2022年数学《函数的对称性与周期性》教案 .pdf

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1、学习必备欢迎下载1函数对称性与周期性知识归纳：一函数自身的对称性结论结论 1. 函数y = f (x) 的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a x) = 2b证明： （必要性）设点P(x ,y) 是 y = f (x) 图像上任一点，点P( x ,y) 关于点 A (a ,b) 的对称点 P（2ax，2by）也在 y = f (x) 图像上， 2by = f (2a x) 即 y + f (2a x)=2b 故 f (x) + f (2a x) = 2b，必要性得证。（充分性）设点P(x0,y0)是 y = f (x) 图像上任一点，则y0 = f (x0) f

2、 (x) + f (2a x) =2bf (x0) + f (2ax0) =2b，即 2b y0 = f (2ax0) 。故点 P（2ax0，2by0）也在 y = f (x) 图像上，而点P与点 P关于点 A (a ,b)对称，充分性得征。推论： 函数y = f (x) 的图像关于原点O 对称的充要条件是f (x) + f ( x) = 0 结论 2. 若函数y = f (x) 满足 f (a +x) = f (bx)那么函数本身的图像关于直线x = 2ab对称，反之亦然。证明：已知对于任意的00,xy都有 f(a+0 x) =f(b 0 x)=0y令 a+0 x=x, b0 x=x则（x，

3、0y） ，（x，0y）是函数y=f(x) 上的点显然，两点是关于x= 2ab对称的。反之，若已知函数关于直线x = 2ab对称，在函数 y = f (x) 上任取一点（00,xy）那么P（00,xy）关于 x = 2ab对称点P（a+ b0 x,0y）也在函数上故 f(0 x)=f(a+ b 0 x)f(a+(0 x-a)=f(b-(0 x-a) 所以有 f (a +x) = f (b x)成立。推论 1： 函数y = f (x) 的图像关于直线x = a 对称的充要条件是f (a +x) = f (a x) 即 f (x) = f (2ax) 精选学习资料 - - - - - - - - -

4、 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载推论 2：函数y = f (x) 的图像关于y 轴对称的充要条件是f (x) = f ( x) 结论 3. 若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点 B (b ,c)成中心对称（ab） ， 则 y = f (x)是周期函数，且2| ab|是其一个周期。若函数 y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线 x = b 成轴对称 （ab） ， 则 y = f (x)是周期函数，且2| ab|是其一个周期。若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b 成

5、轴对称（ab） ，则 y = f (x) 是周期函数，且4| ab|是其一个周期。的证明留给读者，以下给出的证明：函数 y = f (x) 图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，f (x) + f (2a x) =2c，用 2bx 代 x 得：f (2b x) + f 2a (2bx) =2c （* ）又函数y = f (x) 图像直线x =b 成轴对称， f (2b x) = f (x) 代入（ *）得：f (x) = 2c f 2(ab) + x （* ） ，用 2（ab） x 代 x 得f 2 (ab)+ x = 2c f 4(a b) + x 代入（ * ）得：f (x) = f

6、4(a b) + x, 故 y = f (x) 是周期函数，且4| ab|是其一个周期。二 不同函数的对称性结论结论 4. 函数 y = f (x) 与 y = 2bf (2ax)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。结论 5. 函数 y = f (x) 与 y = f (2a x)的图像关于直线x = a 成轴对称。函数 y = f (x) 与 ax = f (ay)的图像关于直线x +y = a 成轴对称。函数 y = f (x) 与 xa = f (y + a)的图像关于直线xy = a 成轴对称。定理 4 与定理 5 中的证明留给读者，现证定理5 中的设点 P(x0 ,y0)是 y

7、= f (x) 图像上任一点， 则 y0 = f (x0)。 记点 P( x ,y)关于直线xy = a的轴对称点为P（x1， y1） ，则 x1 = a + y0 , y1 = x0a ，x0 = a + y1 , y0= x1a 代入 y0 = f (x0)之中得 x1 a = f (a + y1) 点 P（x1， y1）在函数xa = f (y + a) 的图像上。同理可证： 函数 xa = f (y + a) 的图像上任一点关于直线xy = a 的轴对称点也在函数y = f (x) 的图像上。故定理5 中的成立。推论： 函数 y = f (x) 的图像与x = f (y) 的图像关于直

8、线x = y 成轴对称。三三角函数图像的对称性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载函数对称中心坐标对称轴方程y = sin x ( k , 0 )x = k + /2y = cos x ( k + /2 ,0 )x = ky = tan x (k /2 ,0 )无注：上表中kZ 举例例 1：定义在 R 上的非常数函数满足：f (10+x) 为偶函数，且f (5x) = f (5+x), 则 f (x) 一定是（）(A) 是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数(D

