2022年长沙市中考数学试题压轴题总汇及答案 .pdf

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1、长沙市中考数学试题压轴题总汇【2013】【 2012】如图半径分别为m,n ）（n0 m的两圆 O1和 O2相交于 P,Q 两点，且点P （4,1 ），两圆同时与两坐标轴相切，O1与 x 轴， y 轴分别切于点M ，点 N， O2与 x 轴， y 轴分别切于点R，点 H。（ 1）求两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式；（ 2）求两圆的圆心O1，O2之间的距离d；（ 3）令四边形PO1QO2的面积为S1, 四边形 RMO1O2的面积为S2. 试探究：是否存在一条经过P,Q 两点、开口向下，且在x 轴上截得的线段长为dss2-21的抛物线？若存在，亲、请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。

2、【 2011】如图， 在平面直角坐标系中，已知点 A（0，2） ，点 P 是 x 轴上一动点， 以线段 AP 为一边，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页在其一侧作等边三角形APQ当点 P 运动到原点O 处时，记Q 的位置为B（1）求点 B 的坐标；（2）求证：当点P在 x 轴上运动（ P 不与 O 重合）时，ABQ 为定值；（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由【2010】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和 y轴上，8

3、 2OAcm， OC=8cm，现有两动点P、Q 分别从 O、C 同时出发， P 在线段 OA 上沿 OA 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q 在线段 CO 上沿 CO 方向以每秒1cm的速度匀速运动设运动时间为t 秒（1）用 t 的式子表示OPQ 的面积 S；（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当 OPQ 与 PAB 和 QPB 相似时，抛物线214yxbxc经过 B、P 两点，过线段 BP 上一动点M 作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN 的长取最大值时，求直线 MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比【2009】如图，二次函数2yaxbxc（0a）的

4、图象与x轴交于AB、两点，与y轴相交于点C连结ACBCAC、， 、两点的坐标分别为( 3 0)A，、(03)C，且当4x和2x时二次函数的函数值y相等（1）求实数abc， ，的值；xyQBAOP.B A P x C Q O y 第 26 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页（2）若点MN、同时从B点出发， 均以每秒1 个单位长度的速度分别沿BABC、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为t秒时，连结MN，将BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；（3）在（ 2）

5、的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以BNQ，为项点的三角形与ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由【2008】 如图，六边形 ABCDEF 内接于半径为r（常数）的 O， 其中 AD为直径，且 AB=CD=DE=FA.（1）当 BAD=75时，求 BC的长；（2）求证： BCAD FE；（3）设 AB=x，求六边形ABCDEF 的周长 L 关于x的函数关系式，并指出x为何值时， L取得最大值 . 【 2007】如图，平行四边形 ABCD 中，AB=4，BC=3，BAD=120 ，E 为 BC 上一动点（不与 B 重合） ，作 EFAB 于 F，FE，DC

6、 的延长线交于点 G，设 BE=x， DEF 的面积为 S（1）求证： BEF CEG；（2）求用 x 表示 S 的函数表达式，并写出x 的取值范围；（3）当 E 运动到何处时， S有最大值，最大值为多少？A B C D E F O y O x C N B P M A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页【 2006】如图 1，已知直线12yx与抛物线2164yx交于AB，两点（ 1）求AB，两点的坐标；（ 2）求线段AB的垂直平分线的解析式；（ 3）如图 2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在AB，两处用

7、铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与AB，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积， 并指出此时P点的坐标； 如果不存在，请简要说明理由【 2005】yxOyxOP A 图 2 图 1 BBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页【 2004】已知两点O（0，0） 、B（0，2） ， A 过点 B 且与 x 轴分别相交于点O、C，A 被 y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为3：1，直线 l 与 A 切于点 O，抛物线的顶点在直线l 上运动（ 1）求 A

