2022年高考数学_冲刺必考专题解析_解析几何怎么解 .pdf

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1、学习必备欢迎下载解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有4 题(2 个选择题 , 1 个填空题 , 1个解答题 ), 共计 30 分左右, 考查的知识点约为20 个左右 . 其命题一般紧扣课本, 突出重点 , 全面考查 . 选择题和填空题考查直线, 圆 , 圆锥曲线 , 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系 , 求解有时还要用到平几的基本知识, 这点值得考生在复课时强化. 例 1已知点 T是半圆 O的直径 AB上一点， AB=2 、OT=t (0t1)，以 AB为直腰作直角梯形BBA

2、A，使AA垂直且等于AT ，使BB垂直且等于BT，BA交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系. (1) 写出直线BA的方程；（2）计算出点P、Q的坐标；（3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q. 讲解 : 通过读图 , 看出, BA点的坐标 . (1 ) 显然tA1 , 1, ，tB11于是直线BA的方程为1txy；（2）由方程组,1,122txyyx解出),(10P、),(2221112ttttQ；（3）ttkPT1001, tttttttttkQT1111201122222)(. 由直线 PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T 反射，反射光

3、线通过点Q. 需要注意的是, Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗 ? 例 2已知直线l与椭圆)0(12222babyax有且仅有一个交点Q ，且与x轴、 y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P的轨迹方程讲解： 从直线l所处的位置 , 设出直线l的方程 ,由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为).0(kmkxy代入椭圆方程，222222bayaxb得.)2(22222222bamkmxxkaxb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载化简后，得关于x的

4、一元二次方程.02)(222222222bamamxkaxbka于是其判别式).(4)(4)2(222222222222222mbkababamabkamka由已知，得=0即.2222mbka在直线方程mkxy中，分别令y=0，x=0，求得).,0(),0,(mSkmR令顶点 P的坐标为（x，y） ，由已知，得.,.,ymxykmykmx解得代入式并整理，得12222ybxa, 即为所求顶点P的轨迹方程方程12222ybxa形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? 例 3 已知双曲线12222byax的离心率332e， 过),0(),0,(bBaA的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方

5、程；（2）已知直线)0(5 kkxy交双曲线于不同的点C，D 且C ，D都在以B为圆心的圆上，求k的值 . 讲 解 ： （ 1 ）,332ac原 点 到 直 线AB：1byax的 距 离.3,1.2322abcabbaabd. 故所求双曲线方程为.1322yx（2）把33522yxkxy代入中消去y，整理得07830)31(22kxxk. 设CDyxDyxC),(),(2211的中点是),(00yxE，则.11,315531152002002210kxykkkxykkxxxBE,000kkyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，

6、共 9 页学习必备欢迎下载即7,0,03153115222kkkkkkk又故所求k=7. 为了求出k的值 , 需要通过消元, 想法设法建构k的方程 . 例 4 已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且F1PF2的最大值为90，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B 两点， ABF2的面积最大值为12（ 1）求椭圆C的离心率；（ 2）求椭圆C的方程讲解：（1）设cFFrPFrPF2| ,| ,|212211, 对,21FPF由余弦定理 , 得1)2(2441244242)(24cos22122212221221221212221121rrcarrcarrcrrrrr

7、rcrrPFF0212e，解出.22e（2）考虑直线l的斜率的存在性，可分两种情况： i) 当 k 存在时，设l的方程为)(cxky椭圆方程为),(),(, 122112222yxByxAbyax由.22e得2222,2cbca. 于是椭圆方程可转化为022222cyx将代入，消去y得02)(22222ccxkx, 整理为x的一元二次方程，得0) 1(24)21(22222kcxckxk. 则x1、x2是上述方程的两根且221221122|kkcxx，2212221)1(22|1|kkcxxkAB，AB边上的高,1|2sin|22121kkcFBFFFhckkkkcS21|)211(22212

8、22.2141224412221|122224242422222ckkckkkkckkkc也可这样求解：|212121yyFFS|21xxkc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载ii) 当 k 不存在时，把直线cx代入椭圆方程得22221,2| ,22ccScABcy由知S的最大值为22c由题意得22c=12 所以2226bc2122a故当 ABF2面积最大时椭圆的方程为：.12621222yx下面给出本题的另一解法, 请读者比较二者的优劣：设过左焦点的直线方程为：cmyx（这样设直线方程的好处是什么？

9、还请读者进一步反思反思. ）椭圆的方程为：),(),(, 122112222yxByxAbyax由.22e得：,22222cbca于是椭圆方程可化为：022222cyx把代入并整理得：02)2(222cmcyym于是21, yy是上述方程的两根. |1)()(|122221221yymyyxxAB2)2(441222222mmccmm2)1(2222mmc, AB边上的高212mch, 从而222222) 2(122122)1(2221|21mmcmcmmchABS.221111222222cmmc当且仅当m=0取等号，即.22maxcS由题意知1222c, 于是212,26222acb. 故

