2022年高中数学公式大全整理 .pdf

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1、高中数学公式大全（简化版）目录1 集合与简易逻辑 01 2 函数 02 3 导数及其应用07 4 三角函数09 5 平面向量10 6 数列11 7 不等式12 8 立体几何与空间向量13 9 直线与圆16 10 圆锥曲线18 11 排列组合与二项式定理19 12 统计与概率20 13 复数与推理证明23 01. 集合与简易逻辑1. 元素与集合的关系UxAxC A,UxC AxA. 2集合运算全集 U：如 U=R 交集：BxAxxBA且并集：BxAxxBA或补集：AxUxxACU且3集合关系空集A子集BA: 任意BxAxBABBABAABA注：数形结合- 文氏图、数轴4. 包含关系ABAABBU

2、UABC BC AUAC BUC ABR5集合12,na aa的子集个数共有2n个；真子集有2n 1 个；非空子集有2n1 个；非空的真子集有2n 2个. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页6. 真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假7. 常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于（小于等于）至少有n个至多有（1n）个小于不小于（大于等于）至多有n个至少有（1n）个对所有x，成立存在某x，不成立p或qp且q对任何x，不成立存在某x，成立

3、p且qp或q8. 四种命题原命题：若p则q 逆命题：若q则p 否命题：若p则q逆否命题：若q则p原命题与逆否命题真假相同否命题与逆命题真假相同9. 充要条件（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件 . （2）必要条件：若qp，则p是q必要条件 . （3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件 . 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.02. 函数1. 函数的单调性(1) 设2121,xxbaxx那么1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2

4、121在上是减函数 . 对于复合函数的单调性：fg x同增异减（即fx与g x的增减性相同， 那么符合函数就是增函数（同增）；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页fx与g x的增减性相反，那么符合函数就是减函数（异减）(2) 设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数. 2函数的奇偶性判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称。f(x)偶函数()( )fxf xf(x)图象关于y轴对称f(x)奇函数()( )fxf xf(x)图象关于原点对称注：f(x)有奇偶性

5、定义域关于原点对称f(x) 奇函数 ,在 x=0 有定义f(0)=0 对于复合函数：fg x内偶则偶，两奇为奇奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 ; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数若函数)(xfy是偶函数， 则)()(axfaxf；若函数)(axfy是偶函数， 则)()(axfaxf对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立 , 则函数)(xf的对称轴是函数2bax; 两个函数)(axfy与)(xbfy的图象关于直线2bax对称 . 若)()(axfxf, 则函

6、数)(xfy的图象关于点)0,2(a对称 ; 若)()(axfxf, 则函数)(xfy为周期为a2的周期函数 . 多项式函数110( )nnnnP xa xaxa的奇偶性多项式函数( )P x是奇函数( )P x的偶次项的系数全为零. （常数按偶次项看待) 多项式函数( )P x是偶函数( )P x的奇次项的系数全为零. 3. 函数的周期性T 是( )f x周期()( )f x Tf x 恒成立（常数0T）（1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a；（2）0)()(axfxf，或)0)()(1)(xfxfaxf，或1()( )f xaf x( ( )0)f x, 4.函数( )yf x

7、的图象的对称性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页 (1)函数( )yf x的图象关于直线xa对称()()f axf ax(2)( )faxf x. (2)函数( )yf x的图象关于直线2abx对称()()f amxf bmx两个函数图象的对称性 (1)函数( )yf x与函数()yfx的图象关于直线0 x( 即y轴) 对称 . (2)函数)(xfy和)(1xfy的图象关于直线y=x 对称 . 若将函数)(xfy的图象右移a、上移b个单位，得到函数baxfy)(的图象；若将曲线0),(yxf的图象右移a、上移b个单

8、位，得到曲线0),(byaxf的图象 . 互为反函数的两个函数的关系abfbaf)()(1. 几中常见抽象函数原型 (1)()( )( ),(1)f xyf xfyfc. 正比例函数( )f xcx(2)()( )( ),(1)0f xyf x fyfa. 指数函数( )xf xa(3)()( )( ),( )1(0,1)f xyf xf yf aaa. 对数函数( )logaf xx(4)()( )( ),(1)f xyf x f yf. 幂函数( )f xx(5 ） ，()( ) ( )( ) ( )f xyf x f yg x g y，0( )(0)1,lim1xg xfx. 余弦函数(

