2022年怀化学院省级精品课程-高等代数教案第六章线性空间 .pdf

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1、名师精编优秀教案第六章 线性空间1 集合映射一、集合集合是数学中最基本的概念之一，所谓集合就是指作为整体看的一堆东西.组成集合的东西称为这个集合的元素.用Ma表示 a是集合M的元素，读为： a属于M.用Ma表示 a不是集合M的元素，读为： a不属于M. 所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的.因此给出一个集合的方式不外两种，一种是列举法：列举出它全部的元素，一种是描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质. 设M是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成具有的性质aaM|. 不包含任何元素的集合称为空集 ，记作. 如果两个集合M与N含有完全相同的元素， 即Ma当且仅当Na，那么它

2、们就称为相等，记为NM. 如果集合M的元素全是集合N的元素，即由Ma可以推出Na， 那么M就称为N的子集合，记为NM或MN. 两个集合M和N如果同时满足NM和MN.，则M和N相等 . 设M和N是两个集合，既属于M又属于N的全体元素所成的集合称为M与N的交，记为NM. 属于集合M或者属于集合N的全体元素所成的集合称为M与N的并， 记为NM. 二、映射设M和M是两个集合，所谓集合M到集合M的一个映射就是指一个法则， 它使M中每一个元素 a都有M中一个确定的元素a与之对应 .如果映射使元素Ma与元素Ma对应，那么就记为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

3、 - -第 1 页，共 28 页名师精编优秀教案aa)(, a就称为 a在映射下的像，而 a称为a在映射下的一个 原像 . M到M自身的映射，有时也称为M到自身的变换 . 关于M到M的映射应注意：1）M与M可以相同，也可以不同；2）对于M中每个元素 a，需要有M中一个唯一确定的元素a与它对应；3）一般，M中元素不一定都是M中元素的像；4）M中不相同元素的像可能相同；5）两个集合之间可以建立多个映射. 集合M到集合M的两个映射及， 若对M的每个元素 a 都有)()(aa则称它们相等，记作. 例 1M是全体整数的集合，M是全体偶数的集合，定义Mnnn,2)(, 这是M到M的一个映射 . 例 2M是

4、数域P上全体 n级矩阵的集合，定义MAAA, |)(1. 这是M到P的一个映射 . 例 3M是数域P上全体 n级矩阵的集合，定义PaaEa,)(2. E是 n级单位矩阵，这是P到M的一个映射 . 例 4 对于)(xPxf,定义)()(xfxf这是xP到自身的一个映射 . 例 5 设M，M是两个非空的集合，0a 是M中一个固定的元素，定义Maaa,)(0. 这是M到M的一个映射 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 28 页名师精编优秀教案例 6 设M是一个集合，定义Maaa,)(. 即把M的每个元素都映到它自身，称为集合M

5、的恒等映射或单位映射，记为M1. 例 7 任意一个定义在全体实数上的函数)(xfy都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形. 对于映射可以定义乘法,设及分别是集合M到M，M到M的映射，乘积定义为Maaa,)()(, 即相继施行和的结果，是M到M的一个映射 . 对于集合集合M到M的任何一个映射显然都有MM11. 映射的乘法适合结合律.设,分别是集合M到M，M到M，M到M的映射，映射乘法的结合律就是)()(. 设是集合M到M的一个映射，用)(M代表M在映射下像的全体，称为M在映射下的像集合 .显然MM )(. 如果MM )(，映射称为映上的或满射 . 如果在映射下，M中不同元

6、素的像也一定不同，即由21aa一定有)()(21aa,那么映射就称为11的或单射 . 一个映射如果既是单射又是满射就称11对应或双射 . 对于M到M的双射可以自然地定义它的逆映射，记为1.因为为满精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 28 页名师精编优秀教案射，所以M中每个元素都有原像，又因为是单射，所以每个元素只有一个原像，定义aaaa)(,)(1当. 显然，1是M到M的一个双射，并且MM1,111. 不难证明，如果,分别是M到M，M到M的双射，那么乘积就是M到M的一个双射 . 精选学习资料 - - - - - - - -

