2022年高中数学必修一至必修五知识点总结完整版 5.pdf

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1、数学必修一知识归纳第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：1. 元素的确定性； 2. 元素的互异性； 3. 元素的无序性说明： (1) 对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和

2、整体性。3、集合的表示：1. 用拉丁字母表示集合： A=我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5 2集合的表示方法：列举法与描述法。非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合 A的元素，就说 a属于集合 A 记作 a A ，相反， a 不属于集合 A 记作 aA 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法：例： 不是直角三角形的三角

3、形 数学式子描述法：例： 不等式 x-32 的解集是 x?R| x-32 或x| x-32 二、集合间的基本关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页1. “包含”关系子集注意： 有两种可能（ 1）A是 B的一部分，； （2）A与 B是同一集合。反之: 集合 A不包含于集合 B,或集合 B不包含集合 A,记作 A B 或 B A 2 “相等”关系 (5 5，且 55，则 5=5) 结论：对于两个集合 A与 B，如果集合 A的任何一个元素都是集合B的元素，同时 , 集合 B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于

4、集合 B，即： A=B 任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集 : 如果 AB,且 B A 那就说集合 A是集合 B的真子集，记作 AB(或 B A) 如果 AB, BC , 那么 AC 如果 AB 同时 BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1交集的定义：一般地，由所有属于A 且属于 B 的元素所组成的集合 ,叫做 A,B 的交集记作 AB(读作” A交 B”) ，即 AB=x|x A，且 xB2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合 B的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集。记作： A

5、B(读作” A并 B”) ，即 AB=x|xA，或 xB3、交集与并集的性质： AA = A, A = , A B = BA，AA = A, A= A ,A B = BA. 4、全集与补集（1）补集：设 S是一个集合， A是 S 的一个子集（即） ，由 S中所有不属于 A的元素组成的集合，叫做S中子集 A的补集（或余集）（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。四、函数的有关概念1函数的概念：设A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合 A中的任意一个数x，在集合 B中都有唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就

6、称 f ：AB为从集合 A到集合 B的一个函数记作： y=f(x)，xA其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意：如果只给出解析式y=f(x) ，而没有指明它的定义域，则函数的定义域精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不

7、等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于： (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 . 那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合 .（6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 . ( 又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 注意： （1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的， 所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完

8、全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 ( 两点必须同时具备 ) 4了解区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5什么叫做映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合 A中的任意一个元素x，在集合 B中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应 f ：A B 为从集合 A到集合 B的一个映射。记作“ f ：A B”给定一个集合 A到 B的映射，如果 aA,bB.且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b

9、 的原象说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合A、B 及对应法则 f 是确定的；对应法则有 “方向性”，即强调从集合 A到集合 B的对应，它与从 B到 A 的对应关系一般是不同的； 对于映射 f ： AB来说，则应满足：（）集合 A 中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（）集合 A 中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（）不要求集合 B中的每一个元素在集合A中都有原象。7函数单调性（1） 增函数设函数 y=f(x) 的定义域为 I ， 如果对于定义域 I 内的某个区间 D内的任意两个自变量 a，b，当 ab 时，都有 f(a)f(b)，那么就说 f(x)

10、 在区间 D上是增函精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页数。区间 D称为 y=f(x) 的单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念）如果对于区间 D上的任意两个自变量的值a，b，当 ab 时，都有 f(a) f(b) ，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数 . 区间 D称为 y=f(x) 的单调减区间 . 注意： 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量a，b；当 ab 时，总有f(a)f(b) 。（2） 图象的特点如果函数 y=f(x) 在某个区间是增

11、函数或减函数，那么说函数y=f(x) 在这一区间上具有 ( 严格的) 单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3). 函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：任取 a，bD，且 a1，且 nN*当 n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数此时，a的n次方根用符号na 表示式子na 叫做根式（ radical） ，这里 n叫做根指数（ radical exponent） ， a叫做被开方数（ radicand ） 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数a的正的n次方根用符号na 表示，负的n次方根

12、用符号na 表示正的n次方根与负的n次方根可以合并成na （a0） 由此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作00n。注意：当n是奇数时，aann，当n是偶数时，)0()0(|aaaaaann2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页) 1,0(*nNnmaaanmnm，)1, 0(11*nNnmaaaanmnmnm0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同

13、样可以推广到有理数指数幂3实数指数幂的运算性质（1）rasrraa),0(Rsra； （2）rssraa )(),0(Rsra；（3）srraaab)(),0(Rsra（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数) 1, 0(aaayx且叫做指数函数（exponential function） ，其中 x 是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a1 0a1 0a1 32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567

14、8011图象特征函数性质1a1a01a1a0函数图象都在 y 轴右侧函数的定义域为（ 0，）图象关于原点和 y 轴不对称非奇非偶函数向 y 轴正负方向无限延伸函数的值域为 R 函数图象都过定点 （1，0）01loga自 左 向右看，图 象 逐渐上升自 左 向右看，图 象 逐渐下降增函数减函数第 一 象限 的 图象 纵 坐标 都 大于 0 第 一 象限 的 图象 纵 坐标 都 大于 0 0log, 1xxa0log, 10 xxa第 二 象限 的 图象 纵 坐标 都 小于 0 第 二 象限 的 图象 纵 坐标 都 小于 0 0log, 10 xxa0log, 1xxa三、幂函数1、幂函数定义：

15、一般地，形如xy)(Ra的函数称为幂函数， 其中为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（ 0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1） ；（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0上是增函数特别地，当1时，幂函数的图象下凸； 当10时，幂函数的图象上凸；（3）0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数在第一象限内， 当x 从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当 x趋于时， 图象在 x轴上方无限地逼近 x轴正半轴精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1

16、、函数零点的概念：对于函数)(Dxxfy，把使0)(xf成立的实数 x叫做函数)(Dxxfy的零点。2、函数零点的意义：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与 x轴交点的横坐标。即：方程0)(xf有 实 数 根函 数)(xfy的 图 象 与 x 轴 有 交点函数)(xfy有零点3、函数零点的求法：求函数)(xfy的零点： 1 （代数法）求方程0)(xf的实数根； 2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数)0(2acbxaxy），方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点），方程02cbxax有两相等实根（二重根） ，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点），方程02cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页