9、) 是奇函数，但不是周期函数解： f (10+x) 为偶函数， f (10+x) = f (10 x). f (x) 有两条对称轴x = 5 与 x =10 ，因此 f (x) 是以 10 为其一个周期的周期函数，x =0 即 y 轴也是 f (x) 的对称轴，因此f (x) 还是一个偶函数。故选 (A) 例 2：设定义域为R 的函数 y = f (x) 、y = g(x) 都有反函数， 并且 f(x1)和 g-1(x2)函数的图像关于直线y = x 对称，若g(5) = 1999，那么 f(4)=（ ）。（A）1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。解： y = f(

10、x 1)和 y = g-1(x2)函数的图像关于直线y = x 对称，y = g-1(x2) 反函数是 y = f(x 1)， 而 y = g-1(x2)的反函数是 :y = 2 + g(x), f(x 1) = 2 + g(x), 有 f(5 1) = 2 + g(5)=2001 故 f(4) = 2001, 应选（ C）例 3.设 f(x) 是定义在 R 上的偶函数， 且 f(1+x)= f(1 x),当 1x0 时， f (x) = 21x， 则 f (8.6 ) = _ 解： f(x)是定义在R 上的偶函数x = 0 是 y = f(x) 对称轴；又 f(1+x)= f(1 x) x

11、= 1 也是 y = f (x) 对称轴。故y = f(x) 是以 2 为周期的周期函数， f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (0.6 ) = 0.3 例 4.函数y = sin (2x + 25)的图像的一条对称轴的方程是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载(A) x = 2(B) x = 4 (C) x = 8(D) x =45解：函数y = sin (2x + 25)的图像的所有对称轴的方程是2x + 25= k+2x = 2k,显然取 k = 1 时的

12、对称轴方程是x = 2故选 (A) 例 5求证 :若fxxR为奇函数，则方程fx=0 若有根一定为奇数个。证:fx为奇函数0f-0f=0f20f=0 即x=0 是方程fx=0 的根若1x是fx=0 的根，即1fx=0 由奇数定义得1fx1fx=0 1x也是方程的根即方程的根除x=0 外成对出现。方程根为奇数个。练习：1 设 f(x) 是定义在R 上的奇函数， 且 f(x+2)= f(x), 当 0 x1 时，f (x) = x ， 则 f (7.5 ) = （）(A) 0.5 (B) 0.5 (C) 1.5 (D) 1.5 解： y = f (x) 是定义在 R 上的奇函数，点（0，0）是其对

13、称中心；又 f (x+2 )= f (x) = f ( x)，即 f (1+ x) = f (1 x)， 直线 x = 1 是 y = f (x) 对称轴，故 y = f (x) 是周期为2 的周期函数。f (7.5 ) = f (80.5 ) = f (0.5 ) = f (0.5 ) =0.5 故选 (B) 2知函数y=f(x) 对一切实数x 满足 f(2-x)=f(4+x) ，且方程f(x)=0 有 5 个实根，则这5 个实根之和为（ C ）A、5 B、10 C、15 D、18 3( )f x是周期为2 的奇函数，当01x时，( )lg .f xx63( ),(),52afbf5( ),

14、2cf则（A）abc（B）bac（C）cba（D）cab解： 已知( )f x是周期为2 的奇函数，当01x时，( )lg.f xx设644( )()()555afff，311()()()222bfff，51()( )22cff0 ，cab，选 D. 4定义在R上的函数xf是奇函数又是以2为周期的周期函数,则741fff等于(B ) A.-1B.0C.1D.4 5用 mina,b 表示 a，b 两数中的最小值。若函数f(x)=min|x|,|x+t|的图像关于直线x=12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎

15、下载对称，则t 的值为 ( ) A-2 B2 C-1 D1 6定义在R 上的函数f(x)满足 f(x)= 0),2() 1(0),1(log2xxfxfxx，则 f（2010）的值为( B ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2 解析由已知得2( 1)log 21f,(0)0f,(1)(0)( 1)1fff, (2)(1)(0)1fff,(3)(2)(1)1( 1)0fff, (4)(3)(2)0( 1)1fff,(5)(4)(3)1fff,(6)(5)(4)0fff, 所以函数f(x) 的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f（ 2010）= f（6）=0,故选 C. 7 定义在R 上的以