7、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 28 页名师精编优秀教案2 线性空间的定义与简单性质一、线性空间的定义 . 例 1 在解析几何里 , 讨论过三维空间中的向量. 向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量算法. 不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的. 10按平行四边形法则所定义的向量的加法是V3的一个运算 ; 20解析几何中规定的实数与向量的乘法是RV3到 V3的一个运算 . 30由知道, 空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律. 例 2. 数域P上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满足上述规律 . 定义 1 令

8、V是一个非空集合，P是一个数域 . 在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说给出了一个法则， . 对于V中任意两个向量与, 在V中都有唯一的一个元素与它们对应 , 称为与的和, 记为.在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域P中任一个数k与V中任一个元素, 在V中都有唯一的一个元素与它们对应 , 称为k与的数量乘积 , 记为k. 如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域P上的线性空间 . 加法满足下面四条规则： : 1) ；2)()(；3) 在V中有一个元素0,V, 都有0（具有这个性质的元素0称为V的零元素）；4)0,stVV(称为的

9、负元素 ) . 数量乘法满足下面两条规则：5) 1; 6) )()(kllk; 数量乘法与加法满足下面两条规则：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 28 页名师精编优秀教案7) lklk)(; 8) ;(kkk）在以上规则中，lk,等表示数域P中任意数；,等表示集合V中任意元素 . 例 3 数域P上一元多项式环xP, 按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P上的线性空间 . 如果只考虑其中次数小于n 的多项式，再添上零多项式也构成数域P上的一个线性空间，用nxP表示. 例 4 元素属于数域P的nm矩阵，按矩阵的加

10、法和数与矩阵的数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，用nmP表示. 例 5 全体实函数，按函数加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间 . 例 6 数域P按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间. 例 7 以下集合对于所指定的运算是否作成实数域R上的线性空间 : 1) 平面上全体向量所作成的集合V, 对于通常向量的加法和如下定义的纯量乘法 : VRaa,0.2) R上 n次多项式的全体所作成的集合W对于多项式的加法和数与多项式的乘法 .例 8 设V是正实数集 , R为实数域 . 规定( 即与的积), a=a(即的 a次幂), 其中RaV ,. 则V对于加法和数乘作成R上的线

11、性空间 . 二线性空间的简单性质线性空间的元素也称为向量. 当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多 . 线性空间有时也称为向量空间. 以下用黑体的小写希腊字母,代表线性空间V中的元素，用小写拉丁字母,cba代表数域P中的数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 28 页名师精编优秀教案1. 零元素是唯一的 . 证明： 设0与0均是零元素，则由零元素的性质，有0000；2. 负元素是唯一的 . 证明：V，设,都是的负向量，则0()()0，于是命题得证。由于负向量唯一，我们用代表的负向量。我们定义二元运算减法“ -”如

12、下：定义为()。3.)1( ;00;00k4. 如果0k, 那么0k或者0.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 28 页名师精编优秀教案3 维数基与坐标一、向量的线性相关与线性无关定义 2 设V是数域P上的一个线性空间，r,.21)1(r是V一组向量,rkkk,21是数域P中的数，那么向量rrkkk2211.称为向 量组r,.21的一个 线 性组合 ，有时 也说 向量可以 用向量组r,.21线性表出 . 定义 3设r,.21; (1)s.,21 (2) 是V中两个向量组，如果（ 1）中每个向量都可以用向量组（2）线性表出，那

13、么称向量（ 1）可以用向量组（ 2）线性表出 . 如果（1）与（2）可以互相线性表出，那么向量组（ 1）与（ 2）称为等价的 . 定义 4 线性空间V中向量r,.21)1(r称为线性相关 ，如果在数域P中有 r 个不全为零的数rkkk,21，使0.2211rrkkk. (3) 如 果向 量r,.21不线 性相 关， 就称 为 线 性 无 关. 换 句 话 说 ， 向 量 组r,.21称为线性无关 ，如果等式（ 3）只有在021rkkk时才成立 . 几个常用的结论：1. 单个向量线性相关的充要条件是0. 两个以上的向量r,.21线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合. 2. 如果