9、 )cosf xx, 正弦函数( )sing xx5. 二次函数解析式的三种形式(1) 一般式2( )(0)fxaxbxc a; (2) 顶点式2( )()(0)fxa xhk a; (3) 零点式12( )()()(0)fxa xxxxa. 闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2acbxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在abx2处及区间的两端点处取得，具体如下：(1) 当 a0 时，若qpabx,2，则minmaxmax( )(),( )( ),( )2bf xff xfpf qa；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，

10、共 23 页qpabx,2，maxmax( )( ),( )f xf pf q，minmin( )( ),( )f xf pf q. (2) 当 a 0 时，有22xaxaaxa. 22xaxaxa或xa. 6. 无理不等式（1）( )0( )( )( )0( )( )f xf xg xg xf xg x . （2）2( )0( )0( )( )( )0( )0( ) ( )f xf xf xg xg xg xf xg x或. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页（3）2( )0( )( )( )0( )( )f

11、xf xg xg xf xg x. 7. 指数不等式与对数不等式(1) 当1a时 , ( )( )( )( )fxg xaafxg x; ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x. (2) 当01a时, ( )( )( )( )fxg xaafxg x; ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x08. 立体几何与空间向量1三视图正视图、侧视图、俯视图（长对正、高平齐、宽相等）2直观图斜二测画法X OY=450平行 X轴的线段，保平行和长度平行 Y轴的线段，保平行，长度变原来一半3体积与侧面积

12、V柱=S底h V锥 =31S底h V球 =34R3S圆锥侧=rl S圆台侧=lrR)( S球表=24 R4公理与推论确定一个平面的条件：不共线的三点一条直线和这直线外一点两相交直线两平行直线公理 ：平行于同一条直线的两条直线平行定理 ：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。5. 平行的判定与性质线面平行 ：ab，ab,aa，ba,ab面面平行 ：AB，AC平面ABC，aaab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页6垂直的判定与性质线面垂直 ：ABCpACpABp面,面面垂直 ：aa,如果一个平面经过

13、另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面垂直；若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直三垂线定理 ：aPAaAOPO,aAOaPAPO,在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直逆定理？7空间角、距离的计算异面直线所成的角范围（ 0， 90 平移法：转化到一个三角形中，用余弦定理直线和平面所成的角范围 0 ， 90 定义法：找直线在平面内射影，转为解三角形二面角范围 0 ， 180定义法：作出二面角的平面角，转为解三角形点到平面的距离体积法 - 用三棱锥体积公式注：计算过程， “一作二证三求” ，都要写出8立体几何中的空间向量解法法向量求

14、法 ：设平面 ABC的法向量n=（x,y ）0,0,ACnABnACnABn解方程组，得一个法向量n异面直线所成角cos|cos,|a br r=121212222222111222| |x xy yz za babxyzxyzr rrr（其中（090oo）为异面直线a b,所成角，,a br r分别表示异面直线a b,的方向向量）线面角：直线与面的夹角nABnABABn,cossin（其中n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，AB与平面所成的角为）二面角： 设12,n n是面,的法向量，二面角l的大小为，则21,coscosnn或21,cosnnaPOAABC精选学习资料 - - - -

15、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页即二面角大小等于21,nn或12,n n点到面距离：若n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线段，且B，9棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比10. 球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:

16、 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为612a, 外接球的半径为64a.09. 直线与圆 1. 倾斜角范围0,注：直线向上方向与x轴正方向所成的最小正角，倾斜角为90时，斜率不存在2. 斜率公式2121tanyykxx（111(,)P x y、222(,)P xy）. 3. 直线的五种方程（1）点斜式11()yyk xx ( 直线l过点111(,)P x y，且斜率为k) （2）斜截式ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距 ). （3）两

17、点式112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)P x y、222(,)P xy (12xx). (4) 截距式1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、) （5）一般式0AxByC( 其中 A、B不同时为0). 4. 两条直线的平行和垂直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页(1) 若111:lyk xb，222:lyk xb121212|,llkkbb; 12121llkk. (2) 若1111:0lA xB yC,2222:0lA xB yC, 且 A1、A2、B1、B2都不为零 , 1111

