截面上的最大切应力即力即扭转强度极限扭转强度极限为扭转为扭转极限应力。极限应力。 Un许用扭转切应力许用扭转切应力