14、向量组r,.21线性无关，而且可以被s.,21线性表出，那么sr. 由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必含有相同个数的向量. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 28 页名师精编优秀教案3. 如果向量组r,.21线性无关，但,.21r线性相关，那么可以由被r,.21线性表出，而且表示法是唯一的. 在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的一个重要属性 . 定义 5 如果在线性空间V中有 n个线性无关的向量， 但是没有更多数目的线性无关的向量，那么V就称为 n 维的；如果在V中可以找到任意多个线性无关

15、的向量，那么V就称为无限维的 . 定义 6 在 n维线性空间V中，n个线性无关的向量n,21称为V的一组基 . 设是V中任一向量，于是,21n线性相关，因此可以 被基n,21线性表出：nnaaa2211. 其中系数naaa,21是被向量和基n,21唯一确定的，这组数就称为在基n,21下的坐标，记为),(21naaa. 由以上定义看来，在给出空间V的一组基之前，必须先确定V的维数 . 定理 1 如果在线性空间V中有 n个线性无关的向量n,.21，且V中任一向量都可以用它们线性表出，那么V是 n维的，而n,.21就是V的一组基. 例 1在线性空间nxP中，12, 1nxxx是 n个线性无关的向量，

16、而且每一个次数小于n的数域P上的多项式都可以被它们线性表出，所以nxP是 n维的，而12, 1nxxx就是它的一组基 . 例 2 在 n维的空间nP中，显然精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 28 页名师精编优秀教案)1 ,0 ,0(),0, 1 ,0(),0,0 ,1 (21n是一组基 .对于每一个向量),(21naaa,都有nnaaa2211. 所以),(21naaa就是向量在这组基下的坐标 . 例 3 如果把复数域C看作是自身上的线性空间，那么它是一维的，数1 就是一组基 , 把复数域C看作是实数域上的线性空间，那么它

17、就是二维的，数1 与i就是一组基 .这个例子告诉我们，维数是和所考虑的数域有关的. 例 4求证：向量组12,xxee的秩等于 2（其中12）证明：方法一：设Pkk21,，满足12120 xxk ek e，则1212xxk ek e，假若12,k k 不全为零，不妨设10k，则有12()21xkek，而由于12，等号左边为严格单调函数，矛盾于等号右边为常数.于是120kk. 所以12,xxee线性无关，向量组的秩等于2. 方法二：若在( , )a b上12120 xxk ek e，两端求导数，得1211220 xxkeke，以( , )xca b代入，12121211220,0.cccck ek

18、 ekeke而121222()2112()0ccccceeeee，于是120kk. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 28 页名师精编优秀教案4 基变换与坐标变换在 n 维线性空间中，任意n个线性无关的向量都可以取作空间的基. 对于不同的基，同一个向量的坐标一般是不同的. 随着基的改变，向量的坐标是怎样变化的. 设n,21与n,21是 n维线性空间V中两组基，它们的关系是.,22112222112212211111nnnnnnnnnnaaaaaaaaa (1) 设向量在这两组基下的坐标分别是),(21nxxx与),(21

19、nxxx，即.22112211nnnnxxxxxx (2) 现在的问题就是找出),(21nxxx与),(21nxxx的关系 . 首先指出， (1) 中各式的系数njaaanjjj,2 , 1,),(21实际上就是第二组基 向量),2,1(njj在第一组基下的 坐标 . 向量n,21的线性无关性就保证了 (1) 中系数矩阵的行列式不为零. 换句话说，这个矩阵是可逆的 . 为了写起来方便，引入一种形式的写法. 把向量.2211nnxxx写成nnxxx2121),(, (3) 也就是把基写成一个n1矩阵，把向量的坐标写成一个1n矩阵，而把向量看作是这两个矩阵的乘积 . 所以说这种写法是”形式的”，在

20、于这里是以向量作为矩阵的元素，一般说来没有意义. 不过在这个特殊的情况下，这种约定的用法是不会出毛病的 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 28 页名师精编优秀教案相仿地， (1) 可以写成nnnnnnnnaaaaaaaaa2122221112112121),(),(. (4) 矩阵nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211称为由基n,21到n,21的过渡矩阵 ，它是可逆的 . 在利用形式写法来作计算之前，首先指出这种写法所具有的一些运算规律. 设n,21和n,21是V中两个向量组，ijijbBaA,是两

