2022年高等代数北大版教案-第3章线性方程组 .pdf

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1、第三章线性方程组1 消元法一 授课内容：1消元法二 教学目的：理解和掌握线性方程组的初等变换，同解变换，会用消元法解线性方程组 . 三 教学重难点：用消元法解线性方程组 . 四 教学过程：所谓的一般线性方程组是指形式为nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa.221122222121112121111的方程组，其中nxxx,21代 表n个 未知量 ，s是方程的个数，ijasi,2 ,1，nj,2 ,1称为方程组的 系数 ，jbsj,2, 1称为常数项. 所谓方程组1的的一个解就是指由n个数组成的有序数组nkkk,21 ，当nxxx,21分别用nkkk,21代入后， 1中每

2、个等式变为恒等式，方程组1的解的全体称为它的 解集合 . 解方程组实际上就是找出它的全部解，或则说，求出它的解集合. 如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的. 显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个方程组就基本上确定了，确切的说，线性方程组1可以用如下的矩阵ssnssnnbbbaaaaaaaaa21212222111211来表示 . 在中学代数里， 我们学习过用加减消元法和代入消元法解二元，三元精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页线性方程组，实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性.

3、 分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复的对方程组进行变换，而所做的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：1用一非零的数乘某一方程. 2把一个方程的倍数加到另一方程. 3互换两个方程的位置 . 定义 1 变换 1，2，3 称为线性方程组的 初等变换 . 消元法的过程就是反复的施行初等变换的过程. 可以证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组 . 对于线性方程组反复的施行初等变换，一步一步做下去， 最后就得到一个阶梯形 方程组 . 000001222222111212111rrnrnrrrnnrrnnrrddxcxcdxcxcxcdxcxcxcxc5显然 5与 1是同解的 . 考察 5的解的

4、情况 . 如5中的方程10rd，而01rd这时不管nxxx,21取什么值都不能使它成为等式，故5无解，因而 1也无解 . 当01rd，或5中根本没有“00”的方程时，分两种情况：1nr，这时阶梯形方程组为nnnnnnnndxcdxcxcdxcxcxc2222211212111有唯一解 . 例 解方程组622452413231321321xxxxxxxx. 解 上述方程有唯一的解)6, 1,9(. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页2nr，这时阶梯形方程组为nnnnrrrrrrnnrrnnrrdxcxcxcdxcxc

5、xcdxcxcxcxc11,222222111212111其中0iic，si,2, 1，把它改写成nnnrrrnrrrrrrnnrrrrnnrrrrxcxcdxcxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxc11,11,211,222222111, 1112121117由7我们可以把rxxx,21通过nrxx,1表示出来，这样一组表达式称为方程组1的一般解 ，而nrxx,1称为一组 自由未知量. 例解方程组1424524132321321321xxxxxxxxx. 解 一般解为2)7(21321xxx. 定理 1 在齐次线性方程组0.0.0.221122221211212111nnnnnnnnn

6、xaxaxaxaxaxaxaxaxa中，如果ns，那么它必有非零解 . 把矩阵ssnssnnbbbaaaaaaaaa21212222111211精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页称为线性方程组 1的增广矩阵， 显然，用初等变换花线性方程组1成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵成阶梯形矩阵. 例 解方程组0424524132321321321xxxxxxxxx. 解: 041245241312110021001312100021001312从最后一行可以看出原方程组无解. 2 n维向量空间一 授课内容：2 n维向量

7、空间二 教学目的：理解和掌握n维向量空间的概念，掌握n维向量空间的两种运算及八条运算律三 教学重难点：n维向量空间的概念 . 四 教学过程：定义 2所谓数域 P 上一个n维向量 就是由数域 P 中n个数组成的有序数组),(21naaa1ia称为向量 1的分量 . 定义 3 如果n维向量),(21naaa，),(21nbbb的对应分量都相等，即iaibni,2, 1. 就称这两个向量是相等的，记作定 义4向 量),(2211nnbababa称 为 向 量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页),(21naaa，),(21

