机械简谐振动的运动学与能量ppt课件.ppt

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1、第二篇振动与波第四章第四章 机械振动机械振动4-1 4-1 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征4-2 4-2 简谐振动的运动学简谐振动的运动学4-3 4-3 简谐振动的能量简谐振动的能量4-4 4-4 振动的合成振动的合成4-1 4-1 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡)tcos(Ax位置的位移位置的位移x（或角位移（或角位移 ）随时间）随时间 t 按余按余弦（或正弦）规律变化的振动。弦（或正弦）规律变化的振动。一、弹簧振子模型一、弹簧振子模型弹簧振子：弹簧弹簧振子：弹簧物体系统物体系统

2、物体物体可看作质点可看作质点 轻弹簧轻弹簧质量忽略不计质量忽略不计 ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置mkoxkxF22dtxdmkx mk2简谐振动微分方程简谐振动微分方程0 xdtxd2220dtd222结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。gl22Tlg00当当 时时sinsinmglM二、微振动的简谐近似二、微振动的简谐近似mgfTCOmgldtdml222摆球对摆球对C 点的力矩点的力矩l/g2角频率角频率, ,振动的周期分

3、别为：振动的周期分别为：mglM4-2 4-2 简谐振动的运动学简谐振动的运动学其通解为：其通解为：一、简谐振动的运动学方程一、简谐振动的运动学方程 )tcos(Ax简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程0 xdtxd222二、二、描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量)tcos(Ax1 1、振幅、振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。简谐振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。)tsin(Av00vv,xx,0t初始条件初始条件cosAx0sinAv02200vxA)(频率频率 ：单位时间内振动的次数。：单位时间内振动的次数。2 2、周

4、期、频率、圆频率、周期、频率、圆频率对弹簧振子：对弹簧振子：T/1角频率角频率 ：2T/2km2Tmk21mk固有周期、固有频率、固有角频率固有周期、固有频率、固有角频率周期周期T ：物体完成一次全振动所需时间。物体完成一次全振动所需时间。/2T 单摆单摆gl2Tlg21lg3 3、位相和初位相、位相和初位相 位相，决定谐振动物体的运动状态位相，决定谐振动物体的运动状态t)tcos(Ax 是是t =0 时刻的位相时刻的位相 初位相初位相cosAx0sinAv000 xvtant =0 时时位相差：两振动位相之差。位相差：两振动位相之差。12当当 = 2k ，k = 0,1,2 ；当当 = (2

5、k+1) , k=0,1,2.02 超前于超前于1 或或 1滞后于滞后于 2 位相差反映了两个振动不同程度的参差错落位相差反映了两个振动不同程度的参差错落 两振动步调相同两振动步调相同, ,称称同相同相两振动步调相反两振动步调相反, ,称称反相反相)(tcosAx简谐振动的运动方程：简谐振动的运动方程：简谐振动的速度方程：简谐振动的速度方程：)(tsinAdtdxv简谐振动加速度方程：简谐振动加速度方程：)(tcosAdtdva2三、简谐振动的三、简谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法1 1、简谐振动的运动学特征、简谐振动的运动学特征简谐振动的位移、速度及加速度曲线简谐振动的位移、速度及加速度

6、曲线vavaxxto简谐振动的简谐振动的位移、速度及加速度随时间周期性变化。位移、速度及加速度随时间周期性变化。2 2、简谐振动和匀速圆周运动的联系、简谐振动和匀速圆周运动的联系可见：可见：作作匀速圆周运动匀速圆周运动的质点在过圆心的的质点在过圆心的某一方向上投影的运动为某一方向上投影的运动为简谐振动简谐振动。3 3、简谐振动的旋转矢量法、简谐振动的旋转矢量法作一参考圆，如图：作一参考圆，如图：xotx)(tcosAxvxvv)(tsinAvaa)(tcosAa2 位矢与位矢与x 轴的夹角为轴的夹角为谐振动的位相，在谐振动的位相，在t=0时的夹角为时的夹角为初位相初位相 。AA旋转矢量旋转矢量

7、4 4、用旋转矢量法确定简谐振动的初位相、用旋转矢量法确定简谐振动的初位相4 4、用旋转矢量法确定简谐振动的初位相、用旋转矢量法确定简谐振动的初位相* *用旋转矢量法确定简谐振动的初位相的原则：用旋转矢量法确定简谐振动的初位相的原则：由初始条件、确定旋转矢量所在位置，由初始条件、确定旋转矢量所在位置，0 x0v旋转矢量和旋转矢量和轴的夹角即为初位相。轴的夹角即为初位相。oxox0 x00v00 x00v00 x00v00 x00v0课堂练习：课堂练习：Ax0A22x00v00 x00v02Ax00v0oxAox课堂练习：课堂练习：Ax0A22x00v00 x00v02Ax00v0A4课堂练习：