21、个nn矩阵，那么;)(,(),(2121ABBAnn;)(,(),(),(212121BABAnnn.),(),(),(22112121AAAnnnn现在回到本节所要解决的问题上来. 由(2) 有nnxxx2121),(. 用(4) 代入，得nnnnnnnnxxxaaaaaaaaa2121222211121121),(. 与(3) 比较，由基向量的线性无关性，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 28 页名师精编优秀教案nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121, (5) 或者nnnnn

22、nnnxxxaaaaaaaaaxxx21121222211121121. (6) (5) 与(6) 给出了在基变换 (4) 下，向量的坐标变换公式 . 例 1 在3 例 2 中有111011001),(),(2121nn111011001A就是过渡矩阵 . 不难得出10000010000100011A. 因此nnxxxxxx21211000001000010001也就是)2(,111nixxxxxiii，. 与3 所得出的结果是一致的 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 28 页名师精编优秀教案例 2 取2V 的两个彼

23、此正交的单位向量21,它们作成2V 的一个基 . 令21,分别是由21,旋转角所得的向量，则21,也是2V 的一个基，有sinsinsincos212211所以21,到21,的过渡矩阵是cossinsincos. 设2V 的一个向量关于基21, 和 21, 的坐标分别为),(21xx与(21, xx).于是由 (5)得,cossinsincos2121xxxx即.cossin,sincos212211xxxxxx这正是平面解析几何里，旋转坐标轴的坐标变换公式. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 28 页名师精编优秀教案5

24、 线性子空间一、线性子空间的概念定义 7 数域P上的线性空间V的一个非空子集合W称为V的一个线性子空间（或简称子空间），如果W对于V的两种运算也构成数域P上的线性空间 . 定理 2如果线性空间V的一个非空集合W对于V两种运算是封闭的， 也就是满足上面的条件1，2，那么W就是一个子空间 . 既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面引入的概念，如维数、基、坐标等，当然也可以应用到线性子空间上. 因为要线性子空间中不可能比在整个子空间中有更多数目线性无关的向量. 所以，任何一个线性子空间的维数不能超过整个空间的维数 .例 1 在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做 零子空

25、间 . 例 2 线性空间V本身也是V的一个子空间 . 在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间有时叫做V的平凡子空间，而其它的线性子空间叫做非平凡子空间. 例 3 在全体实函数组成的空间中，所有的实系数多项式组成一个子空间. 例 4 nxP是线性空间xP的子空间 . 例 5 在线性空间nP中，齐次线性方程组0,0,0221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组的解空间. 解空间的基就是方程组的基础解系，它的维数等于rn，其中 r 为系数矩阵的秩 . 二、生成子空间设r,21是线性空间V

26、中一组向量，这组向量所有可能的线性组合rrkkk2211所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因而是V的一个子空间， 这个子空精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 28 页名师精编优秀教案间叫做由r,21生成的子空间，记为),(21rL. 由子空间的定义可知，如果V的一个子空间包含向量r,21，那么就一定包含它们所有的线性组合，也就是说，一定包含),(21rL作为子空间 . 在有限维线性空间中，任何一个子空间都可以这样得到. 事实上，设W是V的一个子空间，W当然也是有限维的 . 设r,21是W的一组基，就有),(21rLW

27、. 定理 3 1) 两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价.2 ）),(21rL的维数等于向量组r,21的秩. 定理 4 设W是数域P上 n维线性空间V的一个 m维子空间，m,21是W的一组基，那么这组向量必可扩充为整个空间的基. 也就是说，在V中必定可以找到mn个向量nmm,21使得n,21是V的一组基 . 结 论数 域P上 线 性 空 间V的 一 个 非 空 子 集W是V的 一 个 子 空 间WbaWFba都有,. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 28 页名师精编优秀教案6 子空间的交与和定理 5 如

28、果1V ,2V 是线性空间V的两个子空间，那么它们的交21VV也是V的子空间 . 只需要证明12VV 关于加法与数乘封闭即可. 事实上，12,VV ，则1,V ，2,V 。由于12,V V 均是 V 的子空间 ， 则12,VV ， 于 是12VV ，12VV 关 于 加 法 封 闭 ，12VV ，kK，12,kvV kvV ，于是12kvVV ，12VV 关于数乘封闭 . 由集合的交的定义有，子空间的交适合下列运算规律：1221VVVV(交换律 ) ，)()(321321VVVVVV（结合律） . 由结合律，可以定义多个子空间的交：siisVVVV121, 它也是子空间 . 定义 8 设1V

29、,2V 是线性空间V的子空间，所谓1V 与2V 的和，是指由所有能表示成21, 而2211,VV的向量组成的子集合，记作21VV. 定理 6 如果1V ,2V 是线性空间V的子空间，那么它们的和21VV也是V的子空间. 只需要证明12VV 关于加法与数乘封闭即可 . 事实上，12,VV ，则由12VV 的定义，111222,VV ，使得1212,，而111222,VV ，则1212112212()()()()VV ，12VV 关于加法封闭，12,VV kK ，1122,VV ， 使得12， 由于1122,kV kV ，则121212()kkkkVV ，12VV 关于数乘封闭 .精选学习资料 -

30、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 28 页名师精编优秀教案由定义有，子空间的和适合下列运算规律：1221VVVV( 交换律 )，)()(321321VVVVVV（结合律） . 由结合律，可以定义多个子空间的和siisVVVV121. 它是由所有表示成),2,1(,21siViis的向量组成的子空间 . 关于子空间的交与和有以下结论：1. 设WVV,21都是子空间，那么由1VW与2VW可推出21VVW；而由1VW与2VW可推出21VVW. 2. 对于子空间1V 与2V ，以下三个论断是等价的：1）;21VV2) 121VVV; 3)221

31、VVV. 例 1 在三维几何中用1V 表示一条通过原点的直线，2V 表示一张通过原点而且与1V 垂直的平面，那么，1V 与2V 的交是 0 ，而1V 与2V 的和是整个空间 . 例 2 在线性空间nP中，用1V 与2V 分别表示齐次方程组0,0,0221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa与精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 28 页名师精编优秀教案0,0,0221122221211212111ntnttnnnnxbxbxbxbxbxbxbxbxb的解空间，那么21VV就是齐

32、次方程组0,0,0,02211121211122111212111ntnttnnnsnssnnxbxbxbxbxbxbxaxaxaxaxaxa的解空间 . 例 3 在一个线性空间V中，有),(),(),(112121tstsLLL. 关于两个子空间的交与和的维数，有以下定理. 定理 7（维数公式） 如果1V ，2V 是线性空间V的两个子空间，那么维（1V ）+维（2V ）=维（21VV）+维（21VV）. 证明：设1dim Vs，2dimVt ，12dim()VVn，12dim()VVr ，取12VV的一组基12,r（若12VV =0，则0r，基为空集）， 将此基分别扩充为12,V V的基12

33、12,rs r，1212,rtr，只需要证明121212,rs rtr是12VV 的一组基即可 . 首先，易见12VV 中的任一向量都可以被121212,rs rtr线性表出 .事实上，12VV ，则12，其中1122,VV ，而11 1221122,rrrrss rkkkkkk211221122.rrrrttrllllll,ijk lK精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 28 页名师精编优秀教案于是12可被121212,rlrtr线性表出 .只要再证明向量组121212,rlrtr线性无关即可 .设11221122112

34、20rrs rs rtrt rkkkaaabbb，其中,ijhk a bK ，则112211221122rrs rs rtrtrkkkaaabbb， （*）于是112211221rrsrs rkkkaaaV ，11222t rt rbbbV ，于是1122112212rrsrsrkkkaaaVV ，记为. 则可被12,r线性表示，因而1 122rrhhh，带入（ *） ，有112211220rrt rtrhhhbbb，由于1212,rtr是2V 的一组基，所以线性无关，则12120rtrhhhbbb，带回（ *） ，又有12120rs rkkkaaa，于是向量组121212,rs rtr线性无

35、关 . 从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数的和来得小. 推论 如果 n维线性空间V中两个子空间1V ，2V 的维数之和大于 n ，那么1V ，2V 必含有非零的公共向量 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 28 页名师精编优秀教案7 子空间的直和定义 9 设21,VV是线性空间V的子空间，如果和21VV中每个向量的分解式221121,VV是唯一的，这个和就称为直和，记为21VV. 定理 8 和21VV是直和的充要条件是等式)2,1(,021iVii只有在i全为零时才成立 . 推论 和21VV是直和021VV. 定

