2022年高考真题——理科数学含解析 .pdf

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1、试题类型： A普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试题卷共5 页， 24 题（含选考题） 。全卷满分150 分。考试用时120 分钟。注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用

2、2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . （1）设集合2|430Ax xx，|230Bxx，则AB（A）3( 3,)2（B）3( 3,)2（C）3(1,)2（D）3(,3)2【答案】 D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页考点：集合运算（2）设(1i)1ixy，其中 x，y是实数，则i =xy（A）1 （B）2（

3、C）3（D）2 【答案】 B 【解析】试题分析：因为(1) =1+,i xyi所以=1+ ,=1,1,|=|1+ |2,xxiyixyxxyii所以故故选 B. 考点：复数运算（3）已知等差数列na前 9 项的和为 27，10=8a，则100=a（A）100 （B）99 （C）98 （D）97 【答案】 C 【解析】试题分析： 由已知，1193627,98adad所以110011,1,9919998,adaad故选 C. 考点：等差数列及其运算（4）某公司的班车在7:30，8:00，8:30 发车，小明在7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不

4、超过10 分钟的概率是（ A）13（B）12（C）23（ D）34【答案】 B 考点：几何概型（5）已知方程x2m2+ny23m2 n=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则 n 的取值范围是（ A）( 1,3) （B） ( 1,3) （C）(0,3) （D）(0,3) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页【答案】 A 【解析】由题意知：双曲线的焦点在x轴上，所以2234mnmn，解得：21m，因为方程22113xynn表示双曲线，所以1030nn，解得13nn，所以n的取值范围是1,3，故选 A考点：双曲

5、线的性质（6）如图， 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是283，则它的表面积是（ A）17 （B）18 （C）20 （D） 28 【答案】 A 【解析】试题分析： 由三视图知： 该几何体是78个球，设球的半径为R， 则37 42 8VR833，解得R2，所以它的表面积是22734221784，故选 A考点：三视图及球的表面积与体积（7）函数 y=2x2 e| x|在 2,2的图像大致为（ A）（B）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页（ C）（D）【答案】 D 考点：函

6、数图像与性质（8）若101abc，则（A）ccab（B）ccabba（C）loglogbaacbc（D）loglogabcc【答案】 C 考点：指数函数与对数函数的性质（9）执行右面的程序框图，如果输入的011xyn，则输出x，y 的值满足（A）2yx（B）3yx（C）4yx（D）5yx【答案】 C 【解析】试 题 分 析 ： 当0,1,1xyn时 ，110,1 112xy， 不 满 足2236xy；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页2112,0,2 1222nxy，不满足2236xy；13133,236222nx

7、y，满足2236xy；输出3,62xy，则输出的,x y的值满足4yx，故选 C. 考点：程序框图与算法案例（10） 以抛物线 C的顶点为圆心的圆交C于 A， B两点， 交 C的准线于 D， E两点 .已知 | AB|=4 2，| DE|=2 5，则 C的焦点到准线的距离为（A）2 （B） 4 （C）6 （D） 8 【答案】 B 【解析】试题分析：如图，设抛物线方程为22ypx，圆的半径为r,AB DE交x轴于,C F点，则2 2AC，即A点纵坐标为2 2，则A点横坐标为4p，即4OCp，由勾股定理知2222DFOFDOr，2222ACOCAOr，即22224( 5)()(2 2)()2pp，

8、解得4p，即C的焦点到准线的距离为4，故选 B. 考点：抛物线的性质（11）平面过正方体ABCD- A1B1C1D1的顶点 A，/ 平面 CB1D1， I平面 ABCD =m， I平面 ABB1 A1=n，则 m，n 所成角的正弦值为（A）32（B）22（C）33（D）13【答案】 A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角（ 12 ） 已 知 函 数( )sin()(0),24f xx+x，为( )f x的 零 点 ，4x为( )yf x图像的对称轴，且( )

9、f x在 5()18 36，单调，则的最大值为（A）11 （B）9 （C）7 （D）5 【答案】 B 考点：三角函数的性质第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页(22)(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分. （13）设向量 a=(m,1)，b=(1,2)，且 | a+b|2=| a|2+| b|2，则 m= . 【答案】2【解析】试题分析：由222|abab，得ab，所以1 1

10、20m，解得2m. 考点：向量的数量积及坐标运算（14）5(2)xx的展开式中， x3的系数是.（用数字填写答案）【答案】10【解析】试题分析：5(2)xx的展开式的通项为555255C (2 )()2Crrrrrrxxx(0r，1，2，5)，令532r得4r，所以3x的系数是452C10. 考点 :二项式定理（15）设等比数列na满足 a1+a3=10，a2+a4=5，则 a1a2鬃 ?an的最大值为. 【答案】64考点：等比数列及其应用（16）某高科技企业生产产品A和产品 B需要甲、 乙两种新型材料 .生产一件产品A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品

11、B需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时，生产一件产品A 的利润为 2100 元，生产一件产品B的利润为 900 元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过600 个工时的条件下，生产产品A、产品 B的利润之和的最大值为元. 【答案】216000【解析】试题分析：设生产产品A、产品 B分别为x、y件，利润之和为z元，那么由题意得约束条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页1.50.5150,0.390,53600,0,0.xyxyxyxy,目标函数2100900zxy.