8、 的半径；（ 2）若抛物线经过O、C 两点，求抛物线的解析式；（ 3）过 l 上一点 P 的直线与 A 交于 C、E 两点，且 PC=CE，求点 E 的坐标；（ 4）若抛物线与x 轴分别相交于C、F 两点，其顶点P 的横坐标为m，求 PEC 的面积关于m 的函数解析式长沙市中考数学试题压轴题总汇答案1(1) 连结 OB 、 OC ，由 BAD= 75 ，OA=OB 知 AOB=30， （1 分）AB=CD ， COD= AOB=30 ， BOC= 120 ， （2 分）故BC的长为3r2 （3 分）(2) 连结 BD ，AB=CD ， ADB= CBD ，BC AD ， （5 分）同理 EF

9、AD ，从而BC AD FE （6 分）(3) 过点 B作 BM AD于 M ， 由(2) 知四边形ABCD 为等腰梯形， 从而 BC=AD-2AM=2r-2AM （7分）AD为直径， ABD=90 ，易得 BAM DABAM=ADAB2=rx22，BC=2r-rx2，同理 EF=2r-rx2（8 分）L=4x+2(2r -rx2)=rxxr4422=rrxr622，其中 0 xr2（9 分）当x=r 时， L 取得最大值6r （10 分）2、略3、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页26解： (1) CQt，OP=

10、2t，CO=8 OQ=8tSOPQ212(8)24 222tttt（0t8） 3 分(2)S四边形OPBQS矩形ABCDSPABSCBQ118 8 28 28(822 )22tt3225 分四边形OPBQ 的面积为一个定值，且等于322 6分（3）当 OPQ 与 PAB 和 QPB 相似时 , QPB 必须是一个直角三角形，依题意只能是 QPB 90又 BQ 与 AO 不平行 QPO 不可能等于PQB， APB 不可能等于PBQ根据相似三角形的对应关系只能是OPQ PBQ ABP7 分8288 22ttt解得： t4 经检验： t4 是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）此时 P（4 2，

11、0）B（8 2，8）且抛物线214yxbxc经过 B、P 两点，抛物线是212 284yxx，直线 BP 是：28yx8 分设 M（m,28m） 、N(m，212 284mm) M 在 BP 上运动4282m2112 284yxx与228yx交于 P、B 两点且抛物线的顶点是P当4 28 2m时，12yy9 分12MNyy21(6 2)24m当6 2m时， MN 有最大值是2 设 MN 与 BQ 交于 H 点则(6 2,4)M、(6 2,7)HSBHM132 223 2SBHM：S五边形QOPMH3 2 :(32 23 2)3:29 当 MN 取最大值时两部分面积之比是3：2910 分精选学习

12、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页4、 （ 1）过点 B 作 BCy轴于点 C，1 分A（ 0，2） ，AOB 为等边三角形，AB=OB= 2， BAO=60 ，BC=3，OC=AC=1，即 B(3，1). 3 分（2）当点 P 在 x轴上运动（ P 不与 O 重合）时，不失一般性， PAQ=OAB=60 ， PAO=QAB，4 分在 APO 和 AQB 中，AP=AQ， PAO=QAB，AO=AB， APO AQB 总成立，5 分 ABQ=AOP=90 总成立，点 P 在 x 轴上运动（ P 不与 O 重合）时，ABQ

13、为定值 90 . 6 分（3）由（ 2）可知，点Q 总在过点 B 且与 AB 垂直的直线上，可见 AO 与 BQ 不平行 . 7 分当点 P 在 x 轴负半轴上时，点Q 在点 B 的下方，此时，若 ABOQ，四边形AOQB 即是梯形 . 当 ABOQ 时， BQO=90 ， BOQ=ABO=60 ，又 OB=OA=2，可求得BQ=3，xyCQBAOP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页由（ 2）可知 APO AQB，OP=BQ=3，此时 P 的坐标为（3，0）. 9 分当点 P 在 x 轴正半轴上时，点 Q 在点 B