36、理 9 设21,VV是线性空间V的子空间，令21VVW，则21VVW维(W)=维(1V )+维(2V ). 定理 10 设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W使WUV. 子空间的直和的概念可以推广到多个子空间的情形. 定义 10 设sVVV,21都是线性空间V的子空间，如果和sVVV21中每个向量的分解式),2, 1(,21siViis是唯一的，这个和就称为直和，记为sVVV21. 定理 11sVVV,21是线性空间V的一些子空间，下面这些条件是等价的：1）iVW是直和；2）零向量的表法唯一；3）),2,1(0siVVijji; 4）维(W)=)(iV维. 证明1 )2 )显然

37、.2)1)设1212,mm则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 28 页名师精编优秀教案1122()()()0mm. 由 2）知，零向量的表示法唯一，于是,1,2,iiim，即的表示法唯一 .由直和的定义可知，21mVVV 是直和 . 2)3)假若存在某个,1iim，使得1?()0iimVVVV，则存在向量0且1?()iimVVVV，于是存在jjV ，使得1?im. 由线性空间的定义，1?()iimVVVV，则1()()0m，与零向量的表示法唯一矛盾，于是1?()0,1,2,iimVVVVim. 3)2)若 2）不真，则有

38、10im，其中(1,2,)jjVjm 且0i。于是11?()iimiimVVVV，与 3）矛盾，于是 2）成立 . 3)4)对 m 作归纳法 .m=2 时，由维数公式得到12121212dim()dimdimdim()dimdimVVVVVVVV . 设1(3)mm已证，12121121121dim()dimdim()dim()dimdim(),mmmmmmmVVVVVVVVVVVVVVV而,11iim，都有111垐()()0iimiimVVVVVVVV；用归纳假设，可以得到1212dim()dimdimdimmmVVVVVV ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

39、- - - - - - -第 22 页，共 28 页名师精编优秀教案4)3),1iim，都有1112垐dim()dim( )dim() dim()0iimiimmVVVVVVVVVVV，于是1?()0,1,2,iimVVVVim. 命题设21mVVVV ，则21,mV VV 的基的并集为V的一组基 . 证明设12,riiii是iV 的一组基，则V中任一向量可被121,rimiiii线性表出。又121dimdimmimiVVrrr，由命题，它们线性无关，于是它们是V的一组基 . 定义设1V 为V的子空间， 若子空间2V 满足12VVV ，则称为1V 的补空间 . 命题有限维线性空间的任一非平凡子

40、空间都有补空间. 证明设1V 为P上的 n 维线性空间V的非平凡子空间，取1V 的一组基12,r， 将 其 扩 为V的 一 组 基1212,rrrn. 取212(,)rrnVL，则有12VVV ，且1212dimdimdim()VVnVV，于是12VVV ，即2V 是1V 的补空间 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 28 页名师精编优秀教案8 线性空间的同构设n,21是线性空间V的一组基，在这组基下，V中每个向量都有确定的坐标，而向量的坐标可以看成nP元素，因此向量与它的坐标之间的对应实质上就是V到nP的一个映射 .

41、 显然这个映射是单射与满射，换句话说，坐标给出了线性空间V与nP的一个双射 . 这个对应的重要性表现在它与运算的关系上. 设nnaaa2211,nnbbb2211而向量,的坐标分别是),(21naaa,),(21nbbb，那么nnnbababa)()()(222111; nnkakakak2211. 于是向量, k的坐标分别是),(),(),(21212211nnnnbbbaaabababa, ),(),(2121nnaaakkakaka. 以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它们的运算就可以归结为它们坐标的运算.因而线性空间V的讨论也就可以归结为nP的讨论 . 定义 11数域P上两个线性空间

42、V与V称为同构的， 如果由V到V有一个双射，具有以下性质：1）)()()(; 2).()(kk其中,是V中任意向量，k是P中任意数 .这样的映射称为同构映射 . 前面的讨论说明在 n维线性空间V中取定一组基后， 向量与它的坐标之间的对应就是V到nP的一个同构映射 .因而，数域P上任一个 n维线性空间都与nP同构. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 28 页名师精编优秀教案由定义可以看出， 同构映射具有下列性质：1. )()(,0)0(. 2. )()()()(22112211rrrrkkkkkk. 3. V中向量组r,2

