2022年初三数学圆的综合复习教案 .pdf

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1、1 / 11 圆综合复习一、本章知识框架二、本章重点1圆的定义：(1线段 OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆(2圆是到定点的距离等于定长的点的集合2判定一个点 P是否在 O上设O的半径为 R ，OP d，则有dr点 P在O 外；dr点 P在O 上；d圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数(2圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等90的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角如果三角形一

2、边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角(3弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半4圆的性质：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页2 / 11 (1旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心b5E2RGbCAP 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其

3、他各组分别相等p1EanqFDPw (2轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴垂径定理及推论：(1垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧(2平分弦 ( 不是直径 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧(3弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧(4平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦(5平行弦夹的弧相等5三角形的内心、外心、重心、垂心(1三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I ”表示DXDiTa9E3d (2三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角

4、三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示RTCrpUDGiT (3三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2 倍，通常用 G表示5PCzVD7HxA (4垂心：是三角形三边高线的交点6切线的判定、性质：(1切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线到圆心的距离 d 等于圆的半径的直线是圆的切线(2切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径经过圆心作圆的切线的垂线经过切点经过切点作切线的垂线经过圆心(3切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线

5、段的长度叫做切线长(4切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角7圆内接四边形和外切四边形(1四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角(2各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等8直线和圆的位置关系：设O 半径为 R，点 O到直线 l 的距离为 d(1直线和圆没有公共点直线和圆相离dR (2直线和 O有唯一公共点直线 l 和O相切dR(3直线 l 和O 有两个公共点直线 l 和O 相交dr ，圆心距精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

6、第 2 页，共 11 页3 / 11 (1没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离dR r (2没有公共点，且的每一个点都在外部内含d有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切dR r (4有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切dRr(5有两个公共点相交R rd两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线(2相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点11圆中有关计算：圆的面积公式：，周长 C2R 圆心角为 n、半径为 R的弧长圆心角为 n，半径为 R，弧长为 l 的扇形的面积弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算圆柱的侧面图是一个矩形，

7、底面半径为R，母线长为 l 的圆柱的体积为，侧面积为 2Rl，全面积为圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为 l ，高为 h 的圆锥的侧面积为Rl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有jLBHrnAILg 【经典例题精讲】例 1 如图 23-2，已知 AB为O直径， C为上一点， CDAB于 D，OCD 的平分线 CP交O于 P，试判断 P点位置是否随 C点位置改变而改变？xHAQX74J0X 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页4 / 11 例 2 下列命题正确的是 ( A相等的圆周角对的弧相等B

8、等弧所对的弦相等C三点确定一个圆D平分弦的直径垂直于弦解：A在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确B等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B 正确C三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆D平分弦 ( 不是直径 的直径垂直于此弦故选 B例 3 四边形 ABCD 内接于 O ，ABC123，求 D 分析： 圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等解：设Ax，B2x，C3x，则 DACB2xx2x3x2x360，x45D90小结： 此题可变形为：四边形ABCD 外切于 O ，周长为 20，且 AB BC CD 123，求 AD的长LDAYtRyKfE 例 4 为了测量一个圆

9、柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30的三角板和一个刻度尺，用如图 23-4 所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径若测得PA 5cm ，则铁环的半径是_cm Zzz6ZB2Ltk 分析： 测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过P点作直线 OP PA ，再用三角板画一个顶点为 A、一边为 AP 、大小为 60的角，这个角的另一边与 OP的交点即为圆心 O ，再用三角函数知识求解dvzfvkwMI1 解：小结： 应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型例 5 已知相交于

10、A、B两点，的半径是 10，的半径是17，公共弦 AB 16，求两圆的圆心距解：分两种情况讨论：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页5 / 11 (1若位于 AB的两侧 ( 如图 23-8，设与 AB交于 C，连结，则垂直平分 AB ，又AB 16 AC 8在中，在中，故(2若位于 AB的同侧 ( 如图 23-9，设的延长线与 AB交于 C ，连结垂直平分 AB ，又AB 16，AC 8在中，在中，故注意： 在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题

11、时，要注意双解或多解问题rqyn14ZNXI 三、相关定理：1. 相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）EmxvxOtOco 说明：几何语言：若弦 AB 、CD交于点 P，则 PA PB=PC PD 相交弦定理）例 1 已知 P为O内一点，O半径为，过 P任作一弦 AB ，设，则关于的函数关系式为. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页6 / 11 解：由相交弦定理得，即，其中2. 切割线定理推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径

12、所成的两条线段的比例中项说明：几何语言：若AB是直径， CD垂直 AB于点 P，则 PC2=PA PB 例 2 已知 PT切O于 T，PBA为割线，交 OC于 D ，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm ，求 PB长.SixE2yXPq5 解：设 TD= ，BP= ，由相交弦定理得：即，作弦、直径等构造直径所对的圆周角直角6遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角7遇到切线，作过切点的半径，构造直角8欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径6ewMyirQF

13、L 9遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点10遇到三角形的内心，常作：(1内心到三边的垂线； (2连结内心和三角形的顶点11遇相交两圆，常作： (1公共弦； (2连心线12遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线13求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边2、圆中较特殊的辅助线1过圆外一点或圆上一点作圆的切线2将割线、相交弦补充完整3作辅助圆【中考热点】近年来，在中考中圆的应用方面考查较多，与一元二次方程、函数、三角函数、实际问题、作图等是中考中的热点，也是难点kavU42VRUs 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

