2022年2022年空间向量练习题 2.pdf

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1、空间向量在立体几何中的应用【知识梳理】 1、已知直线12,l l的方向向量分别为12,v v，平面,的法向量分别为12,n n，则（1）12/ /ll； （2）12ll；（3）若直线12,ll的夹角为，则cos；（4）1/ /l； （5）1l；（6）若直线1l与面的成角为，则sin；（7）/ /面面； （8）面面；（9）若面与面成二面角的平面角为，则。2、 （1）三余弦定理：；（2）三垂线定理（及逆定理）：；（3） 二面角的平面角定义 （范围）：；【小试牛刀】 1、A(1，1，-2)、B(1，1，1)，则线段 AB 的长度是 ( 2、向量 a(1，2，-2)，b(-2，-4，4)，则 a 与

2、b( ) A. 相交B.垂直平行以上都不对3. 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M 为 AC 与 BD 的交点 . 若11BA=a，11DA=b，AA1=c，则下列向量中与MB1相等的向量是（）A. 21a+21b+c B.21a+21b+cC.21a21b+c D. 21a21b+c4. 下列等式中，使点 M与点 A、B、C一定共面的是A.OCOBOAOM23 B.OCOBOAOM513121C.0OCOBOAOM D.0MCMBMA5. 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点 E、F 分别是 AB、AD 的中点，则DCEF等于名师资料总结 - - -精品资料

3、欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - A.41 B.41 C.43 D.436. 若)2, 1 (a，)1 , 1,2(b，a与b的夹角为060，则的值为A.17 或-1 B.-17或 1 C.-1 D.1 7. 设)2, 1 , 1(OA，)8 ,2, 3(OB，)0 , 1 , 0(OC，则线段 AB 的中点 P 到点 C 的距离为A.213 B.253 C.453 D.4538. 如图， ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是A.

4、 BD平面 CB1D1 B. AC1BDC. AC1平面 CB1D1 D. 异面直线 AD 与 CB1所成的角为 609. 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1, 则 BC1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为A.63B.552C.155D.10510. ABC 的三个顶点分别是)2, 1, 1(A，)2,6,5(B，)1,3, 1(C，则 AC边上的高 BD长为A.5 B.41 C.4 D.5211. 设)3 ,4,(xa，),2,3(yb，且ba/，则 xy . 12. 已知向量) 1 , 1,0(a，)0, 1 , 4(b，29ba且0，则=_. 1

5、3. 在直角坐标系xOy中，设 A（-2 ，3） ，B（3，-2） ，沿x轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后， 这时112AB，则的大小为14. 如图， PABCD 是正四棱锥，1111ABCDA B C D是正方体，其中2,6ABPA，则1B到平面 PAD的距离为 . 15、已知2,4,2, ,26axbyab，若 a且，求xy值. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 俯视图侧视图正视图121121EDCBAP1

6、6 如图所示， 直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=1， BCA=90 ，棱 AA1=2，M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点 .（1）求BN的长；（2）求 cos的值（3）求证： A1BC1M. 17. 如图，在四面体ABCD 中， CBCDADBD，点 EF，分别是 ABBD，的中点求证：（1）直线/EF面 ACD ；（2）平面 EFC面 BCD 18. （本小题满分 14 分） 如图， 已知点 P 在正方体DCBAABCD的对角线BD 上，PDA=60 .（1）求 DP 与CC 所成角的大小；（2）求 DP 与平面DDAA所成角的大小 .19.（本小题满分 14 分）已知一四棱

7、锥 PABCD 的三视图如下， E 是侧棱 PC 上的动点（1）求四棱锥 PABCD 的体积；（2）是否不论点 E 在何位置，都有 BDAE？证明你的结论 ;（3）若点 E 为 PC 的中点，求二面角DAEB 的大小DCBAPDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 参考答案1、C 2、C3.)(21111BCBAAABMBBMB=c+21(a+b)=21a+21b+c，故选 A. 4.1),(zyxRzyxOCz

