2022年高中数学立体几何部分错题 2.pdf

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1、高中数学立体几何部分错题精选一、选择题：1（石庄中学）设ABCD是空间四边形，E，F分别是 AB，CD的中点，则BCADEF,满足（）A 共线 B 共面 C 不共面 D 可作为空间基向量正确答案： B 错因：学生把向量看为直线。2（石庄中学）在正方体ABCD-A1B1C1D1,O是底面 ABCD 的中心， M、N分别是棱 DD1、D1C1的中点，则直线 OM( ) A 是AC和MN的公垂线 B 垂直于 AC但不垂直于 MN C 垂直于 MN，但不垂直于AC D 与AC、MN都不垂直正确答案： A 错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影。3（石庄中学）已知平面平面，直线 L平面, 点P

2、直线 L, 平面、间的距离为 8，则在内到点 P的距离为 10，且到 L的距离为 9的点的轨迹是（）A 一个圆 B 四个点 C 两条直线 D 两个点正确答案： B 错因：学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系不能灵活掌握。4（石庄中学）正方体ABCD-A1B1C1D1中，点 P在侧面 BCC1B1及其边界上运动，并且总保持APBD1, 则动点 P的轨迹（）A 线段 B1C B BB1的中点与 CC1中点连成的线段C 线段 BC1 D CB中点与 B1C1中点连成的线段正确答案： A 错因：学生观察能力较差，对三垂线定理逆定理不能灵活应用。5 （石庄中学）下列命题中：若向量a、b与空间任意向量

3、不能构成基底，则ab。若ab，bc，则ca.若OA、OB、OC是空间一个基底，且OD=31OA31OB31OC , 则 A、B、C、D四点共面。若向量a+ b，b+ c，c+ a是空间一个基底，则a、b、c也是空间的一个基底。其中正确的命题有（）个。A 1 B 2 C 3 D 4 正确答案： C 错因：学生对空间向量的基本概念理解不够深刻。6(磨中 )给出下列命题：分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线同时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行斜线b在面 内的射影为 c，直线 ac，则 ab有三个角为直角的四边形是矩形，其中真命题是( ) 正确答案：错误原因：空间

4、观念不明确，三垂线定理概念不清7(磨中 )已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页 A 、7 B 、8 C 、9 D、 10 正确答案： A 错误原因： 4+8 2=10 8(磨中 )下列正方体或正四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( ) 正确答案： D 错误原因：空间观点不强9(磨中 )a和b为异面直线，则过a与b垂直的平面 ( ) A 、有且只有一个 B、一个面或无数个 C 、可能不存

5、在 D、可能有无数个正确答案： C 错误原因：过a与b垂直的夹平面条件不清10（一中）给出下列四个命题：（1）各侧面在都是正方形的棱柱一定是正棱柱. （2）若一个简单多面体的各顶点都有3条棱，则其顶点数V、面数 F满足的关系式为2FV=4. （3）若直线l平面 ，l平面 ，则 . （4）命题“异面直线a、b不垂直，则过a的任一平面与b都不垂直”的否定. 其中，正确的命题是（）A（ 2）（ 3）B（ 1）（ 4）C（ 1）（ 2）（ 3） D（ 2）（ 3）（ 4）正确答案： A11（一中）如图，ABC是简易遮阳棚，A，B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40 角，为了使遮阴影

6、面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角应为（）A75 B60C50 D45正确答案： C 12（蒲中）一直线与直二面角的两个面所成的角分别为，则 + 满足（）A、+ 900 D 、+900答案： B 点评：易误选A，错因：忽视直线与二面角棱垂直的情况。Q R S P P B S R S P Q R C R P D Q A Q S 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页13（蒲中）在正方体AC1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A1B成300角的平面的个数为（）A、2个 B、4个 C、6个 D、8个答案： B