14、- - - -第 6 页，共 11 页7 / 11 例 1 (2003 北京市 如图 23-10，AB是O的直径，弦 CDAB ，垂足为 E，如果 AB 10，CD 8，那么 AE的长为( y6v3ALoS89 A2 B3 C4 D5 分析： 连结 OC ，由 AB是O的直径，弦 CD AB知 CD DE 设 AE x，则在 RtCEO 中，即，则，( 舍去M2ub6vSTnP 答案： A例 2 (2003 北京市 如图 23-11，CA为O的切线，切点为 A，点 B在O上，如果 CAB 55，那么 AOB 等于( 0YujCfmUCw A35B90C110D120分析： 由弦切角与所夹弧所对

15、的圆心角的关系可以知道AOB 2BAC 255110答案： CeUts8ZQVRd 例 3 (2003 北京市 如果圆柱的底面半径为4cm ，母线长为 5cm ，那么侧面积等于( ABC D分析： 圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长；另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即答案： BsQsAEJkW5T 例 4 ( 河南省 A卷如图 23-12，在半径为 4 的O中，AB 、CD是两条直径， M为 OB的中点，延长 CM交O于 E，且 EMMC，连结 OE 、DE ，GMsIasNXkA (1求 EM的长(2求 sin EOB的

16、值简析： (1由 DC是O的直径，知 DE EC ，于是设 EM x，则 AM MB x(7 x，即所以而 EMMC，即 EM 4TIrRGchYzg (2过 E作 EF OM ，垂足为 F，则 OF 1(OEEM 4，即，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页8 / 11 例 5 (2003 山西省 如图 23-13，AB是O的直径， PB切O于点 B，PA交O于点 C ，PF分别交 AB 、BC于 E、D，交 O于 F、G ，且 BE 、BD恰好是关于x 的方程( 其中 m为实数 的两根7EqZcWLZNX (1

17、求证： BE BD ；(2若，求 A的度数简析： (1由 BE 、BD是关于 x 的方程的两根，得，则 m2所以，原方程为得故 BE BD (2由相交弦定理，得，即而 PB切O于点B，AB为O的直径，得 ABP ACB 90又易证 BPD APE ，所以PBD PAE ，PDC PEB ，则，所以，所以在 RtACB中，故 A60lzq7IGf02E 历届中考题目1(2002青海省 O的半径为 10cm ，弦 AB CD ，AB 12cm ，CD 16cm ，则AB和 CD的距离为 ( zvpgeqJ1hk A2cm B14cm C2cm或 14cm D10cm或 20cm 2(2001吉林省

18、 如图 23-14，O的直径为 10，弦 AB 8，P是弦 AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是_NrpoJac3v1 3(2000北京西城区 如图 23-15，AB为O的直径，弦CD AB ，垂足为 E，那么下列结论不正确的是( 1nowfTG4KI ACE DE BCBAC BAD DACAD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页9 / 11 4(2000北京市丰台区 在直径为 52cm的圆柱形油桶内装入一些油后，截面如图 23-16 所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度为_cm fjnFLDa5

19、Zo 5(2000荆门市 如图 23-17，点 A是半圆上一个三等分点， B点是的中点，P为直径 AMN 上一动点， O的半径为 1，则 AP BP的最小值为( tfnNhnE6e5 A1 BCD6(2001陕西省 给出下列命题任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形任意三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形其中正确的说法有 ( A1 个 B2 个 C 3 个D4 个7(2001泉州市 圆内接四边形 ABCD 中， AC 13，则 C_8(2002曲靖市 下列判断：(1分式

20、方程无解；(2直径是弦；(3任意一个三角形都有一个外接圆且只有一个外接圆；(4圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角；(5长度相等的弧所对的圆心角相等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页10 / 11 其中正确的个数有 ( A1 个 B2 个 C 3 个 D4 个9(2001盐城市 如图 23-19，在 ABC中， C90，AC 3，BC 4，若以C为圆心， R为半径的圆与斜边 AB只有一个公共点，则R的取值范围是_HbmVN777sL 10(2002金华市 如图 23-20，C是O的直径 AB延长线上一点，过C作O

21、的切线 CD ，D为切点，连结 AD 、OD 、BD 请根据图中所给出的已知条件( 不再标注或使用其他字母，不再添加任何辅助线，写出两个你认为正确的结论_ V7l4jRB8Hs 11(2001连云港市 两圆半径长分别是R、r(Rr ，圆心距为 d，若关于 x 的一元二次方程有相等的实数根，则两圆的位置关系为 ( 83lcPA59W9 A一定内切B一定外切C相交D内切或外切12(2002黄冈市 如图 23-21，在 RtABC中， C90，A60，将ABC绕点 B旋转到 ABC 的位置，且使点A、B、C三点在同一条直线上，则A点经过的最短路线的长度是 _cm mZkklkzaaP 13(2002

22、河南省 如图 23-22，O 、B、C、D 、E相互外离，它们的半径都是1，顺次连结 5 个圆心得到五边形 ABCDE ，则图中五个扇形 (阴影部分 的面积之和为 ( AVktR43bpw A1B1.5 C2D2.5 14(2003新疆 若两圆的公切线有且只有一条，那么这两个圆的位置关系是 _15(2003辽宁 如图 23-23，施工工地的水平地面上，有三根外径都是 1M 的水泥管，两两相切地堆放地一起，则其最高点到地面的距离是_ ORjBnOwcEd 16一个扇形的弧长为20cm ，面积为，则该扇形的圆心角为 _ 17(2003河北 已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面积为 _参考答案【历届中考题目】1C23OP 53D4 48cm5 C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页11 / 11 6B71358C9 311D12 13B14内切15161501712申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页