8、课堂练习：Ax0A22x00v00 x00v02Ax00v0ox4A2课堂练习：课堂练习：Ax0A22x00v00 x00v02Ax00v0ox24A3432或或 例例 一沿一沿竖直方向竖直方向作简谐振动的振子，作简谐振动的振子，平衡位置平衡位置 例例 一沿一沿竖直方向竖直方向作简谐振动的振子，作简谐振动的振子， 例例 一沿一沿竖直方向竖直方向作简谐振动的振子，作简谐振动的振子， 例例 一沿一沿竖直方向竖直方向作简谐振动的振子，作简谐振动的振子， 例例 一沿一沿竖直方向竖直方向作简谐振动的振子，作简谐振动的振子， 例例 一沿一沿竖直方向竖直方向作简谐振动的振子，作简谐振动的振子， 例例 一沿一

9、沿竖直方向竖直方向作简谐振动的振子，作简谐振动的振子， 例例 一沿一沿竖直方向竖直方向作简谐振动的振子，作简谐振动的振子， 例例 一沿一沿竖直方向竖直方向作简谐振动的振子，作简谐振动的振子， 例例 一沿一沿竖直方向竖直方向作简谐振动的振子，作简谐振动的振子， 例例 一沿一沿竖直方向竖直方向作简谐振动的振子，作简谐振动的振子， 例例 一沿一沿竖直方向竖直方向作简谐振动的振子，作简谐振动的振子， 例例 一沿一沿竖直方向竖直方向作简谐振动的振子，作简谐振动的振子， 例例 一沿一沿竖直方向竖直方向作简谐振动的振子，作简谐振动的振子， 例例 一沿一沿竖直方向竖直方向作简谐振动的振子，作简谐振动的振子，

10、例例 一沿一沿竖直方向竖直方向作简谐振动的振子，作简谐振动的振子， 例例 一沿一沿竖直方向竖直方向作简谐振动的振子，作简谐振动的振子， 例例 一沿一沿竖直方向竖直方向作简谐振动的振子，作简谐振动的振子， 例例 一沿一沿竖直方向竖直方向作简谐振动的振子，作简谐振动的振子， 例例 一沿一沿竖直方向竖直方向作简谐振动的振子，作简谐振动的振子， 例例 一沿一沿竖直方向竖直方向作简谐振动的振子，作简谐振动的振子， 例例 一沿一沿竖直方向竖直方向作简谐振动的振子，作简谐振动的振子， 例例 一沿一沿竖直方向竖直方向作简谐振动的振子，作简谐振动的振子， 例例 一沿一沿竖直方向竖直方向作简谐振动的振子，作简谐振

11、动的振子， 例例 一沿一沿竖直方向竖直方向作简谐振动的振子，作简谐振动的振子， 例例 一沿一沿竖直方向竖直方向作简谐振动的振子，作简谐振动的振子， 例例 一沿一沿竖直方向竖直方向作简谐振动的振子，作简谐振动的振子，过平衡位置向正方向运动；过平衡位置向正方向运动；2Ax 过过 处向处向x 轴负方向运动；轴负方向运动； 以下两种情况的以下两种情况的初位相初位相 （设竖直向下为正方向）（设竖直向下为正方向）求当求当t=0 时时x过平衡位置向正方向运动；过平衡位置向正方向运动；x平衡位置平衡位置oxoA过平衡位置向正方向运动；过平衡位置向正方向运动；x22Ax 过过 处向处向x 轴负方向运动；轴负方向

12、运动； Aoxo2Ax 0vx3xoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAooooooooAAoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

13、ooooooxoxoAxoAFxoAxoFxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoAxoxoA例例一远洋轮，质量为一远洋轮，质量为m，浮在水面时其水平截面积，浮在水面时其水平截面积为为S，设在水面附近轮船的水平截面积近似相等。设，设在水面附近轮船的水平截面积近似相等。设水的密度水的密度为，且不计水的粘滞阻力，证明轮船在水为，且不计水的粘滞阻力，证明轮船在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐振动，并求振动中

14、作振幅较小的竖直自由运动是简谐振动，并求振动周期。周期。解：船静浮于水面时，其重量等于浮力，此时的水面解：船静浮于水面时，其重量等于浮力，此时的水面若竖直向下为正方向。当船体向下产生一位移若竖直向下为正方向。当船体向下产生一位移x 时，时，即为系统的平衡位置。把坐标原点取在平衡位置上，即为系统的平衡位置。把坐标原点取在平衡位置上，衡位置。即：衡位置。即：其重力不变，合外力为浮力的增量，方向向上指向平其重力不变，合外力为浮力的增量，方向向上指向平gSxf式中式中Sx 为船体下沉时的体积，负号表示浮力增量与为船体下沉时的体积，负号表示浮力增量与gSxdtxdmaf220 xmgSdtxd22令：令

