2022年2022年华工应用随机过程试卷及参考答案 .pdf

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1、1华南理工大学20112012 学年第一学期应用随机过程考试试卷（A 卷）（闭卷时间120 分钟）院/系年级 _专业姓名学号题号一二三四总分得分一、填空题（每小题4 分，共16 分）1、设X是概率空间(,F,P)上的一个随机变量，且EX存在，C 是F的子域，定义E(XC)如下： （1）_ ；（2）_ ；2、设N (t),t 0是强度为的 Poisson 过程，则N (t)具有_、_增量，且?t 0，h 0充分小，有：P(N (t + h)- N (t) = 0)_，P(N (t + h)- N (t) =1)_；3、设W (t),t 0为一维标准Brown 运动，则?t 0，W (t) _，且

2、与Brown 运动有关的三个随机过程_、_ _、_都是鞅（过程）；4、倒向随机微分方程（BSDE）典型的数学结构为_ _ ，其处理问题的实质在于_ 。二、证明分析题（共12 分，选做一题）1、设X是定义于概率空间(,F,P)上的非负随机变量，并且具有得分得分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - 2指数分布，即：P(X a) =1- e- a ，a 0，其中是正常数。设是另一个正常数，定义：Z = e-( - )X ，

3、由下式定义：P(A)=AZdP，?AF ； （1）证明：P() =1； （2）在概率测度P 下计算的分布函数：P(X a)，a0；2、设X0U (0,1)，Xn+1U (1- Xn,1)，n 1，域流Fn,n 0满足：Fn =(Xk,0 k n)，n 0 ；又设Y0 = X0 ，Yn = 2n ?kn= 1 1 X-kX - 1 k ，n 1，试证：Yn,n 0关于域流Fn,n 0是鞅！三、计算证明题（共60 分）1、 （12 分）假设XE()，给定c 0，试分别由指数分布的无记得分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

4、 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - 3E(XIA ) 忆性和E(X A) = ，求E(XX c)；P(A)2、 （10 分，选做一题）（1）设XE()，YE()， ，且X,Y 相互独立；?c 0，设fX X +Y (x c)为给定X +Y = c 时X 的条件概率密度，试求之并由此求E(X X +Y = c)；?1（2）设(X,Y)f (x, y) = ?x ,0 y x 1;，试求fY X (y x)及?0,其它；P(X 2 + Y 2 1X = x)，并由此（连续型全概率公式）求P(X 2 +Y 2 1)；名师资料总结

5、- - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - 4题） （1）设X,Y独立同U 0,1分布，试基3、 （4 分，选做一于微元法由条件密度求E(XX Y)；(X,Y)U (D)，（ 2 ） 设D:0 y x 1，试由条件数学期望的直观方法求E(YX )、E ?(Y -X )2X ?；0,1分布，Y = minX1, X2, 4、 （10 分）设X1, X2, Xn 独立同U 求E(X1Y) = E(X1 (Y)；Xn，试由条件数学期望的一般定

6、义5、 （14 分）设N (t),t 0是强度为的 Poisson 过程，S0 = 0，Sn 表示第n个事件发生（到达）的时刻，试求：（1）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - 5P(N (s) = kN (t) = n)（s 0，P(X a) = X a ZdP = X-1) dP =(- ,a e-( - )xdPX = (- ,ae-( - )x f (x) dx = 0 a e- xdx = 1；2、由于Xn

7、+1U (1-Xn,1)，1- Xn+1U (0, Xn )，1-Xn+1 U (0,1)，X nE(Yn ) 2n c dX ，1、 （1）由几何分布的E(X - cX c)= EX = 1 ，E(XX c)= E(X - c X c)+ E(c X c)= 1 + c ；（2）E(XX c)= PE(?XIXX cc?) = -+ xIxe c-fcX (x)dx = c+ exe- c- xdx = 1 + c；2、 （1）易见， (X,Y)f (x, y) = ? e-( x+ y) ,x, y 0;，令? U = X +Y ，从? 0,其他; ? V = X而由? u = x + y

8、 ，?(u,v) = - 1，?(x, y) = - 1，从而?v = x ?(x, y) ?(u,v)(X +Y, X ) = (U,V )g(u,v) = ?(x, y) ? f (v,u - v) = ? e-( - )v- u ,u v 0 ; ，则?(u,v) ? 0,其他;?u有U = X + YfU (u) = -+ g(u,v)dv = ?0 e-( - )v- udv,u 0 ; =名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 20 页 - - - -

9、 - - - - - 9? 0,其他;? ? ?e- u - e- u ?,u 0; ；从而， - ? 0,u 0 ;?e-( - )vVU= u fV U (v u) = ?( - )1- e-( - )u ,0 v u;，E(VU = u)=-+vfVU (v u)dv?0,其他;=0uv( )1- e-e( - -) v dv 1 1- ?1+( -)- u?e-( - )u ，也即有 - ( )u = - ? 1- e ( )u1 1- ?1+( -)- c?e-( - ) c 。E(XX +Y = c)= ?1 e ( )c - -（2）令XfX (x)，即有：fX (x) = -+

