2022年高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题数列之错位相减求和新人教A版 .pdf

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1、学而不思则惘，思而不学则殆（新课标）高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题数列之错位相减求和新人教 A版四、错位相减法的运用：错位相减法是一种常用的数列求和方法，形如nnba的数列，其中 na为等差数列，nb为等比数列；分别列出nS，再把所有式子同时乘以等比数列的公比q，即nqS；然后错一位，两式相减即可。适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。典型例题：例 1. 已知数列na的前n项和为nS，常数0，且11nna aSS对一切正整数n都成立。（）求数列na的通项公式；（）设10a，100，当n为何值时，数列1lgna的前n项和最大？【答案】 解： （）取n=1，得21112=

2、2aSa，11(2)0aa。若1a=0，则1S=0, 当n2时，1=0nnnaSS。若1a0，则12a，有当n2时，22nnaS，1122nnaS，两个相减得：12nnaa，n2na。数列na公比是 2 的等比数列。综上所述，若1a=0, 则n0a；若1a0 ，则n2na。（）当10a且100时，令1lgnnba，则2lg 2nbn。nb是单调递减的等差数列（公差为lg2 ）则b1b2b3b6=01lg64100lg2100lg6；当n7 时，bnb7=01lg128100lg2100lg7。数列 lgna1 的前 6 项的和最大，即当n=6 时，数列1lgna的前n项和最大。【考点】 等差数

3、列、等比数列、对数等基础知识，分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。【解析】（ I）由题意，n=1 时，由已知可知11(2)0aa，分类讨论：由1a=0 及1a0，结合数列的和与精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆项的递推公式可求。（II ）由10a且100时，令1lgnnba，则2lg2nbn，结合数列的单调性可求和的最大项。例 2. 已知 na 是等差数列，其前n项和为nS，nb 是等比数列 , 且1a=1=2b，44+=27ab，44=10Sb. ( ) 求数列 na 与nb的通项公式

4、；( ) 记11 21=+nnnnTa babab，+nN，证明+12=2+10nnnTab+()nN. 【答案】 解： （1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由1a=1=2b，得344423286adbqsd，。由条件44+=27ab，44=10Sb得方程组3323227 86210dqdq，解得3 2dq。+312nnnanbnN，。( ) 证明：由（ 1）得，231212222nnnnnTaaaa；234+112122222nnnnnTaaaa；由得，234112232112+222+22nnnnnnnnnnTaaaaaaaaaab23423412+232323+2322=2+

5、4+3222+2412=2+4+3=2+412+62 =2+4+61212=2+1012nnnnnnnnnnnnnnnnnabababababbab+12=2+10nnnTab+()nN。【考点】 等差数列与等比数列的综合；等差数列和等比数列的通项公式。【分析】（）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项。（）写出nT的表达式，借助于错位相减求和。还可用数学归纳法证明其成立。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆例 3. （已知 na是等差数列， 其前n项和为nS， nb 是等比

6、数列 , 且1a=1=2b，44+=27ab，44=10Sb. ( ) 求数列 na 与nb的通项公式；( ) 记1 1221=+nnnTaba ba ab，+nN，证明1+18=nnnTab+(2)nNn，。【答案】 解： （1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由1a=1=2b，得344423286adbqsd，。由条件44+=27ab，44=10Sb得方程组3323227 86210dqdq，解得3 2dq。+312nnnanbnN，。( ) 证明：由（ 1）得，23225 28 2132nnTn；234+12225 28 2132nnTn；由得，234+1122232323+2

7、332nnnTn+12341+1+1+1+11=4+ 323222+2412111=4+ 323=4+ 32+1232142=8+ 3=+8nnnnnnnnnnnnab1+18=nnnTab+(2)nNn，。【考点】 等差数列与等比数列的综合；等差数列和等比数列的通项公式。【分析】（）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项。（）写出nT的表达式，借助于错位相减求和。还可用数学归纳法证明其成立。例 4. 设数列na的前n项和为Sn，满足11221,nnnSanN且123,5,a aa成等差数列。（1）求a1的值； （2）求数列na的通项公式。（3）证明：对一切正整数n，有121

8、1132naaa. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆【答案】 解： （1）11221,nnnSanN且123,5,a aa成等差数列112321232132222272(5)SaaaSaaaaaa=-?=+=-?+=+? ?，解得1231519aaa =?=? ?。即11a =。（2）11221nnnSa 1221nnnSa，得132(2)nnnaan+=+?。215325aa=+=，132(*)nnnaanN+=+?。11312222nnnnaa+=?，1131(1)222nnnnaa+

9、=?。数列 12nna+ 成首项为113122a+=，公比为32的等比数列，31()22nnna+=。3()122nnna=-。32nnna =-。（3）1111133232 322(32)0nnnnnnnnna-=-=?=-?（当 n=1 时，取等号。 ）130nna-?， 1113nna-（当且仅当n=1 时，取等号） 。211211( )111111313311( ) 133323213nnnnaaa。【考点】 数列与不等式的综合，等差数列和等比数列的应用，数列递推式。【解析】（1）在11221nnnSa中，令分别令n=1，2，由123,5,a aa成等差数列，得到关于123,a a a

10、的三元方程，解之即可可求得1a。（2）由11221nnnSa，1221nnnSa，两式相减即可得1131(1)222nnnnaa+=?，可知，数列 12nna+成首项为113122a+=，公比为32的等比数列，从而可求数列na的通项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆（3）构造13nna-，证得其大于等于0，从而130nna-?，即1113nna-（当且仅当n=1 时，取等号）。因此211211( )111111313311( ) 133323213nnnnaaa。例 5. 设数列na的