14、 的上方，此时，若 AQOB，四边形AOBQ 即是梯形 . 当 AQOB 时，QAB=ABO=60 , ABQ=90 ，AB=2，BQ=32. 由（ 2）可知 APO AQB，OP=BQ=32，此时 P 的坐标为（32，0） . 综上， P 的坐标为（3，0）或（32，0） . 10 分5、(1) 由题意可知，两圆的圆心都在第一、三象限的角平分线上，故所求解析式为： y=x (2) O1(m,m),O2(n,n)(m n), 两圆的半径分别为m,n，O1P=m,O2P=n,由题意及勾股定理得：222222)4-() 1-)-4()1-nnnmmm（解得： m=22-5, n=225故 d=O1

15、O2=8242)-(2nm( 也可构造一元二次方程，利用韦达定理求解) （ 3）方法 1； P(4,1) ，根据对称性，Q(1,4),故 PQ=23, PQ O1O2; S1=，212823212121OOPQS2=220)-)(21mnnm故dss2-21=182220-212； P(4,1),即 P到 y 轴的距离 =4，P又在 x 轴上方， 故当抛物线开口向下时，且过P,Q 两点时，抛物线在x 轴上截得的距离不可能为1，故不存在这样的抛物线；方法 2：同上求出dss2-21=1，设抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为（x1,0 ）,(x2,0); 则，1-21xx设抛物线解析式为y=ax2

16、+bx+c，于是有：xyQBAOP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页141416acbacba解得：0110-82aa，求得8175a0，与题意矛盾，故不存在这样的抛物线。6、如图，平行四边形ABCD 中， AB=4 ，BC=3 ， BAD=120，E 为 BC 上一动点（不与B 重合） ，作 EFAB 于 F，FE，DC 的延长线交于点G，设 BE=x ，DEF 的面积为S（ 1）求证： BEF CEG；（ 2）求用 x 表示 S 的函数表达式，并写出x 的取值范围；（ 3）当 E 运动到何处时，S 有最大值，最

17、大值为多少？考点 ：二次函数综合题；平行四边形的性质；相似三角形的判定。专题 ：压轴题。分析： （1）因为 B=GCE， BEF= GEC，所以 BEF CEG；（ 2）在平行四边形ABCD 中，因为 BAD=120 所以 B=60 =ECG，又 BE=x ，EC=3x，所以 EF、CG 可利用三角函数求出，即在EFG 中，边和边上的高就为已知，从而求出解析式；（ 3）在（ 2）的基础上，寻求函数的最大值解 答： （1）证明： ABGD， B=GCE，又 BEF= GEC， BEF CEG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共

18、17 页（ 2）解：由（ 1） DG 为 DEF 中 EF 边上的高，在 RtBFE 中， B=60 ，EF=BEsinB=x， （4 分）在 RtCEG 中， CE=3x，CG=（3 x）cos60 =， DG=DC+CG=， （5 分） S=EF?DG=x2+x， （6 分）其中 0 x 3 （7 分）（ 3）解： a=，对称轴x=，当 0 x 3 时， S 随 x 的增大而增大，当 x=3，即 E 与 C 重合时， S有最大值（9 分）S最大=3 （10 分）点评： 此题考查内容较为丰富，既有平行四边形又有三角函数，难易程度适中7、26 （1）解：依题意得216412yxyx解之得121

19、26432xxyy(63)( 4 2)AB， 3 分（2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于CD，两点，交AB于M（如图 1）由（ 1）可知：3 52 5OAOB5 5AB 4 分1522OMABOByxO图 1 D M A C B 第 26 题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页过B作BEx轴，E为垂足由BEOOCM，得：54OCOMOCOBOE，同理：55500242ODCD， ， 5 分设CD的解析式为(0)ykxb k52045522kkbbb 6 分AB的垂直平分线的解析式为：522yx（3）若存在点P使A

20、PB的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线12yxm上，并设该直线与x轴，y轴交于GH，两点（如图2） 212164yxmyx2116042xxm抛物线与直线只有一个交点，2114(6)024m，2523144mP，在直线12524GHyx：中，25250024GH， ，2554GH设O到GH的距离为d，yxOP A 图 2 第 26 题H G B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页1122125 51252524224552GH dOG OHddABGH，P到AB的距离等于O到GH的距离

