2022年数学专题复习-椭圆 .pdf

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1、学习必备欢迎下载椭圆专题复习（一）高二一部数学组刘苏文 20XX年 4 月 23 日【考纲要求】1. 掌握椭圆的定义，标准方程，了解椭圆的参数方程；2. 掌握椭圆的简单几何性质1. 椭圆的定义1. 第一定义：满足121222PFPFaaFF的动点 P 的轨迹是以12,FF 为焦点，长轴长为 2a 的椭圆2. 第二定义：到一个定点 F 与到一定直线 l 的距离之比等于一个常数e(0e1)的点的轨迹叫椭圆（注意离心率的变化与椭圆形状的变化）其中F 是椭圆的一个焦点，l 是相应于 F 的准线，定义式：101PFeePP2. 椭圆的标准方程（1）焦点12,FF 在x轴上：222210 xyabab焦点

2、1, 0Fc，2, 0Fc，且满足：222abc（2）焦点12,FF 在 y 轴上：222210yxabab焦点10,Fc，20,Fc，且满足：222abc（3）统一形式：2210,0,AxByABAB【注】,a b为椭圆的定型条件，对,a b c三个值中知道1F2F1PxlyP2F1FF1F2F精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载任意两个，可求第三个，其中,ab ac3. 椭圆的参数方程焦点在x轴上，中心在原点的椭圆的参数方程为：cossinxayb（为参数）（其中 2a为椭圆的长轴长， 2b 为椭圆

3、的短轴长）4 椭圆的简单几何性质以椭圆222210 xyabab为例说明（1）范围：axa，byb（2）对称性：椭圆的对称轴:x轴， y 轴；对称中心：原点(0, 0)O（3）顶点：长轴顶点：1, 0Aa，2, 0Aa，短轴顶点：10,Bb，20,Bb（4）离心率：cea椭圆上任一点 P到焦点的距离点P到相应准线的距离。【注】01e；e越大，椭圆越扁；21bea（5）准线：椭圆有左，右两条准线关于y 轴对称。左准线：2axc右准线：2axc（用第二定义推导）（6）焦半径：椭圆上任一点00,P xy到焦点的距离。左、右焦半径分别为110rPFaex ，220rPFaex5 点与椭圆的位置关系已知

4、椭圆22221xyCab；，点00(,)P xy，则：220022220022220022111xyabxyabxyab点P在椭圆C外点P在椭圆C上点P在椭圆C内6 关于焦点三角形与焦点弦1F2F1PxlyP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载（1）椭圆上一点 P与两个焦点12,FF 所构成的12PF F称为焦点三角形。设12F PF，则有：21 2cos1br r，当12rr（即 P为短轴顶点）时，最大，此时222cosbca(r 表示焦半径 )12PF F的面积221 201sinsintan21c

5、os2bSrrbc y当0yb（即 P为短轴顶点）时，S最大，且maxSbc1F1F22212bcPFPFb（2）经过焦点1F或2F的椭圆的弦 AB，称为焦点弦。设1122(,),(,)A xyB xy， AB的中点为00(,)M xy，则弦长1202()22ABae xxaex（左焦点取“ +” ，右焦点取“ -” ）当 ABx轴时， AB 最短，且22min2bABa7 椭圆的光学性质（了解）从椭圆的一个焦点射出的光线经椭圆反射后，经过椭圆的另一焦点。*8. 关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法1 联立方程法：联立直线和椭圆方程，消去y ，得到关于x的一元二次方程，设交点坐标为1122

6、(,), (,)xyxy，则有0 ，以及1212,xxx x ，还可进一步求出1212,yyy y。在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法2 点差法：设交点坐标为1122(,), (,)xyxy代入椭圆方程，并将两式相减，可得2121221212bxxyyxxayy，在涉及斜率、中点、范围等问题时，常用此法二 典例剖析1 求椭圆的标准方程2F1FP 2F1FAB 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载【例 1】 （1）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直， 且

7、此焦点与长轴较近的一个端点的距离为105，则椭圆方程为 _ 【例 2】求与椭圆 9x2+4y2=36 有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程。【例 3】ABC 的两个顶点坐标分别是B(0，6)和 C(0，-6)，另两边 AB、AC 的斜率的乘积是 -94，求顶点 A 的轨迹方程2 椭圆的性质【例 6】 ；椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，是一个含60 角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为（）【例 7】方程myx16m-2522=1表示焦点在 y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( ) 圆锥曲线专题复习（二）高二一部数学组刘苏文 20XX年 4 月 23 日解题小结1. 离心率是圆锥曲线的重要性质，求离

8、心率及其取值范围，就是寻找a与c或b之间的关系2. 求与椭圆有关的最值问题, 有三种方法：（1）几何法 ; （2）三角代换法 ; （3）转化函数，利用函数的单调性求最值3. 直线与椭圆的位置问题两种基本方法：（1）联立方程法 ; （2）点差法，前者涉及弦长与中点，后者涉及斜率，中点等 . 4. 关于椭圆222210 xyabab的补充性质（常在解题中遇到） ：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载椭圆的内接矩形的最大面积为2ab. 过焦点1F的直线交椭圆于P, Q 两点，则当PQ x轴时，2F PQ的面积

