2022年高中数学椭圆的经典知识总结 2.pdf
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1、高中数学椭圆的经典知识总结3 一、选择题1(09 浙江 )已知椭圆x2a2y2b2 1(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,点 B 在椭圆上,且BFx 轴,直线 AB 交 y 轴于点 P,若 AP2PB,则椭圆的离心率是() A.32B.22C.13D.12答案 D 解析 由题意知: F(c,0), A(a,0)BFx 轴, APPBac.又AP2PB,ac2,eca12.故选 D. 2 已知 P 是以 F1、 F2为焦点的椭圆x2a2y2b21(ab0)上一点,若PF1 PF20, tanPF1F212,则椭圆的离心率为() A.12B.23C.13D.53答案 D 解析 由PF1 PF20
2、知F1PF2为直角,设|PF1|x,由 tanPF1F212知, |PF2|2x,a32x,由|PF1|2 |PF2|2|F1F2|2得 c52x,eca53. 3(文)(北京西城区 )已知圆 (x2)2y236 的圆心为M,设 A 为圆上任一点,N(2,0) ,线段 AN 的垂直平分线交MA 于点 P,则动点P 的轨迹是() A圆B椭圆C双曲线D抛物线答案 B 解析 点 P 在线段 AN 的垂直平分线上,故|PA| |PN|,又 AM 是圆的半径,|PM|PN|PM|P A|AM|6|MN|,由椭圆定义知,P 的轨迹是椭圆(理)(浙江台州 )已知点M(3, 0),椭圆x24y21 与直线y
3、k(x3)交于点A、B,则ABM 的周长为() A4 B8 C 12 D16 答案 B 解析 直线 yk(x3)过定点 N(3,0),而 M、N 恰为椭圆x24y21 的两个焦点,由椭圆定义知 ABM 的周长为4a42 8. 4已知椭圆x2a2y2b21(ab0)与双曲线x2m2y2n21(m0,n0)有相同的焦点(c, 0)和(c,0)(c0)若 c 是 a、m 的等比中项, n2是 2m2与 c2的等差中项,则椭圆的离心率是() A.33B.22C.14D.12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页答案 D 解析 由
4、题意得c2am(1)2n22m2c2(2)c2m2n2(3),由(2)(3) 可得 mc2,代入 (1)得椭圆的离心率 eca12.故选 D. 5(文)椭圆x2100y2641 的焦点为F1、F2,椭圆上的点P 满足 F1PF260 ,则F1PF2的面积是() A.6433B.9133C.1633D.643答案 A 解析 由余弦定理:|PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2| cos60 |F1F2|2. 又|PF1|PF2| 20,代入化简得 |PF1| |PF2|2563,SF1PF212|PF1| |PF2| sin60 6433. (理)已知 F 是椭圆x225y291 的一个焦
5、点, AB 为过其中心的一条弦,则 ABF 的面积最大值为() A6 B15 C20 D12 答案 D 解析 S12|OF | |y1y2|12|OF| 2b12. 6(2010 山东济南 )设 F1、F2分别为椭圆x2a2y2b21 的左、右焦点,ca2b2,若直线 xa2c上存在点P,使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是() A. 0,22B.33,1C.22,1D.0,33答案 B 解析 直线 xa2c上存在点P,使线段PF1的中垂线过F2,|F1F2|PF2|,设直线xa2c与 x 轴交于 Q 点,则易知 |PF2|QF2|,即 |F1F2| |QF2|,2ca2c
6、c,ca2b20,3c2a2,即 e213,e33,33eb0)的两个焦点, A 和 B 是以 O 为圆心, 以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且F2AB 是等边三角形,则椭圆的离心率为() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页A.32B.12C.22D.31 答案 D 解析 连结 AF1,由圆的性质知, F1AF2 90 ,又 F2AB 是等边三角形, AF2F1 30 , AF1c, AF23c, eca2c2a2cc3c31.故选 D. 8(文)(辽宁沈阳 )过椭圆 C:x2a2y2b2 1(ab0)
7、的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C于另一个点B,且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点F,若13k12,则椭圆离心率的取值范围是() A.14,49B.23,1C.12,23D. 0,12答案 C 解析 点 B 的横坐标是c,故 B 的坐标c,b2a,已知 k13,12,B c,b2a. 斜率 kb2acab2aca2a2c2aca21e2e1. 由13k12,解得12ec0)静放在点A 的小球 (小球的半径不计),从点 A 沿直线出发,经椭圆壁反射后第一次回到点A 时,小球经过的路程是() A2(ac) B2(ac) C4aD以上答案均有可能答案 D 解析 如图所示,本题应分三种情况讨
8、论:当光线沿着x 轴负方向从点A 出发,经椭圆壁反射后第一次回到点A 时,小球经过的路程是 2(ac);当光线沿着x 轴正方向从点A 出发,经椭圆壁反射后第一次回到点A 时,小球经过的路程是2(ac );在其它情况下,从点A 沿直线出发,经椭圆壁反射后第一次回到点 A 时,小球经过的路程是4a.故选 D. 9(杭州五校 )椭圆 x2my21 的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m 的值为() A.14B.12C 2 D4 答案 A 解析 由题意y21mx21,且1m2,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页m14.
9、故选 A. 10(宁波余姚 )如果 AB 是椭圆x2a2y2b21 的任意一条与x 轴不垂直的弦, O 为椭圆的中心, e为椭圆的离心率,M 为 AB 的中点,则kAB kOM的值为() Ae1 B1 eCe21 D1 e2答案 C 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),中点 M(x0,y0),由点差法,x21a2y21b2 1,x22a2y22b21,作差得(x1x2)(x1x2)a2(y2y1)(y2 y1)b2,kAB kOMy2y1x2 x1y1y2x1x2b2a2c2a2a2e21.故选 C. 二、填空题11(文)已知 F1、F2为椭圆x2a2y2b21(ab0)的焦点, M
10、 为椭圆上一点,MF1垂直于x轴,且 F1MF260 ,则椭圆的离心率为_答案 33解析 令 x c,c2a2y2b21. yb2a.|F1M|b2a. F1MF260 ,|MF2|2|MF1|2b2a. 又|MF1|MF2|2a,3b2a2a. a23c2.e213, 0eb0)的焦距为 2c.以点 O 为圆心, a 为半径作圆M.若过点 Pa2c,0 作圆 M 的两条切线互相垂直,则该椭圆的离心率为_答案 22解析 设切点为Q、B,如图所示 切线 QP、PB 互相垂直,又半径 OQ 垂直于 QP,所以 OPQ 为等腰直角三角形,可得2aa2c,eca22. 12在平面直角坐标系xOy 中,
11、已知 ABC 的顶点 A(4,0)和 C(4,0),顶点 B 在椭圆x225y291 上,则sinAsinCsinB_. 答案 54解析 x225y291 的焦点是A(4,0)、C(4,0),点 B 在椭圆上, BABC2a10,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页AC8,由正弦定理得sinAsinCsinBBCABAC54. 13设椭圆x225y2161 上一点P 到右准线的距离为10,F 是该椭圆的左焦点,若点M满足 OM12(OPOF),则 |OM|_. 答案 3 解析 设右焦点F,由定义 |PF|PF|10,|
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