四中中考复习数理化语英习集 中考冲刺 创新、开放与探究型问题 知识讲解提高.doc
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1、中考冲刺:创新、开放与探究型问题知识讲解(提高)撰稿:张晓新 审稿:杜少波【中考展望】所谓开放探索型问题指的是有些数学问题的条件、结论或解决方法不确定或不唯一,需要根据题目的特点进行分析、探索,从而确定出符合要求的答案(一个、多个或所有答案)或探索出解决问题的多种方法 由于开放探究型问题对考查学生思维能力和创造能力有积极的作用,是近几年中考命题的一个热点通常这类题目有以下几种类型:条件开放与探索,结论开放和探索,条件与结论都开放与探索及方案设计、命题组合型、问题开放型等【方法点拨】由于开放探究型试题的知识覆盖面较大,综合性较强,灵活选择方法的要求较高,再加上题意新颖,构思精巧,具有相当的深度和
2、难度,所以要求同学们在复习时,首先对于基础知识一定要复习全面,并力求扎实牢靠;其次是要加强对解答这类试题的练习,注意各知识点之间的因果联系,选择合适的解题途径完成最后的解答由于题型新颖、综合性强、结构独特等,此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路,但是可以从以下几个角度考虑: 1利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括,从特殊到一般,从而得出规律2反演推理法(反证法),即假设结论成立,根据假设进行推理,看是推导出矛盾还是能与已知条件一致3分类讨论法当命题的题设和结论不唯一确定,难以统一解答时,则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏,分门别类加以讨论求解,将不同结
3、论综合归纳得出正确结果4类比猜想法即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法,并加以严密的论证以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略,因而具体操作时,应更注重数学思想方法的综合运用【典型例题】类型一、探索规律1如图所示,ABC面积为1,第一次操作,分别延长AB,BC,CA至点A1,B1,C1,使得A1BAB,B1CBC,C1ACA,顺次连接A1B1,B1C1,C1A1,得到AB1C1第二次操作,分别延长AB1,B1C1,C1A1至点A2,B2,C2,使A2B1A1B1,B2C1B1C1,C2A1C1A,顺次连接AB2,B2C2,C2A2,得到A2B2C2,;按此规律
4、,要使得到三角形的面积超过2006,最少需经过_次操作【思路点拨】先根据已知条件求出A1B1C1及A2B2C2的面积,再根据两三角形的倍数关系求解即可【答案与解析】解:ABC与A1BB1底相等(AB=A1B),高为1:2(BB1=2BC),故面积比为1:2,ABC面积为1,SA1B1B=2同理可得,SC1B1C=2,SAA1C=2,SA1B1C1=SC1B1C+SAA1C+SA1B1B+SABC=2+2+2+1=7;同理可证SA2B2C2=7SA1B1C1=49,第三次操作后的面积为749=343,第四次操作后的面积为7343=2401故按此规律,要使得到的三角形的面积超过2010,最少经过4
5、次操作【总结升华】本题是“操作规律”探索问题,解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的关系,再根据此规律求解即可这类问题的难点在于有一种趋向于无穷的状态,使得学生产生畏难情绪,所以首先要克服这种心理状态,其次要在抓好始状态下的数理关系上下功夫,从中挖掘并找到规律 举一反三:【变式】如图,对面积为1的ABC逐次进行以下操作:第一次操作,分别延长AB,BC,CA至点A1,B1,C1,使得A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,顺次连接A1,B1,C1,得到A1B1C1,记其面积为S1;第二次操作,分别延长A1B1,B1C1,C1A1至点A2,B2,C2,使得A2B1=2A1B1,B
6、2C1=2B1C1,C2A1=2C1A1,顺次连接A2,B2,C2,得到A2B2C2,记其面积为S2;按此规律继续下去,可得到A5B5C5,则其面积S5 = 【答案】解:连接A1C,根据A1B=2AB,得到:AB:A1A=1:3,因而若过点B,A1作ABC与AA1C的AC边上的高,则高线的比是1:3,因而面积的比是1:3,则A1BC的面积是ABC的面积的2倍,设ABC的面积是a,则A1BC的面积是2a,同理可以得到A1B1C的面积是A1BC面积的2倍,是4a,则A1B1B的面积是6a,同理B1C1C和A1C1A的面积都是6a,A1B1C1的面积是19a,即A1B1C1的面积是ABC的面积的19
7、倍,同理A2B2C2的面积是A1B1C1的面积的19倍,即A1B1C1的面积是19,A2B2C2的面积192,依此类推,A5B5C5的面积是S5=195=2476099类型二、条件开放型、结论开放型2在平面直角坐标系中,等腰三角形ABC的顶点A的坐标为(2,2)(1)若底边BC在x轴上,请写出一组满足条件的点B、点C的坐标: ; (0,0),(4,0)(2)若底边BC的两端点分别在x轴、y轴上,请写出一组满足条件的点B、点C的坐标: . 【思路点拨】(1)首先由BC在x轴上,在等腰ABC中,即可过顶点A作ADBC交BC于D,根据三线合一的性质,可得BD=CD,即B,C关于点D对称,则可求得满足
8、条件的点B、点C的坐标;(2)连接OA,由等腰三角形ABC的顶点A的坐标为(2,2),易证得AOBAOC,则可知OB=OC,继而可得满足条件的点B、点C的坐标【答案与解析】解:(1)BC在x轴上,在等腰ABC中,过顶点A作ADBC交BC于D,顶点A的坐标为(2,2),D的坐标为(2,0),在等腰ABC中,有BD=CD,B,C关于点D对称,一组满足条件的点B、点C的坐标为:B(0,0),C(4,0); (2)连接OA, 等腰三角形ABC的顶点A的坐标为(2,2),AOC=AOB=45,当OB=OC时,在AOB与AOC中,AOBAOC,AB=AC,即ABC是等腰三角形,一组满足条件的点B、点C的坐
9、标:(0,1),(1,0)【总结升华】此题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定与性质等知识此题难度适中,解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法举一反三:【变式】在平面直角坐标系中,等腰三角形ABC的顶点A的坐标为(2,2)(1)若底边BC在x轴上,请写出一组满足条件的点B,点C的坐标:_;设点B,点C的坐标分别为(m,0),(n,0),你认为m,n应满足怎样的条件?(2)若底边BC的两个端点分别在x轴,y轴上,请写出一组满足条件的点B,点C的坐标:_;设点B,点C的坐标分别为(m,0),(0,n),你认为m,n应满足怎样的条件?(0,1),(1,0)【答案】解:可以通过等腰三
10、角形的作法来探求符合题意的条件:由于ABAC,故点B和点C在以A为圆心的同一个圆上 (1)如图(a),作AEx轴于E,以大于AE的长度为半径画弧,与x轴的交点即为符合题意的点B和点C易知E(2,0)为线段BC的中点,故CEEB,即n22m;如:点B(0,0),点C(4,0);m+n4且mn(2)类似于(1)作OA,与两条坐标轴分别交于B1,B2,C1,C2,显然当A,B,C三点不共线时这样确定的点B,C均符合题意如:点B(1,0),点C(0,1),或点B(3,0),点C(0,1);mn,且m,n不为0和4;或m+n4类型三、条件和结论都开放的问题3如图(1),四边形ABCD中,AD与BC不平行
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