7、点评：易瞎猜，6个面不合， 6个对角面中有4个面适合条件。14（蒲中）ABC的BC边上的高线为AD， BD=a ，CD=b ，将 ABC沿AD折成大小为 的二面角B-AD-C ，若bacos，则三棱锥 A-BCD 的侧面三角形ABC是（）A、锐角三角形 B、钝角三角形C、直角三角形 D、形状与 a、b的值有关的三角形答案： C 点评：将平面图形折成空间图形后线面位置关系理不清，易瞎猜。15（江安中学）设a，b，c表示三条直线，,表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（）。A.c，若c，则/B.b，c，若/c，则cb/C.b，若b，则D.b，c是在内的射影，若cb，则b正解： C C的逆命题

8、是b,若，则ab显然不成立。误解： 选B。源于对 C是在内的射影理不清。16（江安中学）和是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面和平行的是（）。A.和都垂直于平面B.内不共线的三点到的距离相等C.ml,是平面内的直线且/,/mlD.ml,是两条异面直线且/,/,/,/lmml正解： D 对于,A可平行也可相交；对于B三个点可在平面同侧或异侧；对于mlC,在平面内可平行，可相交。对于 D正确证明如下：过直线ml,分别作平面与平面,相交，设交线分别为11,ml与22,ml，由已知/,/ll得21/,/llll，从而21/ ll，则/1l，同理/1m，/。误解： B 往往只考虑距离相等，不考虑两

9、侧。17（江安中学）一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D、E、F，且知SD：DA=SE ：EB=CF ：FS=2 ：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页A.2923B.2719C.3130D.2723正解： D。当平面 EFD处于水平位置时，容器盛水最多2121sin31sin313131hASBSBSAhDSESESDhShSVVSABSDESABCSDEF27431323221hhSBSESASD最多可盛原来水得12723274误解： A、B、C。

10、由过 D或 E作面 ABC得平行面，所截体计算而得。18（江安中学）球的半径是 R，距球心 4R处有一光源，光源能照到的地方用平面去截取，则截面的最大面积是（）。A.2RB.21615RC.2169RD.221R正解： B。如图，在Rt OPA中，ABOP于B则2OAOB OP即24ROBR14OBR又22221516ABOAOBR以AB为半径的圆的面积为21516R误解： 审题不清，不求截面积，而求球冠面积。19（江安中学）已知 AB是异面直线的公垂线段，AB=2 ，且a与b成30角，在直线a上取AP=4 ，则点 P到直线b的距离是（）。aE.22PABOP A ?精选学习资料 - - -

11、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页F.4 G.142bH.22或142正解： A。过 B作BB a，在 BB上截取 BP=AP ，连结 PP，过 P 作P Qb连结 PQ，PP 由BB 和b所确定的平面，PPbPQ即为所求。在RtPQP 中， PP =AB=2,P Q=BP ,BQPsin=AP30sin=2, PQ=2。误解： D。认为点 P可以在点 A的两侧。本题应是由图解题。20（丁中）若平面外的直线a与平面所成的角为，则的取值范围是（）（A）)2,0(（B）)2,0（C）2,0(（D）2,0错解： C 错因：直线在平面外应包括直线与

12、平面平行的情况，此时直线a与平面所成的角为 0 正解： D 21（薛中）如果a,b是异面直线，P是不在 a,b上的任意一点，下列四个结论：（1）过 P一定可作直线 L与a , b 都相交；（ 2）过 P一定可作直线L与a , b 都垂直；（ 3）过 P一定可作平面与a , b 都平行；（ 4）过 P一定可作直线L与a , b 都平行，其中正确的结论有（）A、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个答案： B 错解： C 认为（ 1）（ 3）对 D 认为（ 1）（ 2）（ 3）对错因：认为（2）错误的同学，对空间两条直线垂直理解不深刻，认为作的直线应该与a,b 都垂直相交；而认为（1）（ 3）对

