高数AB练习册答案详解习题0702.pdf

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1、1 习题 7-2 可分离变量的微分方程 1. 求下列微分方程的通解 : (1)2yxya yy; 解.22111ln111aadydxdydxaxaCyaxyxay, 故 1ln1yaxaC. (2)sinlnyxyy. 解.2ln lnln tanlnsinln22tancos22dydxdydxxyCxxyyxyy, 故 tan2lntan2xCxyCye. 2. 求解初值问题:0cos1 sin04xxxeydxeydyy. 解.sinsincos1cos1cos1xxxxxyeyedydxdydxyC eyeye, 由04xy, 得24C. 3. 设fx为可导函数 , 且,p t, 均

2、有2fptfpftpt, 又01f, 求fx. 解.00f,202fptfpf tpfpfptt, 即 yfx满足12dyxdx, 解得2yxxC, 由00f, 得0C. 2 4. 设一曲线通过点2,3, 它位于两坐标轴之间的任一切线段均被 切点平分 , 求该曲线的方程 . 解.22dyydxx, 解得xyC, 代入2x,3y, 得6C, 故曲线方程为 6xy. 5. 小船从河边点O处出发驶向对岸 , 设船速为a, 航行方向始终与 河岸垂直 , 又设河宽为h, 河中任一点处的水流速度大小与该点到 两岸距离的乘积成正比 , 求小船的航行路线 . 解 设t时刻船的位置为,x y, 则dxky hykat hatdt, 解得 22 31123xkahtka tC, 代入0t,0 x, 得0C, 故 22 31123xkahtka t, 代入yta, 得轨迹方程为23123khxyya. 6. 设x连续, 满足100tx dtnxn, 求x. 解.1100011xtx dttx dtxu dunxxx, 即 0 xu dunxxxnxnxx, 即yx满足: 1dynydxnx, 解得1 nnyCx.