15、：mgS2船体位移始终反向。船体位移始终反向。0 xdtxd222可见，船体竖直方向的运动为简谐振动。可见，船体竖直方向的运动为简谐振动。其振动的周期为：其振动的周期为：gSm22T 例例 水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高ba 不计水的阻力。不计水的阻力。 度为度为a, ,水面以下高度为水面以下高度为b。水密度。水密度为为 木快密度为木快密度为表面与水面平齐。表面与水面平齐。 现用外力将木块压入水中，使木快上现用外力将木块压入水中，使木快上 例例 水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高不计水的阻力。不计水

16、的阻力。 度为度为a, ,水面以下高度为水面以下高度为b。水密度。水密度为为 木快密度为木快密度为表面与水面平齐。表面与水面平齐。 现用外力将木块压入水中，使木快上现用外力将木块压入水中，使木快上 例例 水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高不计水的阻力。不计水的阻力。 度为度为a, ,水面以下高度为水面以下高度为b。水密度。水密度为为 木快密度为木快密度为表面与水面平齐。表面与水面平齐。 现用外力将木块压入水中，使木快上现用外力将木块压入水中，使木快上 例例 水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高不计水的阻力

17、。不计水的阻力。 度为度为a, ,水面以下高度为水面以下高度为b。水密度。水密度为为 木快密度为木快密度为ba 求证：木块将作谐振动，并写出谐振动方程。求证：木块将作谐振动，并写出谐振动方程。任意位置木块受到的合外力为：任意位置木块受到的合外力为：合外力和位移成正比合外力和位移成正比, ,方向和位移相反方向和位移相反, ,木块作谐振动。木块作谐振动。平平衡衡位位置置bca.0 xsy平衡时：平衡时：任任意意位位置置acb0 xxs y.0gbsgsba)(gsxbgsbaF)()(gxs由上面得到：由上面得到：由牛顿定律由牛顿定律gxsF22dtxdsbagxs)(0 xbagdtxd22)(

18、)(bag0t ax00v0aA 0tbagcosax)(4-3 4-3 简谐振动的能量简谐振动的能量以弹簧振子为例以弹簧振子为例谐振动系统的能量谐振动系统的能量=系统的动能系统的动能Ek+系统的势能系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，位移为，位移为x)(tsinAv)(tcosAx2kmv21E)(tsinkA21222pkx21E)(tcoskA2122谐振动的动能和势能是时间的周期性函数谐振动的动能和势能是时间的周期性函数动动能能2kmv21E)t(sinkA2122势势能能2pkx21E)t(coskA2122情况同动能。情况同动能。pminpmaxpE,E,

19、E0Emink2TttkkkA41dtET1E2maxkkA21E机械能机械能2pkkA21EEE简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒EA212k=EEkEpoxtAx=cost谐振子的动能、势能及总能量谐振子的动能、势能及总能量to4-4 4-4 振动的合成振动的合成一、同方向、同频率谐振动的合成一、同方向、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动合振动是简谐振动, , 其频率仍为其频率仍为 )(12212221cosAA2AAA22112211cosAcosAsinAsinAtg)()(111tcosAtx)()(222tcosAtx)(tcosAx质点同时参与同方向同频率的谐振动质点同

20、时参与同方向同频率的谐振动 : :合振动合振动 : :2A1AA121x2xx21xxx如如 A1=A2 , , 则则 A=0,2,1 ,0kk212两分振动相互加强两分振动相互加强21AAA,2,1 ,0k1k212)(两分振动相互减弱两分振动相互减弱21AAA分析分析若两分振动同相：若两分振动同相：若两分振动反相若两分振动反相: :)(12212221cosAA2AAA合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动式中式中t2cosA2tA12)()(随随t 缓变缓变t2costcos12)(随随t 快变快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动合振动可看作振幅缓变的简谐振动二二. . 同方向不同频率简谐振动的合成同方向不同频率简谐振动的合成分振动分振动)(tcosAx11)(tcosAx22合振动合振动)()(t2cost2cosA2x121221xxx当当2 1 时时, ,tcostAx)(：则则1212拍拍: : 合振动忽强忽弱的现象合振动忽强忽弱的现象拍频拍频 : : 单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数 =|2-1| xtx2tx1t12拍拍122T：或或第四章完