13、的同学，是因为设能借助于两个平行平面衬托从而对问题的分析欠严密。22 （薛中）空间四边形中，互相垂直的边最多有（） A 、1对 B 、2对 C 、3对 D 、4对答案： C 错解： D 错因：误将空间四边形理解成四面体，对“空间四边形”理解不深刻。23 （案中）底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是A、一定是正三棱锥 B 、一定是正四面体 C 、不是斜三棱锥 D、可能是斜三棱锥正确答案：（D）错误原因：此是正三棱锥的性质，但很多学生凭感觉认为如果侧面是等腰三角形，则侧棱长相等，所以一定是正三棱锥，事实上，只须考察一个正三角形绕其一边抬起后所构成的三棱锥就知道应选D 24 （案中）给出

14、下列四个命题：B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页（1）各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱（2）若一个简单多面体的各顶点都有三条棱，则其顶点数V，面数 F 满足的关系式为2F-V=4 （3）若直线 L平面 ，L平面 ，则 （4）命题“异面直线a,b 不垂直，则过a 的任一平面和b 都不垂直”的否定，其中，正确的命题是（） A 、（ 2）（ 3） B 、（ 1）（ 4） C 、（ 1）（ 2）（ 3） D 、（ 2）（ 3）（ 4）正确答案：（A）错误原因：易认为命题（1）正确二填空题：1.（如中）有一棱长为a 的

15、正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为_. 错解：学生认为球最大时为正方体的内切球，所以球的直径为a，球的表面积为2a。这里学生未能弄清正方体骨架是一个空架子，球最大时与正方体的各棱相切，直径应为2a，所以正确答案为：22 a。2.（如中）一个广告气球某一时刻被一束平行光线投射到水平地面上的影子是一个椭圆，椭圆的离心率为32e，则该时刻这平行光线对于水平平面的入射角为_ 。错解：答6。错误原因是概念不清，入射角应是光线与法线的夹角，正确答案为：3。3.（如中）已知正三棱柱111ABCA B C底面边长是10，高是12，过底面一边AB，作与底

16、面ABC 成060角的截面面积是_。错解：50 3。学生用面积射影公式求解：03100253,50 34cos60SSS底底截。错误原因是没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形。正确答案是：48 3。4.（如中）过球面上两已知点可以作的大圆个数是_ 个。错解： 1个。错误原因是没有注意球面上两已知点与球心共线的特殊情况，可作无数个。正确答案是不能确定。5.（如中）判断题：若两个平面互相垂直，过其中一个平面内一点作它们的交线的垂线，则此直线垂直于另一个平面。正确。错误原因是未能认真审题或空间想象力不够，忽略过该点向平面外作垂线的情况。正确答案是本题不对。6.（如中）平面外有两点A,B ，它们与

17、平面的距离分别为a,b，线段AB上有一点P，且AP:PB=m:n ，则点 P 到平面的距离为 _. 错解为：nambmn。错误原因是只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测的情况。正确答案是：|nambmbnamnmn或|。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页7.（如中）点AB 到平面距离距离分别为12，20 ，若斜线AB 与成030的角，则AB 的长等于_. 错解： 16. 错误原因是只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测的情况。正确答案是：16或64 。8.（如中）判断若a,b 是两条异面直线，p

18、为空间任意一点，则过P 点有且仅有一个平面与a,b都平行。错解：认为正确。错误原因是空间想像力不行。忽略P在其中一条线上，或a与 P确定平面时恰好与 b平行，此时就不能过P作平面与 a平行。9(磨中 )与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有_ 个。正确答案： 7个错误原因：不会分类讨论10 (磨中 )在棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，若 G、E分别为 BB1，C1D1的中点，点 F是正方形ADD1A1的中心，则四边形BGEF在正方体六个面上的射影图形面积的最大值为_ 。正确答案：21错误原因：不会找射影图形11(磨中 )ABC 是简易遮阳板，A、B是南北方向上两个定点