8、nbbb的和，记为. 由定义立即推出1交换律 ：. 2结合律 ：)()(. 定义 5 分量全为零的向量)0,0,0(称为 零向量 ，记为0，向量),(21naaa称为向量),(21naaa的负向量，记为. 显然对于所有的，都有0,0)(. 定义 6)(. 定 义 7设 k 为 数域 P 中 的 数 ，向 量),(21nkakaka称为 向 量),(21naaa与数 k 的数量乘积 ，记为 k. 由定义立即推出kkk)(lklk)(kllk)(1定义 8 以数域 P 中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域P 上的n维向量空间 . 向量通常是写成一行),

9、(21naaa有时候也可以写成一列naaa21前者称为 行向量 ，后者称为 列向量 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页3 线性相关性一 授课内容：3 线性相关性二 教学目的：理解和掌握以下概念：线性组合、线性表出、线性相关、线性无关、极大线性无关组、向量组的秩. 三 教学重难点：线性相关与线性无关的概念. 四 教学过程：定义 9向量称为向量组s,21的一个 线性组合 ， 如果有数域P 中的数skkk,21，使=sskkk2211. 任何一个n维向量都是向量组) 1 , 0, 0()0, 1 ,0()0 ,0 ,

10、 1(21n的一个线性组合，因为nnaaa2211向量n,21称为n维单位向量 . 当向量是向量组的一个线性组合时，我们也说可以线性表出 . 定义 10如果向量组t,21中的每一个向量i(ti,2, 1)都可以由向量组s,21线性表出，那么向量组t,21就称为可以由向量组s,21线性表出 , 如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为 等价. 由定义知，向量组之间的等价有以下性质1反身性每一个向量组与它自身等价. 2对称性如果向量组t,21与s,21等价，那么向量组s,21也与t,21等价. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，

11、共 13 页3传递性如果向量组t,21与s,21等价，向量组s,21与t,21等价，那么向量组t,21与t,21等价. 定义 11如果向量组s,212s中有有一向量可以经其余的向量线性表出，那么向量组s,21称为线性相关的 . 显然，因为零向量可以被任一个向量组线性表出，那么任意一个包含零向量的向量组必线性相关. 定义 11向量组s,211s称为线性相关，如果数域P 中不全为零的数skkk,21，使02211sskkk定义 12 一向量组不线性相关，即没有不全为零的数skkk,21，使02211sskkk就 称 为 线 性 无 关 ， 或 者 说 ， 一 向 量 组s,21称为线性无关，如果由

12、02211sskkk可以推出021skkk. 由定义立即得出， 如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关 . 换个说法，如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关 . 显然，由n维单位向量n,21组成的向量组是线性无关的. 定理 2设r,21与s,21是两个向量组，如果1)向量组r,21可以经s,21线性表出 . 2)sr.那么向量组r,21必线性相关 . 推论 1如果向量组可以经s,21线性表出，且r,21线性无关，那么sr. 推论 2 任意1n个n维向量必线性相关 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

13、第 7 页，共 13 页推论 3两个线性无关的等价向量组，必含有相同个数的向量. 定义 13一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组 ，如果这个部分组本身是线性无关的， 并且从这个向量组中任意添一个向量如果还有的话，所得的部分向量组都线性相关. 显然，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价，向量组的两个极大线性无关组是等价的. 定理 3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量. 定义 14向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 由定义立即得出， 一向量组线性无关的充分必要条件是它的秩与它所含向量的个数相同 . 显然，等价的向量组有相同的秩. 4 矩阵的秩一 授课内容

14、：4 矩阵的秩二 教学目的：理解和掌握行秩、列秩、矩阵的秩，掌握矩阵的秩与k级子式的关系，会求矩阵的秩. 三 教学重难点：定理 4 的证明 . 四 教学过程：如果我们把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以看作由这些行向量所组成的，同样的，如果我们把矩阵的每一列看成一个向量，那么矩阵就可以看作由这些列向量所组成的. 定义 15所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是指矩阵的列向量组的秩. 引理 如果齐次线性方程组0.0.0.221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa的系数矩阵精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