18、2222|ABCllABC；1212120llA AB B；5四种常用直线系方程(1) 定点直线系方程：经过定点000(,)P xy的直线系方程为00()yyk xx( 除直线0 xx), 其中k是待定的系数 ; 经过定点000(,)P xy的直线系方程为00()()0A xxB yy, 其中,A B是待定的系数(2) 共点直线系方程：经过两直线1111:0lAxB yC,2222:0lA xB yC的交点的直线系方程为111222()()0A xB yCA xB yC( 除2l) ，其中 是待定的系数(3) 平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程与直线0

19、AxByC平行的直线系方程是0AxBy(0) ， 是参变量(4) 垂直直线系方程：与直线0AxByC (A 0，B 0) 垂直的直线系方程是0BxAy, 是参变量6. 距离公式两点间距离 ：|AB|=221221)()(yyxx点到直线距离：0022|AxByCdAB( 点00(,)P xy, 直线l：0AxByC).7. 圆的四种方程（1）圆的标准方程222()()xaybr. （2）圆的一般方程220 xyDxEyF(224DEF0). 圆心,22DE半径2242DEFr（3）圆的直径式方程1212()()()()0 xxxxyyyy( 圆的直径的端点是11(,)A x y、22(,)B

20、xy).8. 圆系方程(1)过 直 线l:0AxByC与 圆C:220 xyDxEyF的 交 点 的 圆 系 方 程 是22()0 xyDxEyFAxByC, 是待定的系数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页(2) 过 圆1C:221110 xyD xE yF与 圆2C:222220 xyD xE yF的 交 点 的 圆 系 方 程 是2222111222()0 xyD xE yFxyD xE yF, 是待定的系数9. 点00(,)P xy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种若2200()()daxby，则

21、dr点P在圆外 ;dr点P在圆上 ;dr点P在圆内 . 10. 直线与圆的位置关系直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种: 0相离rd; 0相切rd; 0相交rd. 其中22BACBbAad. 11. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，dOO21条公切线外离421rrd; 条公切线外切321rrd; 条公切线相交22121rrdrr; 条公切线内切121rrd; 无公切线内含210rrd. 12. 圆的切线方程已知圆222xyr过圆上的000(,)P xy点的切线方程为200 x xy yr; 斜率为k的圆的切线方程为21ykxrk.

22、 13. 直线截圆所得弦长（垂径定理）222ABrd备注：其中d 表示圆心到弦AB的距离， r 表示圆的半径。10. 圆锥曲线方程1. 椭圆 |PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|) 标准方程 ：22221(0)xyabab. 焦半径：)(21caxePF，)(22xcaePF. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页中心原点对称轴？焦点 F1(c,0) 、 F2(-c,0) 顶点 : ( a,0),(0, b) 范围 : -ax a,-by b 其中 2a、2b 表示长轴、短轴长椭圆的切线方程22221(0

23、)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab. 2. 双曲线 ：|PF1|-|PF2|= 2a(02a|F1F2|) 标准方程：22221(0,0)xyabab焦半径：21| () |aPFe xc，22| ()|aPFexc. 中心原点对称轴？焦点 F1(c,0) 、 F2(-c,0) 顶点 :双曲线 ( a,0) 范围： |x| a ，yR 其中 2a、2b 双表示实轴、虚轴长双曲线的方程与渐近线方程的关系(1 ）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220 xyabxaby. (2)若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax.

24、 (3)若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在x 轴上，0，焦点在y轴上） . 双曲线的切线方程22221(0,0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab. 3. 抛物线pxy22的焦半径公式顶点（原点）对称轴（ x 轴）开口（向右）范围 x 0 离心率 e=1 焦点)0,2(pF准线2px焦半径02pCFx. 焦点弦长pxxpxpxCD212122. 抛物线的切线方程pxy22上一点00(,)P xy处的切线方程是00()y yp xx4. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式221212()()ABxxyy或2222211

25、212(1)()| 1tan|1tABkxxxxyyco（弦端点A),(),(2211yxByx，由方精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页程0)y,x(Fbkxy消去 y 得到02cbxax，0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）. 11. 排列组合、二项定理1. 分类计数原理（加法原理）12nNmmm. 分步计数原理（乘法原理 ）12nNmmm. 2. 排列数公式mnA=)1()1(mnnn=！)(mnn.(n，mN*，且mn) 注: 规定1! 0. 3. 组合数公式mnC=mnmmAA=mmnnn21)1()