19、，正东方向射出的太阳光线与地面成40 角，为使遮阴的阴影面ABD面积最大，遮阳板ABC与地面所成角应为_ 。正确答案： 50 错误原因：不会作图12( 磨中 )平面 与平面 相交成锐角 ，面 内一个圆在面上的射影是离心率为21的椭圆，则角等于 _ 。正确答案： 30 错误原因：分析不出哪些线段射影长不变，哪些线段射影长改变。13( 磨中 )把半径为 r的四只小球全部放入一个大球内，则大球半径的最小值为_ 。正确答案： (126)r 错误原因：错误认为四个小球球心在同一平面上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页14（一

20、中） AB垂直于BCD所在的平面，4:3:,17,10BDBCADAC，当BCD的面积最大时，点A到直线 CD的距离为。正确答案：13515（蒲中）在平面角为600的二面角l内有一点P，P到 、 的距离分别为PC=2cm ，PD=3cm ，则 P到棱l的距离为 _ 答案：3572cm 点评：将空间问题转化为平面问题利用正弦定理求解，转化能力较弱。16（蒲中）已知三棱锥P-ABC 的三条侧棱 PA、PB、PC两两垂直， D是底面三角形内一点，且DPA=450， DPB=600，则 DPC=_ 答案： 600 点评：以 PD为对角线构造长方体，问题转化为对角线PD与棱 PC的夹角，利用cos245

21、0+cos2600+cos2=1得=600，构造模型问题能力弱。17（蒲中）正方体AC1中，过点 A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角都相等，试写出满足条件的一个截面_ 答案：面 AD1C 点评：本题答案不唯一，可得12条棱分成三类：平行、相交、异面，考虑正三棱锥D-AD1C，易瞎猜。18（江安中学）一个直角三角形的两条直角边长为2和4，沿斜边高线折成直三面角，则两直角边所夹角的余弦值为_ 议程。正解：52。设5242,22ABxBD552525222x58555252ADCDADCDBDABCD,ADB为二面角的平面角，2ADB22)558()552(AB58522532020

22、52422)8552(42cos222ACB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页误解： 折叠后仍然CDADCDBD,判断不了，找不到ABADBRt,的长求不出。19（江安中学）某地球仪上北纬30，纬线的长度为cm12，该地球仪的半径是_cm ，表面积是 _ cm2。正解：192,34设地球仪的半径为R，纬线的半径为r 。由已知122 r，6r1924844,34,236,30cos2RSRRRr表故。误解： 误将1443644,61222RSRR得20 （江安中学）自半径为 R的球面上一点P引球的两两垂直的弦PA、P

23、B、PC,则222PCPBPA=_ 。正解 :24R,可将 PA,PB,PC 看成是球内接矩形的三度,则222PCPBPA应是矩形对角线的平方 ,即球直径的平方。误解： 没有考虑到球内接矩形，直接运算，易造成计算错误。21（丁中）直二面角l的棱l上有一点 A，在平面 、内各有一条射线AB，AC与l成450，ABAC,，则 BAC= 。错解： 600错因：画图时只考虑一种情况正解： 600或120022 （丁中）直线l与平面 成角为 300，mAmAl,则m与l所成角的取值范围是错解： 300 , 1200 错因：忽视两条直线所成的角范围是90,000正解： 300 , 900 23（丁中）若A

24、B的中点M到平面的距离为cm4，点A到平面的距离为cm6，则点B到平面的距离为 _cm。错解： 2 错因：没有注意到点A、B在平面异侧的情况。正解： 2、14 24 （薛中）已知直线L平面=O，A、BL，OA= 4 ，8AB；点 A到平面距离为 1，则点 B到平面的距离为。答案： 1或3 错解： 3 错因：考虑问题不全面，点A，B可能在点 O的同侧，也可能在O点两侧。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页25 （薛中）异面直线a , b 所成的角为60，过空间一定点P，作直线 L，使 L与a ,b 所成的角均为60，这