11、前n项和ns，数列ns的前n项和为nT，满足2*2,nnTSnnN（1）求1a的值；（2）求数列na的通项公式【答案】 解： （1）当1n时，1121TS。111TSa，1121aa，解得11a。（2）22nSTnn，当2n时，211) 1(2nSTnn，得：122naSnn ，此式对1n也成立。当2n时，1)1(2211naSnn。得：221nnaa，即)2(221nnaa。2na是以321a为首项， 2 为公比的等比数列。123 2nna，即13 22nna，*nN。【考点】 数列递推式，等比数列的性质。【解析】（ 1）当1n时，1121TS。由111TSa得1121aa解得11a。（2）

12、两次递推后得到以321a为首项， 2 为公比的等比数列2na，由此能求出数列na的通项公式。例 6. （已知数列na的前n项和212nSnkn（其中kN） ，且nS的最大值为8。（1）确定常数k，并求na；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆（2）求数列922nna的前n项和nT。【答案】 解：（ 1）当nkN时，Sn12n2kn取最大值，即8Sk12k2k212k2，k216，k4。1nnnaSS92n(n2)。又a1S172，an92n。（2）设bn92an2nn2n1，Tnb1b2bn1

13、22322n12n2n2n1，Tn2TnTn211212n2n2n1 412n2n2n14n 22n1。【考点】 数列的通项，递推、错位相减法求和，二次函数的性质。【解析】（1）由二次函数的性质可知，当nkN时，212nSnkn取得最大值，代入可求k，然后利用1nnnaSS可求通项，要注意1nnnaSS不能用来求解首项1a，首项1a一般通过11aS来求解。（2）设bn92an2nn2n1，可利用错位相减求和即可。例 7. ）已知数列na的前n项和nnSkck（其中c，k为常数），且263=4=8aaa，（1）求na；（2）求数列nna的前n项和nT。【答案】 解： （1）nnSkck，当1n时

14、，11()nnnnnaSSk cc。则656()ak cc，323()ak cc，65363238acccacc。c=2。2=4a，即21()4k cc，解得k=2。2nna（1n） 。当n=1 时，112aS。综上所述*2 ()nnanN。（2）2nnnan，2322 23 22nnTn，234121 22 23 2(1)22nnnTnn。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆得，23122222nnnTn，即12(1)2nnTn。【考点】 数列的求和，等比数列的通项公式。【解析】（1）先根据

15、前n项和求出数列的通项表达式；再结合263=4=8aaa，求出c，k，即可求出数列的通项。（2）直接利用错位相减法求和即可。例 8. 已知数列 an 的前n项和为Sn，且Sn=22nn，nN，数列 bn 满足an=4log2bn 3，nN. （1）求an，bn；（2）求数列 anbn 的前n项和Tn. 【答案】 解： （1）由 Sn=22nn，得当n=1 时，113aS；当n2 时，1nnnaSS2222(1)(1)41nnnnn，nN。由an=4log2bn3，得12nnb，nN。（2）由（ 1）知1(41) 2nnna bn，nN，2137 211 2.412nnTn，2323 27211

16、 2.412nnTn。21241234(22.2)nnnnTTn(45)25nn。(45)25nnTn，nN。【考点】 等比数列、等差数列的概念、通项公式以及求和公式，对数的定义。【解析】（1）由Sn=22nn，作1nnnaSS即可求得an；代入an=4log2bn3，化为指数形式即可求得bn。（ 2）由an，bn求出数列 anbn 的通项，得到2137211 2.412nnTn，从而作2nnTT即可求得T。例 9. 设数列na的前n项和nS满足121nnSa Sa，其中20a. （I ）求证：na是首项为1 的等比数列； （5 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

17、结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆（II ）若21a，求证：12()2nnSaa，并给出等号成立的充要条件. （7 分）【答案】 证明： （）121nnSa Sa，*211(2,)nnSa Sa nnN。1221(2)nnnnSSa Sa Sn。12(2)nnaa an。20a，0na。12nnaaa。2211Sa Sa，12121aaa aa。122a aa。11a。221aaa。*1,2nnanNa。na是首项为 1，公比为2a的等比数列。（ II ）当n=1 或n=2 时，易知)(21nnaanS成立。当12a时，)(21nnaannS成立。当

18、12a时，12221,1nnnnaSaaa，1()2nnnSaa。12221(1)(3)12nnanana。当112a时，上面不等式可化为1222(2)(2)(3)nnnananann，设12222()(2)nnf ananana，当210a时，2210na。222222()(2)(1)(2)|2nnnf ananaanan。当210a时，所要证的不等式成立。当201a时，12222()(2)(1)1nnf an nana令12222()(2)(1)1nnh anana，则3222()(2)(1)(1)()0nh annaa。2()h a在（ 0，1）上递减。2()(1)0h ah。22()(

19、)0fanh a。2()f a在（ 0，1）上递增。2()(1)2f afn。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆当201a时，所要证的不等式成立。 当12a时，)1 , 0(12a，由已证结论得：122211()11()121nnanaa。1112222211()11()121nnnnanaaaa。1221221(1)()122nnannaaaa。当201a时，所要证的不等式成立。综上所述，当21a且20a时，1()2nnnSaa。当且仅当n=1,2 或12a时等号成立。【考点】 数列与不等式的综合，数列与函数的综合，等比数列的性质，等比关系的确定。【分析】（I ）根据121nnSa Sa，得*211(2,)nnSa Sa nnN，两式相减， 即可证得na是首项为 1，公比为2a的等比数列。（II ）当n=1 或n=2 时和当12a时，)(21nnaanS成立。当12a时，分210a，201a，12a三种情况分别证明即可。本题也可用数学归纳法证明。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页