43、1线性相关它们的象)(,),(),(21r线性相关 . 因为维数就是空间中线性无关向量的最大个数，所以由同构映射的性质可以推知，同构的线性空间有相同的维数. 4. 如果1V 是V的一个线性子空间，那么，1V 在下的象集合11|)()(VV是)(V的子空间，并且1V 与)(1V维数相同 . 5. 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射. 同构作为线性空间之间的一种关系，具有反身性、对称性与传递性. 既然数域P上任意一个n维线性空间都与nP同构， 由同构的对称性与传递性即得，数域P上任意两个n维线性空间都同构 . 定理 12 数域P上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数.

44、 由线性空间的抽象讨论中， 并没有考虑线性空间的元素是什么，也没有考虑其中运算是怎样定义的，而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性质. 从这个观点看来，同构的线性空间是可以不加区别的. 因之，定理 12 说明了，维数是有限维线性空间的唯一的本质特征. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 28 页名师精编优秀教案第六章、线性空间 (小结) 线性空间是线性代数的 中心内容 ，是几何空间的抽象和推广， 线性空间的概念具体展示了代数理论的抽象性和应用的广泛性. 一、线性空间1. 线性空间的概念2. 线性间的性质(1) 线性空间的

45、零元，每个元素的负元都是唯一的；(2) )1(;0,00orkk.二、基、维数和坐标1基本概念 ：线性表示（组合）；向量组等价；线性相关（无关） ；基、维数和坐标；过渡矩阵 . 2基本结论(1) 线性相关性的有关结论 . (2) 在 n维线性空间V中，任意 n个线性无关的向量都作成V的一个基；任意)(nmm个线性无关的向量都可扩充为V的一个基；任意)(nss个向量都是线性相关的 .(3) 若在线性空间V中有 n个线性无关的向量n,21, 且V中任意向量都可由它线性表示，则V是 n维的，而n,21就是V的一个基 .(4) 设n,21 和n,21 是 n维线性空间V的两个基，A是由基n,21 到基

46、n,21 的过渡矩阵，),(21nxxx和),(21nyyy分别是向量在这两个基下的坐标，则A是可逆的，且nnyyyAxxx2121三、线性子空间及其形成1基本概念 ：子空间；生成子空间；子空间的和与直和. 2基本结论 ：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 28 页名师精编优秀教案(1) 线性空间V的非空子集合W作成V的子空间W对于V的两种运算封闭. (2) 线性空间V的两个子空间的交与和仍为子空间.(3)( 维数公式 ) 若21,VV是线性空间V的两个有限维子空间，则)dim()dim()dim()dim(212121V

47、VVVVV(4),(),(dim2121nnrankL. ),(),(2121nmLL向量组 m,21与n,21等价. (5) 设U是 线性 空间V的 一个 子空 间， 则存 在 一 个 子 空 间W， 使 得WUV，此时称W为U的一个余子空间 . (6) 设sVVV,21是线性空间V的子空间，下面这些条件等价：iVW是直和；零向量的表示法唯一；);, 2, 1(,0tiVVijjiiVWdimdim.四、线性空间的同构1. 同构的定义2. 同构映射的基本性质 ：(1) 线性空间的同构映射保持零元，负元，线性组合，线性相关性；(2) 同构映射把子空间映成子空间；(3) 线性空间的同构关系具有反

48、身性，对称性和传递性；(4) 数域P上两个有限维线性空间同构它们有相同的维数，因而，每一个数域P上的 n维线性空间都与 n元数组所成的线性空间nP同构.本章的 重点 是线性空间的概念，子空间的和，基与维数；难点是线性空间定义的抽象性，线性相关和子空间的直和. 本章的基本题型主要有： 线性空间，子空间的判定或证明，线性相关与无关精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 28 页名师精编优秀教案的判定或证明，基与维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法， 直和及同构的判定或证明. 本章的基本内容及其内在联系可用下图来说明：线 性 空 间线性相关性子空间极大无关组子空间的交与和基、维数和坐标子空间的直和同构余子空间精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 28 页