25、样的直线 L有条。答案：三条错解：一条错因：没有能借助于平面衬托，思考问题欠严谨。过P作babbaa,/,/由确定一平面，画ba ,相交所成角的平分线m、g，过 m, g分别作平面的垂面,，则在,中易找到所求直线共有 3条。26 （薛中）点P是ABC所在平面外一点，且P在ABC三边距离相等，则P点在平面 ABC上的射影是ABC的心。答案：内心或旁心错解：内心错因： P在平面 ABC内的正射影可能在ABC内部，也可能在ABC外部。27 （案中）四面体的一条棱长为x，其它各棱长为1，若把四面体的体积V表示成 x的函数 f(x) ，则f(x) 的增区间为，减区间为。正确答案：（0，26326，错误原

26、因：不能正确写出目标函数，亦或者得到目标函数以后，不能注意x的隐藏范围。28 （案中）在棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中， E，F分别是 AB和AD的中点，则点A1到平面为EF的距离为正确答案：32错误原因：不少学生能想到用等积法解，但运算存在严重问题。29 （案中）点P在直径为 2的球面上，过 P作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和为最大值是正确答案：5702错误原因：找不到解题思路三、解答题：1.（如中）由平面外一点P 引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为ABC，O 为 ABC 的外心，求证：OP。错解：因为 O为 ABC的外心，所以OAOB

27、OC，又因为 PAPBPC，PO公用，所以POA ， POB ， POC 都全等，所以POA POB POC RT，所以OP。错解分析：上述解法中POA POB POC RT，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明。正解：取 BC 的中点 D ，连 PD ，OD ，,ABPOPO.PBPC OBOCBCPD BCODBCPODBCPO面同理，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页2.（如中）一个棱长为6cm 的密封正方体盒子中放一个半径为1cm 的小球，无论怎样摇动盒子，求小球在盒子不能到达的空间的体积。错

28、解：认为是正方体的内切球。用正方体的体积减去内切球的体积。错误原因是空间想像力不够。正解：在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：331 4481(1 )8833，除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个1 1 4的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为211 1 4(1 )448124。其他空间小球均能到达。故小球不能到达的空间体积为：3440(8)481256()33cm。3（石庄中学）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB=5 ，AD=8 ，AA1=4 ，M为B1C1上一点，且B1M=2 ，点 N在线段 A1D上， A1DAN，求：(1) ),cos(1

29、AMDA；(2) 直线 AD与平面 ANM所成的角的大小；(3) 平面 ANM 与平面 ABCD 所成角（锐角）的大小. 解： (1) 以A为原点， AB、AD、AA1所在直线为x轴， y轴， z轴. 则D(0,8,0)，A1 (0 ， 0，4) ，M(5,2,4) 4, 8,0(1DA) )4,2,5(AM01AMDA0,cos1AMDA(2) 由(1) 知A1DAM，又由已知 A1DAN，DA1平面 AMN，垂足为 N. 因此 AD与平面所成的角即是.DAN易知2arctan1DAADAN(3)1AA平面 ABCD，A1N平面 AMN，11NAAA和分别成为平面ABCD和平面 AMN的法向

30、量。设平面 AMN 与平面 ABCD 所成的角（锐角）为，则55arccos),(1111DAANAANAAA4（一中）点O是边长为 4的正方形ABCD的中心，点E，F分别是AD，BC的中点沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角DACB（）求EOF的大小；（）求二面角EOFA的大小解法一：A B C D E F O O F A B C D E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页（）如图，过点E作EGAC，垂足为G，过点F作FHAC，垂足为H，则2EGFH，2 2GH因为二面角DACB为直二面角，22222cos

