2022年高中数学人教版选修1-2课时提升作业2.2.2反证法探究导学课型含答案 .pdf

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1、温馨提示：此套题为Word版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word文档返回原板块。课时提升作业( 七) 反证法(25 分钟60 分) 一、选择题 ( 每小题 5 分，共 25 分 ) 1.(2014 山东高考 ) 用反证法证明命题： “已知 a，b为实数，则方程x2+ax+b=0 至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A.方程 x2+ax+b=0 没有实根B.方程 x2+ax+b=0 至多有一个实根C.方程 x2+ax+b=0 至多有两个实根D.方程 x2+ax+b=0 恰好有两个实根【解析】选A.“方程 x2+ax+b=0 至少有一个实根”的反面

2、是“方程x2+ax+b=0 没有实根 . ”【补偿训练】 (2015 海口高二检测 ) 用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60时，应假设( ) A.三个内角都不大于60B.三个内角都大于60C.三个内角至多有一个大于60D.三个内角至多有两个大于60【解析】选B.三个内角至少有一个不大于60，即有一个、两个或三个不大于60，其反设为都大于60，故 B正确 . 2. 命题“关于x 的方程 ax=b(a 0) 的解是唯一的”的结论的否定是( ) A.无解B.两解C.至少两解D.无解或至少两解【解析】选D.“解是唯一的”的否定是“无解或至少两解”. 3. 实数 a，b，c 满足 a+2

3、b+c=2，则 ( ) A.a，b，c 都是正数B.a，b，c 都大于 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页C.a，b，c 都小于 2 D.a，b，c 中至少有一个不小于【解析】 选 D.假设 a，b，c 均小于，则 a+2b+c+1+=2，与已知矛盾，故假设不成立，所以 a， b，c 中至少有一个不小于. 4. 已知 a，b 是异面直线，直线c 平行于直线a，那么 c 与 b 的位置关系为( ) A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线【解析】选C.假设 cb，而由 ca，可得

4、 ab，这与 a，b 异面矛盾，故c 与 b 不可能是平行直线 . 5.(2015 杭州高二检测) 设 a，b，c 大于 0，则 3 个数： a+，b+ ，c+的值 ( ) A.都大于 2 B.至少有一个不大于2 C.都小于 2 D.至少有一个不小于2 【解题指南】由基本不等式知三个数的和不小于6，可以判断三个数至少有一个不小于2，所以可假设这三个数都小于2 来推出矛盾 . 【解析】选D.假设 a+ ，b+ ，c+都小于 2，即 a+2，b+ 2，c+2，所以+0， b0，c0，所以+=+2+2+2=6. 这与假设矛盾，所以假设不成立.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

5、总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页二、填空题 ( 每小题 5 分，共 15 分 ) 6.(2015 西 安 高 二 检 测 ) “ 任 何 三 角 形 的 外 角 都 至 少 有 两 个 钝 角 ” 的 否 定是. 【解析】该命题的否定有两部分，一是任何三角形，二是至少有两个，其否定应为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”. 答案： “存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”【延伸探究】命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是. 【解析】“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角. 答案： “三角形中最少有两个内角是直角”7.(2015

6、广州高二检测) 用反证法证明命题： “已知 a，bN+，如果 ab 可被 5 整除， 那么 a，b 中至少有一个能被5 整除”时，假设的内容应为. 【解析】 由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证 . 命题“ a，bN+，如果 ab 可被 5 整除，那么a，b 中至少有1 个能被 5 整除”的否定是“a，b 都不能被5 整除” . 答案： a，b 都不能被5 整除8.(2015 郑州高二检测) 对于定义在实数集R上的函数f(x) ， 如果存在实数x0， 使 f(x0)=x0，那么 x0叫做函数f(x) 的一个好点 . 已知函数f(x)=x2+2ax+1

7、 不存在好点，那么a 的取值范围是. 【解析】假设f(x)=x2+2ax+1 存在好点，亦即方程f(x)=x有实数根，所以x2+(2a-1)x+1=0有实数根，则=(2a-1)2-4=4a2-4a-3 0，解得 a -或 a，故当 f(x) 不存在好点时，a 的取值范围是-a1，证明： f(m) ，f(n) 至少有一个不小于零. (2) 若 a，b 为不相等的正实数且满足f(a)=f(b)，求证 a+b. 【证明】 (1) 假设 f(m)0 且 f(n)0 ，即 m3-m20，n3-n20 ，n0，所以 m-10，n-10 ，所以 0m1 ，0n1，所以 mn1 矛盾，精选学习资料 - - -

8、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页所以假设不成立，即f(m) ，f(n) 至少有一个不小于零. (2) 由 f(a)=f(b)得 a3-a2=b3-b2，所以 a3-b3=a2-b2，所以 (a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)(a+b)，因为 a b，所以 a2+ab+b2=a+b，所以 (a+b)2-(a+b)=ab，所以(a+b)2-(a+b)0 ，所以 a+b. (20 分钟40 分) 一、选择题 ( 每小题 5 分，共 10 分 ) 1.(2015 济南高二检测)(1) 已知 p3+q3=2，求证 p+q2. 用反证法证明时，