26、1(=！)(mnmn(n N*，mN，且mn). 组合数的几个性质(1)mnC=mnnC ; (2) mnC+1mnC=mnC1. (3)nnnrnnnnCCCCC2210. 注: 规定10nC. 4排列组合应用题原则 ：分类后分步，先选后排，先特殊后一般解法 ：相邻问题“捆绑法” ，不相邻“插空法” ，特殊元素“定位法” ，复杂问题“排除法”5. 二项式定理nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110)( ; 通项公式rrnrnrbaCT1)210(nr，.备注：rnC- 第1r项二项式系数性质 ：所有二项式系数和为n2中间项二项式系数最大12 概率与统计1古典概

27、型：( )mP An（总的基本事件个数包含的基本事件个数A）求基本事件个数：列举法、图表法2几何概型 ：P A积）区域总长度（面积或体积）的区域长度（面积或体A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页注：试验出现的结果无限个3常用抽样（不放回）简单随机抽样：逐个抽取（个数少）系统抽样 ：总体均分，按规则抽取（个数多）分层抽样：总体分成几层，各层按比例抽取（总体差异明显）4用样本估计总体众数 ： 出现次数最多的数据中位数 ：按从小到大，处在中间的一个数据（或中间两个数的平均数）平均数 ：niixnx11方差)(112ni

28、ixxnS标准差s极差 S=最大数 - 最小数5频率分布直方图小长方形面积 =组距组距频率=频率各小长方形面积之和为1 众数最高矩形中点的横坐标中位数垂直于x轴且平分直方图面积的直线与x轴交点的横坐标6. 茎叶图 ：由茎叶图可得到所有的数据信息如众数、中位数、平均数等7. 互斥事件A，B分别发生的概率的和P(AB)=P(A) P(B) n个互斥事件分别发生的概率的和P(A1A2 An)=P(A1) P(A2) P(An) 8. 独立事件A，B同时发生的概率 P(A B)= P(A) P(B).n 个独立事件同时发生的概率P(A1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An) 9常用分布两点

29、分布), 1(PB：pE)()1 ()(PpD二项 分布),(PnB：npE)()1()(PnpD)(kPknkknqpC超几何 分布),(nMNH：NMnE)(1)1()(NnNNMNMnD)(kP？10. 数学期望1122nnEx Px Px P11. 方差2221122nnDxEpxEpxEp标准差=D. 12. 方差与期望的关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页22DEE. 12. 正态分布密度函数22()21( ),(,)2xf xex性质 ：曲线在x轴上方、关于x对称，曲线与x轴围成面积为1 总体密度

30、曲线b单位O频率 /组距a图中 阴影部分面积表示概率0()P xx13. 标准正态分布)1 ,0(N：1)(,0)(XDE)()(aaP可查表)()()(abbaP)(1)(,0aaa5.0)0(,0a正态分布2( ,)N：2)(,)(XDE)()()(aaFaP)()()(aFbFbaP)(1)(aXPaXP.14. 回归直线方程变量在区间,a b内取值的 概率等于密度曲线与x轴、直线xa、xb所围成 曲边梯形的面积x标准正态分布曲线f x = 12e-x22xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页yabx，其中

31、1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxnxaybx.13 复数与推理证明1复数概念复数 ：biaz(a,b)R，实部 a、虚部 b 分类 ：实数（0b） ，虚数（0b） ，复数集C 注：z是纯虚数0a，0b共轭复数 ：biaz模：22baz2zzz复平面 ：复数 z 对应的点),(ba2. 复数的相等,abicdiac bd. （, , ,a b c dR）3复数运算 (1)()()()()abicdiacbd i; (2)()()()()abicdiacbd i; (3)()()()()abicdiacbdbcad i; (4)2222()()(0)acbd

32、bcadabicdii cdicdcd. 乘方 ：12i，nirrkii44. 合情推理类比 ：特殊推出特殊归纳 ：特殊推出一般演绎 ：一般导出特殊（大前题小前题结论）5直接与间接证明综合法 ：由因导果比较法 ：作差变形判断结论反证法 ：反设推理矛盾结论分析法 ：执果索因精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页分析法书写格式：要证 A为真，只要证B为真，即证，这只要证C为真，而已知C为真，故A必为真注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程5数学归纳法：(1) 验证 当 n=1 时命题成立, (2) 假设 当 n=k(kN* ， k 1) 时命题成立, 证明 当 n=k+1 时命题也成立由 (1)(2)知这命题对所有正整数n 都成立注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页