15、纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页snssnnaaaaaaaaaA212222111211的行秩ns，那么它有非零解 . 定理 4矩阵的行秩与列秩相等 . 因为矩阵的行秩与列秩相等，所以下面就统称为矩阵的秩 . 定理 5 nn矩阵nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于n. 推论齐次线性方程组0.0.0.221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211的行列式等于零 . 定义 16 在

16、一个ns矩阵 A中任意选定 k 行和 k 列，位于这些选定的行和列的交点上的2k个元素按原来的次序所组成的kk矩阵的行列式，称为 A的一个 k 级子式 . 定理 6 一矩阵的秩是r的充分必要条件为矩阵中有一r级子式不为零，同时所有的1r级子式全为零 . 怎样计算矩阵的秩， 可以用初等变换化矩阵为阶梯形矩阵，其中非零行的数目就是原矩阵的秩 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页5 线性方程组有解的判定定理一 授课内容：5 线性方程组有解的判定定理二 教学目的：理解和掌握线性方程组有解判定定理，利用克兰姆法则写出一般解

17、三 教学重难点：判定定理的证明 . 四 教学过程：线性方程组有解的判定定理线性方程组 1有解的充分必要条件为它的系数矩阵snssnnaaaaaaaaaA212222111211与增广矩阵ssnssnnbbbaaaaaaaaaA21212222111211有相同的秩 . 6 线性方程组解的结构一 授课内容：6 线性方程组解的结构二 教学目的：理解和掌握基础解系的概念，掌握方程组解的性质，掌握一般线性方程组解的结构. 三 教学重难点：基础解系，解的结构 . 四 教学过程：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页对于齐次线性

18、方程组0.0.0.221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa1它的解构成的集合具有下面两个重要性质：1两个解的和还是方程组的解. 2一个解的倍数还是方程组的解.综上，解的线性组合还是方程组的解. 定义 17 齐次线性方程组 1的一组解t,21称为 1的一个基础解系 ，如果1 1的任何一个解都可以表示为t,21的线性组合 . 2t,21线性无关 . 定义 7在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且它所含解的个数就等于rn，这里r表示系数矩阵的秩 . 以下将看到，rn也是自由未知量的个数由定义容易看出， 任何一个线性无关的与某一个基础解系

19、等价的向量组都是基础解系 . 对于一般的线性方程组：snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa.221122222121112121119如果把常数项换成零，就得到齐次线性方程组1 ，方程组 1称为方程组 9的. 方程组 9的解与它的导出组 1的解有密切的关系：1方程组 9的两个解的差是它的导出组1的解 . 2方程组 9的一个解与它的导出组1的一个解之和还是这个线性方程组的一个解 . 由这两点容易证明定理 8如果0是方程组 9的一个特解，那么方程组 9的任一个解都可以表成010精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11

20、 页，共 13 页中是导出组 1的一个解 . 因此，对于方程组 9的任一个特解0，当取遍它的导出组的全部解时， 10就给出 9的全部解 . 推论在方程组有解的情况下， 解是唯一的充分必要条件是它的导出组1只有零解 . 例 用消元法解方程组6223432212231453543215432154321543215321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx. 例 把向量组表示为向量组4321,的线性组合：) 1 , 1 ,2, 1(，)1 , 1 , 1 , 1(1，)1, 1, 1 ,1 (2,)1, 1 ,1,1 (3,)1 , 1, 1, 1(4. 例 证明 如果向量组r,21线

21、性无关，而r,21，线性相关，则向量可以由r,21线性表出 . 例 设rttt,21是互不相同的数，nr，证明：), 1(1niiittri, 2, 1是线性无关的 . 例 证明 如果向量组)1 (可以由向量组 2线性表出，那么 1的秩不超过 2的秩 . 例 设r,21是一组n维向量，证明：r,21线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可以被它们线性表出. 例 证明nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa.22112222212111212111对任何的nbbb,21都有解的充分必要条件是系数行列式0ija. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页例 计算矩阵63789770057878421110的秩. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页