10、当 ABF2面积最大时椭圆的方程为：.12621222yx例 5 已知直线1xy与椭圆)0(12222babyax相交于 A、B两点，且线段 AB的中点在直线02:yxl上. （）求此椭圆的离心率；（2 ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆422yx上，求此椭圆的方程. 讲解 : （1）设 A、B两点的坐标分别为11).,(),(22222211byaxxyyxByxA，则由得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载02)(2222222baaxaxba, 根据韦达定理，得,22)(,222221212

11、2221babxxyybaaxx线段 AB的中点坐标为（222222,babbaa）. 由已知得2222222222222)(22,02cacabababbaa故椭圆的离心率为22e . （ 2） 由 （ 1） 知, cb从 而椭 圆 的 右 焦 点 坐标 为),0,(bF设)0 ,(bF关 于 直 线02:yxl的对称点为,02221210),(000000ybxbxyyx且则解得bybx545300且由已知得4,4)54()53(,42222020bbbyx故所求的椭圆方程为14822yx . 例 6已知 M ：xQyx是,1)2(22轴上的动点， QA ，QB分别切 M于 A，B两点，（

12、1）如果324| AB，求直线MQ 的方程；（2）求动弦AB的中点 P的轨迹方程 . 讲解 :（1）由324| AB，可得,31)322(1)2|(|2222ABMAMP由射影定理，得, 3|,|2MQMQMPMB得在 RtMOQ 中，523|2222MOMQOQ，故55aa或，所以直线 AB方程是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载A O B C ;0525205252yxyx或（ 2）连接 MB ，MQ ，设),0 ,(),(aQyxP由点 M ，P，Q在一直线上，得(*),22xya由射影定理得|

13、,|2MQMPMB即(*), 14)2(222ayx把（ *）及（ * ）消去a，并注意到2y，可得).2(161)47(22yyx适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙. 例 7如图，在Rt ABC中， CBA=90 ， AB=2 ，AC=22。DO AB于 O点， OA=OB ，DO=2 ，曲线 E过 C点，动点 P在 E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变 . （ 1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；（ 2）过 D点的直线 L 与曲线 E相交于不同的两点M 、N且 M在 D 、N之间，设DNDM，试确定实数的取值范围讲解 :（1）建立平面直

14、角坐标系, 如图所示 . | PA |+| PB |=| CA |+| CB | y =22)22(22222动点P的轨迹是椭圆. x.1, 1,2cba曲线 E的方程是1222yx . （2）设直线L 的方程为2kxy, 代入曲线E的方程2222yx，得068) 12(22kxxk设 M1（),(),221, 1yxNyx, 则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载.126,128,06) 12(4)8(2212212kxxkkxxkki) L与 y 轴重合时，31|DNDMii) L与 y 轴不重合时

15、，由得.232k又21xxxxxxDNDMNDMD, ,012xx或,012xx01 , 212)(122121221xxxxxxxx . )12(332)12(664)(2222122kkkxxxx而,232k.8)12( 362k,316)12(33242k316214, 31012, .131,3101,21, 10精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载的取值范围是1 ,31 . 值得读者注意的是，直线L 与 y 轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕. 例8直 线l过 抛 物 线)0(22ppxy的

16、焦 点 ， 且 与 抛 物 线 相 交 于A),(),(2211yxByx和两点 . （1）求证：2214pxx; （2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD ，直线l不是 CD的垂直平分线. 讲解 : （1）易求得抛物线的焦点)0,2(PF. 若lx轴，则l的方程为4,2221PxxPx显然. 若l不 垂直 于x轴 ， 可设)2(Pxky,代 入 抛 物线 方 程 整理 得4,04)21(221222PxxPxkPPx则. 综上可知2214pxx. （ 2 ） 设dcdpdDcpcC且),2(),2(22， 则CD 的 垂 直 平 分 线l的 方 程 为)4(2222pdcxpdcdcy假

17、设l过 F，则)42(22022pdcppdcdc整理得0)2)(222dcpdc0p02222dcp，0dc. 这时l的方程为y=0，从而l与抛物线pxy22只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点，因此l与l不重合，l不是 CD的垂直平分线. 此题是课本题的深化， 你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！例 9 某工程要将直线公路l一侧的土石，通过公路上的两个道口A和 B，沿着道路AP 、BP运往公路另一侧的P处， PA=100m ，PB=150m ， APB=60 ，试说明怎样运土石最省工？讲解 :以直线l为x轴，线段AB

18、的中点为原点对立直角坐标系，则在l一侧必存在经A到 P和经 B到 P路程相等的点，设这样的点为M ，则 |MA|+|AP|=|MB|+|BP|, 即 |MA| |MB|=|BP| |AP|=50, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载750| AB, M在双曲线1625252222yx的右支上 . 故曲线右侧的土石层经道口B沿 BP运往 P处，曲线左侧的土石层经道口A沿 AP运往 P处，按这种方法运土石最省工. 相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及，其实在课本中还可找到典型的范例，你知道吗？解析几何解答题在历年的高考中常考常新, 体现在重视能力立意, 强调思维空间, 是用活题考死知识的典范. 考题求解时考查了等价转化, 数形结合 , 分类讨论 , 函数与方程等数学思想 , 以及定义法 , 配方法 , 待定系数法 , 参数法 , 判别式法等数学通法.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页