31、90EFGHEGFHEG FH222(2 2)(2)( 2)012.又在EOF中，2OEOF，22222222(2 3)1cos222 22OEOFEFEOFOE OF120EOF（）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM二面角DACB为直二面角，平面DAC平面BAC，交线为AC，又EGAC，EG平面BACGMOF，由三垂线定理，得EMOFEMG就是二面角EOFA的平面角在RtEGM中，90EGM，2EG，112GMOE，tan2EGEMGGMarctan 2EMG所以，二面角EOFA的大小为arctan 2解法二：（）建立如图所示的直角坐标系Oxyz，则(1, 1,2)OE，(0,2,

32、0)OF1cos,2|OE OFOE OFOE OF120EOF（）设平面OEF的法向量为1(1, , )ny z由110,0,n OEn OF得120,20,yzy解得20,2yzx y z A B C D E F O C D M H G O F A B E G H M A B C D E F O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页所以，12(1,0,)2n又因为平面AOF的法向量为2(0,0,1)n，1212123cos,3|nnn nnn123,arccos3n n所以，二面角EOFA的大小为3arccos

33、35（蒲中）斜三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA1与底面相邻两边AB、 AC都成 450角，求这个三棱柱的侧面积。解：过点 B作 BM AA1于 M，连结 CM，在 ABM和 ACM 中，AB=AC ， MAB= MAC=450，MA为公用边，ABMACM， AMC= AMB=900， AA1面 BHC，即平面 BMC 为直截面，又 BM=CM=ABsin450=22a， BMC 周长为2x22a+a=(1+2)a，且棱长为 b， S侧=(1+2)ab 点评：本题易错点一是不给出任何证明，直接计算得结果；二是作直截面的方法不当，即“过BC作平面与

34、AA1垂直于 M”；三是由条件“A1AB= A1ACAA1在底面 ABC上的射影是 BAC的平分线”不给出论证。6（江安中学）如图在三棱柱ABC-CBA中，已知底面ABC是底角等于30，底边 AC=34的等腰三角形，且22,CBACCB，面ACB与面 ABC成45，BA与AB交于点 E。1)求证：BAAC；2)求异面直线AC 与BA的距离；3)求三棱锥BECB的体积。正解： 证：取 AC中点 D，连 ED，EDABE的中点，是/221CBACDEACCB,又ABC是底角等于30的等腰，DDEBNACBD,BAACBEACBDEAC即面解：由知的一个平面角，是二面角BACBEDB2333230t

35、an,245ADBDEDEDB，A1C1CBAMB1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页在222224245cos2222BDEDBDEDEBDBE中：EDBEEDRtBDEEB,2是等腰是异面直线 AC与BA的距离，为2连，面又BEDACBDDAEDEAEDDA,2,2,DAABCDAACDABEDDA且面面338)(213131DAACBDDASVABCABCB3342121 ABCBABBCBEBCBECBVVVV误解： 求体积，不考虑用等积法，有时，硬算导致最后错解。7（江安中学）如图，在正三棱柱ABC-A

36、1B1C1中， AB=3 ，AA1=4,M为AA1的中点， P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M点的最短路线长为29，设这条最短路线与C1C的交点为 N。求4)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；5)PC 和 NC 的长；6)平面 NMP 和平面ABC 所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）正解： 正三棱柱 ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为 9，宽为 4的矩形，其对角线长为974922如图 1，将侧面 BC1旋转120使其与侧面AC1在同一平面上，点P运动到点 P1的位置，连接 MP1，则 MP1就是由点 P沿棱柱侧面经过CC1到点 M的最短路线。设PCx，则 P1Cx

37、，在2,292)3221xxMAPRt中，（54,5211NCAPCPMAMC连接 PP1（如图 2），则 PP1就是 NMP与平面ABC的交线，作 NH1PP于H，又 CC1平面ABC，连结 CH，由三垂线定理得，1PPCH。所成二面角的平面角。与平面就是平面ABCNMPNHC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页1,60211CHPCPPCHPHCRt中，在54tanCHNCNHCNCHRt中，在误解： 不会找29的线段在哪里。不知道利用侧面BCC1 B1展开图求解。不会找二面角的平面角。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页