9、最大，且最大面积为2max2b cSa. 设右准线与x轴交于点 E，过 E点的直线与椭圆交于P, Q 两点，点 P 与点 P关于x轴对称，则直线P Q一定过椭圆的右焦点2F，且22|F PEPEQF Q. 设点 P是右 （左） 准线上任一点（不在x轴上） ，12AA、是椭圆的左右顶点， 直线1A P, 2A P与椭圆分别交于MN、两点，则直线MN一定过椭圆的右（左）焦点。过右（左）焦点的直线与椭圆交于MN、两点，12AA、是椭圆的左、右顶点，直线12AMA N、的交点一定在右（左）准线上。巩固练习一、选择题1、与椭圆9x2+4y2=36 有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是( ) (A)18

10、5y80 x)D(145y20 x)C(125y20 x)B(120y25x222222222 、 椭 圆 的 两 个 焦 点 和 短 轴 两 个 顶 点 ， 是 一 个 含60 角 的 菱 形 的 四 个 顶 点 ， 则 椭 圆 的 离 心 率 为( ) (A)21(B)23(C)33(D)21或233、椭圆13622yx中,F1、 F2为左、右焦点,A 为短轴一端点,弦 AB过左焦点F1,则ABF2的面积为（ A）3 （B）233（C）34（D）4 4、方程myx16m-2522=1 表示焦点在y轴上的椭圆，则m 的取值范围是( ) (A)-16m25 (B)-16m29(C)29m295

11、、已知椭圆xym2251的离心率 e=105，则 m 的值为( ) (A)3 (B)3 或253(C)15(D)15或53156、椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的(A)3倍(B)2倍(C)2倍(D)32倍7、椭圆 ax2by2 ab=0(ab0)的焦点坐标为( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载(A)(0，ab) (B)( ab，0) (C)(0， ba) (D)( ba，0) 8、椭圆 x2+4y2=1 的离心率为( ) (A)2)D(25)C(22)B(23

12、9、从椭圆短轴的一个端点看两焦点的视角是1200,则这个椭圆的离心率e= ( ) (A)23(B)21(C)33(D)3110、曲线19y25x22与曲线1m9ym25x22(m9)一定有( ) (A)相等的长轴长(B)相等的焦距(C)相等的离心率(D)相同的准线（09 年高考浙江卷） 已知椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上， 且BFx轴，直线AB交y轴于点P.若2APPB，则椭圆的离心率是A32B22C13D12（08 年高考数学天津理数全解全析）设椭圆1112222mmymx上一点 P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为 1，则 P点到右准线的距离为A

13、 6 B 2 C21D772（08 年高考浙江卷）已知1F、2F是椭圆的两个焦点，满足120MFMF的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A(0,1)B1(0,2C2(0,)2D2,1)2（08 年高考上海卷）设p是椭圆2212516xy上的点 .若12FF，是椭圆的两个焦点，则12PFPF等于A4 B5 C8 D10 二、填空题11.(1)中心在原点，长半轴长与短半轴长的和为92，离心率为0.6 的椭圆的方程为_；(2)对称轴是坐标轴,离心率等于32，且过点 (2，0)的椭圆的方程是_12.(1)短轴长为6，且过点 (1，4)的椭圆标准方程是_；(2)顶点 (-6，0)， (6， 0)

14、过点 (3，3)的椭圆方程是_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载13.已知椭圆xaya2222=1 的焦距为4，则这个椭圆的焦点在_轴上，坐标是_14.已知椭圆xmy2241的离率为12，则 m= 三、解答题15、求椭圆)0(12222babyax的内接矩形面积的最大值. 16已知圆22yx，从这个圆上任意一点P 向y轴作垂线段 ，求线段 的中点 M 的轨迹 . 17ABC 的两个顶点坐标分别是B(0，6)和 C(0，-6)，另两边AB、AC 的斜率的乘积是-94，求顶点A 的轨迹方程18已知椭圆的焦

15、点是)0, 1(),0, 1(21FF,为椭圆上一点，且|21FF是|1PF和|2PF的等差中项 . (1)求椭圆的方程；(2)若点 P 在第三象限，且21FPF120 ，求21tanPFF. 参考答案1.B 2.D 3.D 4.C 5.B 6.B 7.C 8.A 9.A 10.B 11. (1)xy2250321或xy2232501；(2)xy2244或41622xy12. (1)xy229181；(2)xy223612113. y，(0，-2).(0，2) 14. 3 或16315 abSabbaS22sin2sincos4max. 16 1422yx17.解：设顶点A 的坐标为),(yx

16、. 依题意得9466xyxy，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载顶点 A 的轨迹方程为)6(1368122yyx. 说明：方程1368122yx对应的椭圆与y轴有两个交点，而此两交点为（，）与(0，6)应舍去 . 18 解： (1)由题设1PF2PF21FF 4 42a， 2c=2，3椭圆的方程为13422yx. （）设21PFF，则12FPF 60 由正弦定理得：)60sin(120sinsin1221PFPFFF由等比定理得：)60sin(120sinsin2121PFPFFF)60sin(234sin2整理得：)cos1(3sin553c o s1s i n故232t a n11352531532tantan21PFF. PF2F1xOy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页