12、约束条件等价于3300,103900,53600,0,0.xyxyxyxy?,作出二元一次不等式组表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示. 将2100900zxy变 形 ， 得7390 0zyx， 作 直 线 ：73yx并 平 移 ， 当 直 线73900zyx经过点M时，z取得最大值 . 解方程组10390053600 xyxy，得M的坐标为(60,100). 所以当60 x，100y时，max2100 60900 100216000z. 故生产产品A、产品 B 的利润之和的最大值为216000元. 考点：线性规划的应用三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） （

13、本小题满分12 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页ABC的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知2cos( coscos ).C aB+bAc（I）求 C；（II）若7,cABC的面积为3 32，求ABC的周长【答案】（I）C3（II）57【解析】试题解析：（I）由已知及正弦定理得，2cosC sincossincossinC，2cosCsinsinC故2sin Ccos Csin C可得1cosC2，所以C3考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式（18） （本小题满分12 分）如图，在以 A， B，

14、 C， D， E， F为顶点的五面体中， 面 ABEF为正方形， AF=2FD，90AFD，且二面角D- AF- E与二面角C- BE- F都是60精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页（I）证明：平面ABEF平面 EFDC ；（II）求二面角E- BC- A 的余弦值【答案】（I）见解析（ II）2 1919【解析】试题分析： （I）证明F平面FDC，结合F平面F，可得平面F平面FDC （II）建立空间坐标系，利用向量求解. 试题解析：（I）由已知可得FDF，FF，所以F平面FDC又F平面F，故平面F平面FDC（II

15、）过D作DGF，垂足为G，由（ I）知DG平面F以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向，GF为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz由（ I）知DF为二面角DF的平面角，故DF60，则DF2，DG3，可得1,4,0，3,4,0，3,0,0，D 0,0,3学科 & 网精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页考点：垂直问题的证明及空间向量的应用（19） （本小题满分12 分）某公司计划购买2 台机器， 该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时， 可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器

16、使用期间，如果备件不足再购买， 则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数 . （I）求X的分布列；（II）若要求()0.5P Xn，确定n的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在1

17、9n与20n之中选其一，应选用哪个？【答案】（I）见解析（ II）19（III）19n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页考点：概率与统计、随机变量的分布列（20） （本小题满分12 分）设圆222150 xyx的圆心为A，直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C，D 两点，过B作 AC的平行线交AD 于点 E. （I）证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点 E的轨迹为曲线C1，直线 l 交 C1于 M,N 两点，过B 且与 l 垂直的直线与圆A交于 P,Q 两点，求四

18、边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】（）13422yx（0y） （ II）)38 ,12【解析】试题分析：利用椭圆定义求方程；（ II）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。试题解析：（）因为|ACAD，ACEB/，故ADCACDEBD，所以|EDEB，故|ADEDEAEBEA. 又圆A的标准方程为16) 1(22yx，从而4| AD，所以4|EBEA. 由题设得)0, 1(A，)0 , 1 (B，2| AB，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：13422yx（0y） . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页考

19、点：圆锥曲线综合问题（21） （本小题满分12 分）已知函数有两个零点 . （I）求 a 的取值范围；（II）设 x1，x2是的两个零点，证明：+x22. 【答案】 (I)(0,)（II）见解析【解析】试题分析： (I)求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）； (II)借组 (I)的结论来证明，由单调性可知122xx等价于12()(2)f xfx，即2(2)0fx设2( )(2)xxg xxexe， 则2()(1)()xxg xxee 则 当1x时 ，()0g x， 而(1)0g，故当1x时，( )0g x从而22()(2)0g xfx，故122xx精选学习资料 - - -

20、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页试题解析：（）( )(1)2 (1)(1)(2 )xxfxxea xxea（i）设0a，则( )(2)xf xxe，( )f x只有一个零点学科&网（ii）设0a，则当(,1)x时，( )0fx；当(1 ,)x时，( )0fx所以( )f x在(,1)单调递减，在(1,)单调递增又(1)fe，(2)fa，取b满足0b且ln2ab，则223( )(2)(1)()022af bba ba bb，故( )f x存在两个零点考点：导数及其应用请考生在第（22） 、 （23） 、 （24）题中任选一题作答,如果多

21、做 ,则按所做的第一题计分。（22） （本小题满分10 分）选修4- 1：几何证明选讲精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页如图， OAB是等腰三角形，AOB=120 .以 O 为圆心，OA 为半径作圆 . （I）证明：直线AB 与O 相切；（II）点 C,D 在O 上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明：ABCD. 【答案】 (I)见解析 (II)见解析考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明（23） （本小题满分10 分）选修4- 4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为（t 为参数， a

22、0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2： =4cos . （I）说明 C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线 C3的极坐标方程为=0，其中 0满足 tan 0=2，若曲线C1与 C2的公共精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页点都在 C3上，求 a. 【答案】（I）圆，222sin10a（ II）1 考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用（24） （本小题满分10 分）选修4- 5：不等式选讲已知函数f(x)= x+1 -2x- 3 . （I）在答题卡第（24）题图中画出y= f(x)的图像；（II）求不等式 f(x) 1 的解集 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页【答案】（I）见解析（ II）11353，考点：分段函数的图像，绝对值不等式的解法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页