16、 3 为周期的偶函数，且0)2(f，则方程)(xf=0 在区间（ 0，6）内解的个数的最小值是（）A5 B4 C3 D 2 解析 ：由)(xf的周期性知，04115)2(fffff即至少有根1，2，4，5。故选择 B。8设函数y=f(x) 的定义域为R，且满足f(x+1)=f(1-x) ，则 y=f(x+1) 的图象关于 _y_对称。 y=f(x) 图象关于 _x=1_对称。9设 y=f(x) 的定义域为R，且对任意xR，有 f(1-2x)=f(2x) ，则 y=f(2x) 图象关于 _对称， y=f(x) 关于 _对称。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

17、- - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载10设函数y=f(x) 的定义域为R，则下列命题中，若y=f(x) 是偶函数，则y=f(x+2) 图象关于 y 轴对称； 若 y=f(x+2) 是偶函数， 则 y=f(x) 图象关于直线x=2 对称；若 f(x-2)=f(2-x)，则函数 y=f(x) 图象关于直线x=2 对称； y=f(x-2) 与 y=f(2-x) 图象关于直线x=2 对称，其中正确命题序号为_ _。11设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且xfy的图象关于直线21x对称，则f (1)+ f (2)+f (3)+ f (4)+ f (5)= _. 【考点分析 】本题

18、考查函数的周期性解析：00ff得00f，假设0fn因为点（n ，0）和点（1,0n）关于12x对称，所以10f nfnfn因此，对一切正整数n都有：0fn从而：123450fffff。本题答案填写：0 12函数fx对于任意实数x满足条件12fxfx，若15,f则5ff_。【考点分析 】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。解析 ：由12fxfx得14( )2fxf xfx，所以(5)(1)5ff，则115( 5)( 1)( 12)5fffff。【窥管之见 】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一般都比较灵活。本题应直观理解12fxfx“ 只要加 2，则变倒数，加两次则回原

19、位” 则一通尽通也。13设函数fx的定义域为R，若1fx与1fx都是关于x的奇函数，则函数yfx在区间0,100上至少有个零点 . 答案： f(2k-1)=0， kZ. 又可作一个函数fx满足问题中的条件，且fx的一个零点恰为21xk，kZ. 所以至少有50 个零点 . 14设 f(x)=xx11，又记 f1(x)=f(x),)()(1xffxfkk,k=1,2, 则)(2010 xf= 解：1121111,11fxfxfxxfx，323423111,111ffxfxfxxfxf，据此，414211,1nnxfxfxxx，4341,1nnxfxfxxx，因 2010 为 4n+2型，故选B.

20、15已知偶函数y=f(x) 定义域为 R，且恒满足f(x+2)=f(2-x) ，若方程f(x)=0 在0,4上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间(-8,10 中的根精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载方程的根为 -6,-4,-2,0,2,4,6,8,10 共 9 个根16设函数( )f x在(,)上满足(2)(2)fxfx，(7)(7)fxfx，且在闭区间 0，7上，只有(1)(3)0ff（）试判断函数( )yf x的奇偶性；（）试求方程( )f x=0 在闭区间 -2005，2005上的根的个数

21、，并证明你的结论【考点分析 】本题考查函数的奇偶性与周期性解析 ：由 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数)(xfy的对称轴为72xx和, 从而知函数)(xfy不是奇函数 , 由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(xfxfxfxfxfxfxfxfxfxf)10()(xfxf,从而知函数)(xfy的周期为10T又0)7(,0)0()3(fff而,故函数)(xfy是非奇非偶函数; (II) 由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(xfxfxfxfxfxfxfxfxfxf)10()(xfxf(II) 又0)9()7()13()11

22、(,0)0()3(ffffff故 f(x) 在0,10 和-10,0 上均有有两个解,从而可知函数)(xfy在0,2005 上有 402 个解 ,在-2005.0 上有 400 个解 ,所以函数)(xfy在 -2005,2005 上有 802 个解 . 17fx定义域为R，对于任意x 都有11fxfx且44fxfx问fx是否是周期函数？如是则周期是多少？解：如图可知M（1，0） ，N（4，0）是对称中心，设0 x为fx的任意一点，它的关于 M 的对称点是1x则：0111,xx设2x与1x关于 N 点对称则41x=2x 4，206xx由题意01,fxfx12fxfx20fxfx即对于任意xR都有6fxfxfx是周期函数，周期为6. 结论：若函数fx()xR的图象为对称中心在X 轴上的中心对称图形，则fx为周期函数，周期为两对称中心距离的2 倍。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页