21、dS最大面积115 51255 52224AB d8、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页9、已知两点O（0，0） 、B（0，2） ， A 过点 B 且与 x 轴分别相交于点O、C， A 被 y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为3：1，直线 l 与 A 切于点 O，抛物线的顶点在直线l 上运动（1）求 A 的半径；（2）若抛物线经过O、C 两点，求抛物线的解析式；（3）过 l 上一点 P 的直线与 A 交

22、于 C、E 两点，且PC=CE，求点 E 的坐标；（4）若抛物线与x 轴分别相交于C、F 两点，其顶点P 的横坐标为m，求 PEC 的面积关于 m 的函数解析式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页考点 ：二次函数综合题。专题 ：压轴题。分析： （1）根据， A 被 y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为3：1，可知弦OB 所对的圆心角的度数为90 ，即三角形OAB 为等腰直角三角形，根据斜边OB 长为 2，因此圆A 的半径应该是；（2）本题要分两种情况进行求解：圆 A 的圆心在第一象限时，那么C 点的坐标应是（2，0）

23、，圆 A 的圆心在第二象限时，C 点的坐标应该是（2，0） ，因此可设抛物线的解析式为y=ax（x 2）或 y=ax（x+2） 已知顶点坐标在直线l 上，由于l 与圆相切，在（1）已经得出 BOA=45 ，因此直线l 与 y 轴的夹角为45 ，那么直线l 的解析式为y=x 或 y=x根据抛物线的对称性和O，C 的坐标可知，抛物线的对称轴为x=1或 x=1，将横坐标代入直线l 中即可求出顶点坐标，然后将其代入抛物线的解析式中即可得出所求的结果；（3）本题可根据切割线定理求解，先根据直线l 的解析式设出P 点的坐标，如（m， m）（m0）那么 OP=m，根据切割线定理有OP2=PC?PE=2PC2

24、=2m2，因此 PC=m，由此可得出 PC 与 P 的纵坐标的绝对值相同，即PCx 轴，因此m=OC=2 即可得出P 点的坐标；（另外一种情况，即当直线l 的解析式为y=x 时，解法同上）（4）已知了P 点的横坐标为m，即抛物线的对称轴为x=m，可据此求出FC 的长，然后将m 代入抛物线的解析式中求出P 点的纵坐标，即可得出三角形的高，然后根据三角形的面积计算公式即可求得S，m 的函数关系式 （本题要注意的线段的长不能为负数，因此要根据 m 的不同的取值范围进行分类讨论）解答： 解： （ 1）由弧长之比为3：1，可得 BAO=90 ， （1 分）再由 AB=AO=r ，且 OB=2 ，得 r=

25、；（2） A 的切线 l 过原点，可设l 为 y=kx，任取 l 上一点（ b，kb） ，由 l 与 y 轴夹角为45 ，可得： b=kb 或 b=kb，得 k=1 或 k=1，直线 l 的解析式为y=x 或 y=x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页又由 r=，易得 C（2，0）或 C（ 2，0）由此可设抛物线解析式为y=ax（ x2）或 y=ax（x+2）再把顶点坐标代入l 的解析式中得a=1 抛物线为y=x22x 或 y=x2+2x；（3）当 l 的解析式为y= x 时，由 P 在 l 上，可设 P（m，

26、m） （m0）过 P 作 PP x 轴于 P ，OP =|m| ，PP =| m|，OP=2m2，又由切割线定理可得：OP2=PC?PE，且 PC=CE，得 PC=PE=m=PPC 与 P 为同一点，即PEx 轴于 C，m=2，E（ 2， 2）同理，当l 的解析式为y=x 时， m=2，E（ 2，2） ；（4）若 C（ 2，0） ，此时 l 为 y= x，P 与点 O、点 C 不重合，m 0且 m 2 ，当 m0 时， FC=2（2m） ，高为 |yp|即为 m，S=m22m同理当 0m2 时， S=m2+2m；当 m2 时， S=m22m；S=.，又若 C（ 2，0） ，此时 l 为 y=x ，同理可得； S=.点评： 本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质、二次函数解析式的确定，图形面积的求法等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页