10、 f (x, y)dy = 0 x 1x dy,0 x 1，即：XU 0,1；令Y X = x fY X (y x)，即有：0 x 1时，f (x, y) 1 = 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - 10fY X (y x) = = ,0 y x ，即：Y X x U 0,x,0 x 1；从而，fX (x) x?x(0,1)，P(X 2 +Y 2 1 X = x) = P(- 1- x2 Y 1- x2 X = x

11、) =P(0 Y 1-x2 X = x)=0 1- x2 fY X (y x)dy =0 x 1- x2 1x dy =1 1- x x2 ；P(X 2 +Y 2 1)=-+ P(X 2 + Y 2 1 X = x) fX (x)dx =01 P(X 2 + Y 2 1 X = x)dx2 +1 。= 01 ? 11- x x2 ?dx = ln ( ) 3、 （1）由概率微元法，易知，?x(0,1)，(1-x)dx P(x X x + dxX Y) = 2(1- x)dx；从而，2 ?2(1- x),0 x 1 ; ，故Y fXXY (x) = ?XX ?0,其他;E(XX Y) = -+

12、xfXXY (x)dx = 012x(1- x)dx = 13 ；（2）易知，1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - 11?x(0,1)，YX=x U 0, x，从而，E(Y X = x) = x ，2E(Y 2X = x) = D(Y X = x)+ ?E(Y X = x)?2 = D(YX = x) = 12 x2 ，x32 ，E ?(Y - X )2 X = x?= E ?(Y -x) 2X = x? = E

13、(Y 2 X = x)- 2xE(Y X = x)+ x2 = x32 ；故有：E(Y X ) = X2 ,a ，E ?(Y - X )2 X ?= X3 2 ,a.s.。.s.4、易见，?y 1,P(Y y) = 1；n?y0,1,P(Y y) = 1-P(Y y) =1-P(Xi y) =1-(1-y)n ；从而，i= 1n- 1? ?n(1- y) , y0,1;。不妨设若YfY (y)，则有fY (y) = ? 0,其他;g(Y) = E(X1 Y) = E ?X1 (Y)?，由条件数学期望的定义：?A(Y)，A X1dP = A E ?X1 (Y)?dP = A g(Y)dP；取A

14、=Y y =Y-1(y,+)，y0,1；即有：A X1dP = Yy X1dP = X1IYydP = X1IX1yIX2y ?IXnydP = E ?X1IX1yIX2y ? ?IXny?名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - 1222()( )12E X Yg Yn =)= E ? X1IX1 y ? E ?IX2y ?E ?IXn y? = E ?X1IX1y ? P(X 2 y)?P(Xn y) =y1 xd

15、x?(1-y)n-1 = (1- y)n2 (1+ y) ；A g(Y)dP = Y-1(y,+) g(Y)dP 积分变换定理y,+) g(y)dPY (这里， PY (?)为的概率分布Y )=y,+) g(y) fY (y)dy = y+ g(y) fY (y)dy；从而，?y0,1，(1-y)n (1+ y) = y+ g(y) fY (y)dy ；两边关于y 求导即有：2(1- y)n n(1- y)n-1 (1+ y) n-1 (n+ 1) y +(n- 1)-= - g(y)?n(1- y) ，g(y) = ；从而，2n(n+1)Y +(n- 1) ,a.s.。5、 （1）P(N (

16、s)= k N (t)= n = P(N (s)= k, N (t)- N (s)= n- k) = P(N (t)= n)P(N (s)= k)P(N (t)- N (s)= n- k) P(N (s)= k)P(N (t - s)= n- k)= P(N (t)= n) P(N (t)= n)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - 13( s)k e - t ?(t - s)?n- k e- (t- s) k n

17、- k= ( t)n - = Cnk ? st ? ? 1 - st ?，也即：?et n!(s)N(t)= n B? n, s t ?；N （2）由于 (S1,S2 ?,Sn ) N(t)= n d (X(1), X(2) ?, X(n) )，其中X(i) 为独立同U (0,t)分布的X1, X 2 ?, Xn 第i个顺序统计量；从而，?SkN (t) = n? = E(X(k) ) 。以下由概率Sk N(t)= n dX(k) ，即有：E 微元法（又称微元密度法）来求X(k) 的分布！k- 1 n- k?x(0,t)，P(x 0 ? y d-( ,x)= 1，注意到?xe?ln x + ?

18、 r - 12 2 ? ?；+因此，c(t,x) = 1 d-( ,x)e- r? xe- y+ ? r- 122? -K ?e 2 dy =2-?1 d-( ,x) xe -12 y2- y-122 dy -1 d-( ,x) Ke-12 y2- rdy = 11 2 d-( ,x) -2(y+ ) dyx e2-2-2-K ?21 y-名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - 20- e-rK(d-( ,x)= x(d-( ,x)+ )- e-rK(d-( ,x) ，(?) 标准正态分布函数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - -