2022年近三年高考全卷理科立体几何真题 .pdf

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1、1 新课标卷近三年高考题1、 （2016 年全国 I 高考）如图，在以A，B，C ，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形， AF=2FD ，90AFDo，且二面角 D-AF-E与二面角 C-BE-F 都是 60o（I）证明：平面 ABEF 平面 EFDC ；（II）求二面角 E-BC-A 的余弦值【解析】ABEF为正方形AFEF90AFDAFDF=DFEFFIAF面EFDCAF面ABEF平面ABEF平面EFDC 由知60DFECEFABEFAB平面EFDCEF平面EFDCAB平面ABCDAB平面ABCD面ABCD I面EFDCCDABCD,CDEF四边形EFDC为等腰梯形以E为原点，

2、如图建立坐标系，设FDa000020EBa， ，3022022aCaAaa， ，020EBauuu r，3222aBCaauuu r，200ABauuu r， ，设面BEC法向量为mxyzu r， ，. 00m EBm BCu ruuu ru ruuu r，即11112032022a yaxaya z111301xyz，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页2 301mu r， ，设面ABC法向量为222nxyzr，=00n BCn ABruuu rruuu r.即22223202220axayazax222034xy

3、z，034nr，设二面角EBCA的大小为. 42 19cos1931316m nmnu rru rr二面角EBCA的余弦值为2 19192、 （2016 年全国II 高考）如图，菱形ABCD 的对角线 AC 与BD交于点 O ，5,6ABAC，点,E F分别在,AD CD上，54AECF，EF 交 BD 于点 H 将DEF沿EF折到D EF 位置，10OD（）证明：D H平面 ABCD ；（）求二面角BD AC的正弦值【解析】证明：54AECF，AECFADCD，EFAC四边形ABCD为菱形，ACBD，EFBD，EFDH，EFD H6AC，3AO；又5AB，AOOB，4OB，精选学习资料 -

4、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页3 1AEOHODAO，3DHD H，222ODOHD H，D HOH又OHEFHI，D H面ABCD建立如图坐标系Hxyz500B， ，130C， ， 003D， ，130A，430ABuu u r， ，133ADuuur， ，060ACuuu r， ，设面ABD法向量1nxyz， ，u r，由1100nABnADu u ruuu ru u ruuu u r得430330 xyxyz，取345xyz，1345nu r，同理可得面AD C的法向量2301nu u r， ，1212957 5cos25

5、5 210nnn nu ru u ru ru u r，295sin25精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页4 3、（2016 年全国 III 高考） 如图，四棱锥 PABC 中，PA地面 ABCD ，ADBCP，3ABADAC，4PABC，M为线段AD上一点，2AMMD， N 为 PC 的中点（I ）证明MN P平面 PAB；（ II ） 求 直 线 AN 与 平 面 PMN 所 成 角 的 正 弦值.设),(zyxn为平面 PMN 的法向量，则00PNnPMn，即0225042zyxzx，可取) 1 ,2 ,0(n

6、，于是2558|,cos|ANnANnANn. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页5 4、 【2015高考新课标 2，理 19】如图，长方体1111ABCDABC D 中,=16AB，=10BC，18AA，点E，F分别在11AB ，11C D 上，114AED F过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（）求直线AF与平面所成角的正弦值【答案】 （）详见解析；（）4 515【考点定位】 1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角D D1C1A1E

7、F A B C B1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页6 A1AB1BD1DC1CFEHGM【名师点睛】 根据线面平行和面面平行的性质画平面与长方体的面的交线； 由交线的位置可确定公共点的位置，坐标法是求解空间角问题时常用的方法，但因其计算量大的特点很容易出错， 故坐标系的选择是很重要的， 便于用坐标表示相关点，先求出面的法向量，利用 sincos,n AFr uuu r求直线AF与平面所成角的正弦值5、【2015高考新课标 1，理 18】如图，四边形 ABCD 为菱形， ABC=120 ，E，F 是平面 ABCD

8、 同一侧的两点，BE平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE=2DF，AEEC. （）证明：平面AEC平面 AFC；（）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 . 【答案】 （）见解析（）33精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页7 又AEEC，EG=3 ，EGAC，在 RtEBG 中，可得 BE=2 ，故 DF=22. 在 RtFDG 中，可得 FG=62. 在直角梯形 BDFE 中，由 BD=2，BE=2 ，DF=22可得 EF=3 22，222EGFGEF，EGFG，AC FG=G，EG平面 AFC，EG面

9、AEC，平面 AFC平面 AEC. 6分（）如图，以 G 为坐标原点， 分别以,GB GCuuu r uuu r的方向为 x轴，y 轴正方向，|GBuuu r为单位长度， 建立空间直角坐标系G-xyz，由（）可得 A（0，3，0） ，E(1,0, 2 )，F（1,0，22） ，C（0，3 ，0） ，AEuuu r=（1，3，2 ） ， CFuuu r=（-1，-3，22）. 10分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页8 故3cos,3|AECFAE CFAECF?uuu ruuu ruuu r uu u ruuu r

10、uuu r. 所以直线 AE 与 CF 所成的角的余弦值为33. 12分【考点定位】空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力【名师点睛】对空间面面垂直问题的证明有两种思路，思路1：几何法，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；思路2：利用向量法，通过计算两个平面的法向量， 证明其法向量垂直， 从而证明面面垂直； 对异面直线所成角问题，也有两种思路，思路1：几何法，步骤为一找二作三证四解，一找就是先在图形中找有没有异面直线所成角，若没有，则通常做平行线或中位线作出异面直线所成角，再证明该角是异面直线所成角，利用解三角形解出该角. 6、2014 新课标全国

11、卷 如图 1-3，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点(1)证明： PB平面 AEC；(2)设二面角 D-AE-C 为 60，AP1，AD3，求三棱锥 E-ACD 的体积图 1-3 解：(1)证明：连接 BD 交 AC 于点 O，连接 EO. 因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点又 E 为 PD 的中点，所以 EOPB. 因为 EO? 平面 AEC，PB?平面 AEC，所以 PB平面 AEC. (2)因为 PA平面 ABCD，ABCD 为矩形，所以 AB，AD，AP 两两垂直如图，以 A 为坐标原点， AB，AD，AP 的方向

12、为 x 轴、y 轴、z轴的正方向，|AP|为单位长，建立空间直角坐标系A-xyz，则 D()0，3，0 ，E 0，32，12，AE0，32，12. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页9 设 B(m，0，0)(m0)，则 C(m，3，0)，AC(m，3，0)设 n1(x，y，z)为平面 ACE 的法向量，则n1AC0，n1AE0，即mx3y0，32y12z0，可取 n13m，1，3 . 又 n2(1，0，0)为平面 DAE 的法向量，由题设易知 |cos n1，n2|12，即334m212，解得 m32. 因为 E

13、为 PD 的中点，所以三棱锥E-ACD 的高为12.三棱锥 E-ACD 的体积 V1312 3321238. 7、2014新课标全国卷 如图 1-5，三棱柱 ABC -A1B1C1中，侧面 BB1C1C为菱形， ABB1C. 图 1-5 (1)证明： ACAB1；(2)若 ACAB1，CBB160，ABBC，求二面角 A -A1B1-C1的余弦值解：(1)证明：连接 BC1，交 B1C 于点 O，连接 AO，因为侧面 BB1C1C 为菱形，所以 B1CBC1，且 O 为 B1C 及 BC1的中点又 ABB1C，所以 B1C平面 ABO. 由于 AO? 平面 ABO，故 B1CAO. 又 B1O

14、CO，故 ACAB1. (2)因为 ACAB1，且 O 为 B1C 的中点，所以 AOCO. 又因为 ABBC，所以 BOA BOC.故 OAOB，从而 OA，OB，OB1两两垂直以 O 为坐标原点， OB 的方向为 x 轴正方向， |OB|为单位长，建立如图所示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页1 0的空间直角坐标系O-xyz. 因 为 CBB1 60 ， 所 以 CBB1为 等 边 三 角 形 ， 又AB BC ， 则A 0，0，33，B(1，0，0)，B10，33，0 ，C0，33，0 . AB10，33，33，A1B1AB1，0，33，B1C1BC 1，33，0. 设 n(x，y，z)是平面 AA1B1的法向量，则n AB10，n A1B10，即33y33z0，x33z0.所以可取 n(1，3，3)设 m 是平面 A1B1C1的法向量，则m A1B10，m B1C10，同理可取 m(1，3，3)则 cosn，mnm|n|m|17. 所以结合图形知二面角A -A1B1- C1的余弦值为17. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页