9、可假设p+q2. (2) 已知 a，bR，|a|+|b|2；(2) 的假设正确 . 2.(2015 衡水高二检测) 设 a，b， c 是正数， P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，则“ PQR0 ”是“P，Q，R同时大于零”的( ) A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.必要性显然，充分性：若PQR0 ，则 P，Q，R同时大于零或其中两个为负，不妨设 P0，Q0 ，因为 P0，Q0，即 a+bc，b+ca，所以 a+b+b+cc+a，即 b0 矛盾，所以P，Q，R同时大于零 . 【补偿训练】若ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么

10、这个三角形的形状精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页是( ) A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定【解析】选B.分 ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD(点 D在 BC上) ，则ADB+ ADC= ，若 ADB为钝角，则 ADC为锐角 . 而 ADC BAD ，ADC ABD ，ABD与 ACD不可能相似， 与已知不符， 只有当 ADB= ADC= BAC=时，才符合题意 .二、填空题 ( 每小题 5 分，共 10 分 ) 3. 用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设. 设全体质数为

11、p1，p2， pn，令 p=p1p2pn+1. 显然， p 不含因数p1，p2， pn. 故 p 要么是质数，要么含有的质因数 . 这表明，除质数 p1，p2， pn之外，还有质数，因此原假设不成立. 于是，质数有无限多个. 【解析】 由反证法的步骤可得. 应假设质数只有有限多个，故 p 要么是质数， 要么含有除p1，p2， pn之外的质因数. 答案：质数只有有限多个除 p1， p2， pn之外4.(2015 石家庄高二检测) 设 a，b 是两个实数，给出下列条件：a+b=1； a+b=2； a+b2； a2+b22. 其中能推出“ a，b 中至少有一个大于1”的条件是( 填序号 ). 【解题

12、指南】可采用特殊值法或反证法逐一验证. 【解析】若a=，b=，则 a+b=1，但 a1，b2，故不能推出. 对于，即a+b2，则 a， b 中至少有一个大于1. 反证法：假设a1 且 b1，则 a+b2 与 a+b2 矛盾，因此假设不成立，故a，b 中至少有一个大于1. 答案：三、解答题 ( 每小题 10 分，共 20 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页5.(2015 宜昌高二检测) 已知函数f(x)=，如果数列 an 满足 a1=4，an+1=f(an) ，求证：当 n2 时，恒有 an3 成立 . 【证明】

13、假设an 3(n 2) ，则由已知得an+1=f(an)=，所以当 n2 时，=0，所以当n 2 时， an+12 时， anan-1a2；而当 n=2 时， a2=3，所以当 n2 时， an3；这与假设矛盾，故假设不成立，所以当 n2 时，恒有 an3 成立 . 【一题多解】由an+1=f(an) 得 an+1=，所以=-+=-2+，所以 an+10 或 an+12. (1) 若 an+10，则 an+103，所以结论“当n2 时，恒有an3”成立 . (2) 若 an+12，则当 n2 时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7

14、页，共 9 页有 an+1-an=-an=0，所以 an+1an，即数列 an 在 n2 时单调递减 . 由 a2=3，可知 ana23，在 n2 时成立 . 综上，由 (1) 、(2) 知：当 n2 时，恒有an3 成立 . 6. 先解答 (1) ，再通过类比解答(2) ：(1) 求证： tan=；用反证法证明：函数f(x)=tanx的最小正周期是. (2) 设 xR，a为正常数， 且 f(x+a)=，试问：f(x) 是周期函数吗？证明你的结论. 【解题指南】 本题考查的知识点是类比推理，在由正切函数的周期性类比推理抽象函数的周期性时，我们常用的思路是：由正切函数的周期性，类比推理抽象函数的

15、周期性；由正切函数的周期性的证明方法，类比推理抽象函数的周期性的证明方法. 【解析】 (1) tan=. 假设T 是函数f(x)=tanx的一个周期，且0T，则对任意x+k， kZ，有tan(x+T)=tanx，令 x=0 得tanT=0 ，而当 0T时， tanT 0 恒成立或无意义，矛盾，所以假设不成立，原命题成立. (2) 由(1) 可类比出函数f(x)是周期函数，它的最小正周期是4a. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页因为 f(x+2a)=f(x+a+a)=-，所以 f(x+4a)=f=-=-=f(x). 【拓展延伸】类比推理中的反证法(1) 类比推理的一般步骤是：找出两类事物之间的相似性或一致性. 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题( 猜想 ). (2) 在进行类比推理时，一定要注意对结论进行进一步的论证，如果要证明一个结论是正确的，要经过严密的论证，但要证明一个结论是错误的，只需要举出一个反例. 关闭 Word 文档返回原板块精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页