8、OByOAxOMCBAM且四点共面、由于MCMBMAMCMBMACBA0由于都不正确、选项.)()()(共面使所以存在MCMBMAMCyMBxMAyx, 1, 1四点共面，、为公共点由于CBAMM故选 D. 5. 的中点分别是ADABFE,BDEFBDEFBDEF21,21/且,41120cos1121,cos21210DCBDDCBDDCBDDCEF故选 B. 6.B 7.B 8.D 9. D 10. 由于4,cosACACABACABABAD，所以522ADABBD, 故选 A 11. 9 12.3 13. 作 AC x 轴于 C，BD x 轴于 D，则DBCDACABcos6)180co

9、s(,0, 0, 2, 5, 30DBACDBACDBCDCDACDBCDAC000222222222120,1800.21cos),cos600(2253)112()(2)(由于ACDBDBCDCDACDBCDACDBCDACAB14. 以11BA为x轴，11DA为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系设平面 PAD 的法向量是( , , )mx y z，(0,2,0),(1,1,2)ADAP，02,0zyxy，取1z得( 2,0,1)m，1( 2,0,2)B A，1B到平面 PAD 的距离1655B A mdm. 15、解：由22262436ax，又0aba b即4420yx由有：4,34,

10、1xyxy或13xy或名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 16、如图，建立空间直角坐标系Oxyz. （1）依题意得B（0，1，0） 、 N（1，0，1）|BN|=3)01()10()01(222. （2）依题意得A1（1，0，2） 、B（0，1，0） 、C（0，0，0） 、B1（0，1，2）1BA= 1，1，2 ，1CB=0 ，1，2，1BA1CB=3，|1BA|=6，|1CB|=5cos=30101|1111CBB

11、ACBBA. （3）证明：依题意，得C1（0，0，2） 、 M（21,21，2） ，BA1= 1，1，2 ，MC1=21,21，0. BA1MC1=2121+0=0，BA1MC1， A1BC1M. 17. 证明： （1）E,F 分别是 ABBD，的中点，EF 是ABD 的中位线， EFAD，AD 面 ACD ，EF面 ACD ，直线 EF面 ACD ；（2）ADBD ，EFAD，EFBD ，CB=CD，F 是的中点， CFBD 又 EF CF=F,BD面 EFC ，BD面 BCD ，面 EFC面 BCD. 18. 解：如图，以 D 为原点， DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz则(10 0)

12、DA，(0 01)CC，连结 BD ， B D 在平面 BBD D 中，延长 DP 交 B D 于 H 设(1)(0)DHmmm，由已知60DH DA，由cosDA DHDA DHDA DH，可得2221mm解得22m，所以22122DH，（1）因为22001 1222cos212DH CC，所以45DH CC，即 DP 与 CC 所成的角为45（2）平面 AAD D 的一个法向量是(0 1 0)DC， ，A B C D P ABCDx y z H 图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

13、- - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - zyxEDCBAP因为2201 1 0122cos212DH DC，所以60DH DC，可得 DP 与平面 AAD D 所成的角为3019. 解： （1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 PC底面 ABCD，且 PC=2.1233PABCDABCDVSPC(2)不论点 E 在何位置，都有BDAE 证明如下：连结 AC，ABCD 是正方形， BDAC PC底面 ABCD 且 BD平面 ABCD BDPC 又 ACPCCBD平面 PAC 不论点 E 在何位置，都有 AE平面 PAC

14、 不论点 E 在何位置，都有 BDAE (3)解法 1：在平面 DAE 内过点 D 作 DGAE 于 G，连结 BG CD=CB,EC=EC， Rt ECD Rt ECB ，ED=EB AD=AB ， EDAEBA， BGEA DGB 为二面角 DEAB 的平面角BCDE，ADBC，ADDE 在 RADE 中AD DEDGAE=23=BG 在DGB 中，由余弦定理得212cos222BGDGBDBGDGDGBDGB =23，二面角 DAEB 的大小为23.解法 2：以点 C 为坐标原点， CD 所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图示：则(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,

15、1)DABE,从而( 1,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0, 1,1)DEDABABE设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为( , , ),( , )ma b cna b c由法向量的性质可得：0,0acb，0,0abc令1, 1cc，则1, 1ab，(1,0,1),(0, 1, 1)mn设二面角 DAEB 的平面角为，则1cos2| |m nmn23，二面角 DAEB 的大小为23.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -