2022年数学篇——数列讲解 .pdf

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1、第五章 数列学习要求：1. 了解数列和其通项公式、前n项和的概念2. 理解等差数列、等差中项的概念，会用等差数列的通项公式、前n项和公式解决有关问题 . 3. 理解等比数列、等比中项的概念，会用等比数列的通项公式、前n项和公式解决有关问题 . 一、数列的概念1. 定义按照一定顺序排列的一列数，数列里的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第一项，第二项，第n项，第一项也叫首项 . 一般地，常用123naaaa， ，来表示数列，其中na是数列的第n项，又名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -

2、 - - - - - 第 1 页，共 25 页 - - - - - - - - - 叫做数列的通项 . 数列记为na例如 , 数列1,3,5,7,21,n第 1 项是 1， 第 2 项是 3， 第 3 项是 5，第n项是21n，数列记作21n2. 数列的通项公式数列na的第n项na与项数n之间的关系，如果可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 例如，数列1,3,5,7,21,n通项公式是21nan. 3. 数列的前n项和对于数列123,na a aa称123naaaa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

3、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 25 页 - - - - - - - - - 为这个数列的前n项和，记作nS. 即123nnSaaaa4. 数列na的na与nS的关系111,(2)nnnaSaSSn例1 已 知 数 列na的 前n项 和232nSnn，求数列na的通项公式na解析 : 由232nSnn得2213(1)2(1)385nSnnnn所以，当2n时22132(385)65nnnaSSnnnnn当2111 ,3 12 11,naS满足公式65nan所以数列的通项公式为65nan历年试题（2014 年试题）2. 已知数列na的前n项和22nSnn，求（I

4、）na的前三项；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 25 页 - - - - - - - - - （II ）数列na的通项公式解析 ：（I ）21122212233212 11222( 1)1323(222)3aSaSSaSS（II ）当2,n2212(1)2(1)23nnnaSSnnnnn当1n时11,a满足23nan所以数列的通项公式为23nan（2007 年试题）已知数列na前 n 项和(21)nSnn（I ）求该数列的通项公式；（II ）判断 39 是

5、该数列的第几项. 解: （I ）当2,n22122(1)(1)41nnnaSSnnnnn当1n时13,a满足41nan所以数列的通项公式为41nan(II)设39是 该 数 列 的 第n项 ， 则3941n,10n，即 39 是该数列的第10名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 25 页 - - - - - - - - - 项二、等差数列1. 等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于一个常数，这个数列就叫等差数列，这个常数叫做公差，记为

6、d，即1nndaa等差数列的一般形式为1111,2 ,(1) ,a ad adand2. 等差数列的通项公式设na是首项为1a，公差为d的等差数列，则这个数列的通项公式为1(1)naand名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 25 页 - - - - - - - - - 3. 等差数列的前n项和公式设na是首项为1a， 公差为d的等差数列，nS为其前n项和，则1()2nnaaSn或11(1)2nSnan nd4. 等差中项如果,A B C称等差数列，B就称为A与

7、C的等差中项，则2ACB注：一般证明一个数列是等差数列时，经常是按它们的定义证明1nnaad为常量5. 等差数列的性质名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 25 页 - - - - - - - - - （1）在等差数列中，间隔相同抽出的项来按照原来的顺序组成新的数列仍是等差数列. 对于等差数列123,na a aa数列13521,na a aa也是等差数列，数列2462,na a aa也是等差数列数列15913,a a a a也是等差数列例2如 在 等 差 数

8、列na中 ， 已 知274,9aa，求12a解 析 ：2712,a a a构 成 等 差 数 列 ， 因 为72945aa，所以12759514aa（2）对等差数列na，若, , ,m n s t均为正整数，且mnst，则mnstaaaa如名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 25 页 - - - - - - - - - 1928374652aaaaaaaaa例 3 在等差数列na中，已知2810aa，求5a解析：因为2855aaaa， 即5282,aaa所以，

9、285()10522aaa例4设na为 等 差 数 列 ,其 中5159,39aa，则10a（A）24 （B）127 （C） 30 （D）33 解析 : 解法一由等差数列na的通项公式1(1)naand知11491439adad110139243aaadd得所以解法二na为等差数列， 所以51015,a aa也是等差数列，所以，10a是5a与15a的等差中项，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 25 页 - - - - - - - - - 5151093924

10、22aaa例 5 在等差数列na中，如果232,5aa，则10S_ 解析：32523daa，由21,aad得12231aad10111010(10 1)2110( 1)10 (10 1) 31252Sad例 6 等差数列na中，若45690aaa则其前9项的和9S（）A.300 B.270 C.540 D.135解析：na是等差数列，所以4652aaa，由45690aaa得5390a，530a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 25 页 - - - - - -

11、 - - - 由1()2nnaaSn得，199()92aaS，又1952aaa，所以1959()29930927022aaaS，选 B 历年试题（2013 年试题）等差数列na中，若132,6aa，则2aA. 3 B. 4 C. 8 D. 12 解析：13226422aaa（2012 年试题）已知一个等差数列的首项为1，公差为3，那么该数列的前5项和为（） A.35 B.30 C.20 D. 10名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 25 页 - - - -

12、- - - - - 解析：由11(1)2nSnan nd得515 15(51) 3352S选 A （2011 年试题）已知等差数列na的首项与公差相等，na的前n项的和记作nS，且20840S. （ ） 求数列na的首项1a及通项公式；（ ） 数列na的前多少项的和等于84? 解析 : （ ） 已知等差数列na的公差1da又2011120(201)20201902102Sadada即1210840a，所以，14a又1da，即4d，所以，1(1)4(1) 44naandnn即数列na的通项公式为4nan名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

13、- - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 25 页 - - - - - - - - - （ ）设84nS， 又21()(44 )2222nnaanSnnnn，即22284nn， 解得6,7nn（舍去）所以数列na的前6项的和等于84. （2009 年试题）面积为 6的直角三角形三边的长由小到大成等差数列，公差为d，求d的值 ; 在以最短边的长为首项，公差为d的等差数列中， 102 为第几项？解析 :（I ）由已知条件可设直角三角形的边长分别为, ,ad a ad其中0,0,ad则222()()adaad，得4ad三边长分别为3 ,4 ,5ddd1346,1

14、2Sddd故三角形三边长分别是3,4,5. 公差1d名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 25 页 - - - - - - - - - (II)以 3 为首项， 1 为公差的等差数列通项公式为3(1), 3(1)102,100nannn故第100项为102（2008 年试题）已知等差数列na中, 1389,0.aaa 求数列na的通项公式 ; 当n为何值时 , 数列na的前n项和nS取得最大值 , 并求该最大值 . 解析 : 设等差数列na的公差为,d由已知3

15、80,aa得1290.ad又 已 知19,a所以2.d数列na的通项公式为921 ,nan即112 .nan 解法一：数列na的前n项和22911210525.2nnSnnnn当5n时，nS取得最大值25. 解 法 二 ： 由 知112 ,nan令名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 25 页 - - - - - - - - - 111120,2nann所以数列前5 项的和最大，最大值为515454559225.22Sad三、等比数列1. 等比数列的定义如果一

16、个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于一个常数，这个数列就叫等比数列，这个常数叫做公比，记为q，即1nnaqa等比数列的一般形式为211111,na a q a qa q2. 等比数列的通项公式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 25 页 - - - - - - - - - 设na是首项为1a，公比为q的等比数列，则这个数列的通项公式为11nnaa q3. 等比数列的前n项和公式设na是首项为1a， 公比为q的等比数列，nS为其前n项和，则1(1)(

17、1)1nnaqSqq或1(1)1nnaa qSqq4. 等比中项如果,A B C称等比数列，B就称为A与C的等比中项，则2BAC或BAC注：一般证明一个数列是等比数列时，经常名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 25 页 - - - - - - - - - 是按它们的定义证明1nnaqa为常量5. 等比数列的性质（1）在等比数列中，间隔相同抽出的项来按照原来的顺序组成新的数列仍是等比数列. 对于等比数列123,na aaa数列13521,na a aa也是等比

18、数列，数列2462,na a aa也是等比数列数列15913,a a a a也是等比数列例 7 如在等比数列na中, 246,24,aa则6a（） A. 8 B. 24 C. 96 D. 384 解 析 ：246,aa a是 等 比 数 列 ， 因 为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 25 页 - - - - - - - - - 64422446aaaa，64442496aa，选 C （2）对等比数列na，若, , ,m n s t均为正整数，且mnst，

19、则mnstaaaa如2192837465aaaaaaaaa例如在等比数列na中，已知1516aa，求3a解析：231516aaa，即3164a例 8 设等比数列na的各项都为正数，若351,9aa，则公比 q= （A）3 （B）2 （C） -2 （D）-3 解 析 : 由 等 比 数 列na的 通 项 公 式11nnaa q知名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 25 页 - - - - - - - - - 221411993a qqa qq得又因列各都是正的

20、，所以例9 设 等 比 数 列na的 公 比q=2， 且248aa则17aa（A）8 （B）16 （C） 32 （D）64 解 析 : 由 等 比 数 列na的 通 项 公 式11nnaa q知324226111117118,8322a q a qa qaa aa q例10在 等 比 数 列na中 ， 若324325,25aSaS， 则na的 公 比q_ 解析：43323225(25)2()aaSSSS， 又323SSa，所以4332aaa，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -

21、 第 18 页，共 25 页 - - - - - - - - - 即44333,3aaa qa，填3例11已 知 等 比 数 列na中 ，2310,20aa， 那 么 它 的 前5项 和5S_ 解 析 ： 由2310,20aa， 可 求 得 公 比3220210aqa，从而211052aaq所以5515(1)5(12 )155112aqSq，填155例 12 已知等比数列na的各项都为正数，12,a前 3 项的和为 14 （I ）求该数列的通项公式；（II ）设2log,nnba求数列nb的前 20 项的和解析 : （I ） 设等比数列na的公比为q,则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

22、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 25 页 - - - - - - - - - 22122221460,2,3qqqqqq所以( 舍去 ) 所以数列的通项公式为2nna（II ）22loglog 2nnnban则2012320(120)12320202102sbbbb例 13 设na为等差数列 , 且公差d为正数 , 已知23423415,1,aaaa aa又成等比数列1ad求和解析 : 由na为等差数列知24243322422101525(51)32 (8)aaaaaaa aaa解得舍去由此得

23、3212523231daaaad名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 25 页 - - - - - - - - - 历年试题（2015 年试题）若等比数列na的公比为3,49,a则1aA. 19 B. 13 C. 3 D. 27（2014 年试题）等 比 数 列na中 , 若28a, 公 比 为14, 则5a_ （2015 年试题）已知等差数列na的公差110,2da，且125,a a a成等比数列名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

24、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 25 页 - - - - - - - - - （I ）求数列na的通项公式（II ）若数列na的前项和50nS，求n. （2013 年试题）已 知 公 比 为q的 等 比 数 列na中 , 254,32aa（I ）求q；（II ）求na的前6项和6S解: （I ）由已知得325a qa，即3432q，解得2q（II ）1122aa q662 1( 2) 421( 2)S（2012 年试题）已知等比数列na中, 12327aa a（I ）求2a；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

25、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 25 页 - - - - - - - - - （II）若na的公比1,q且12313aaa，求na的前5项和解 析 : （ I ） 因 为na为 等 比 数 列 ， 所 以2132a aa，又12327a a a，可得3227a，所以23a（ II） 由12313aaa，23a得1310aa，由123227,3a a aa得139a a，解方程组1313109aaa a，得11a或19a由23a，得113aq或1913aq（舍去）所以na的前5项和551 (1

26、3 )12113S名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 25 页 - - - - - - - - - （2010 年试题）已知数列na中，1112,2nnaaa（1）求数列na的通项公式（2）求数列na前 5 项的和5S解析： （1）由已知得110,2nnnaaa所以是以 2 为首项，12为公比的等比数列，所以1122nna，即212nna（2）5512 12311812S（2006 年试题）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

27、 - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 25 页 - - - - - - - - - 已知等比数列na中, 3116,2aq公比（I ）求该数列的通项公式；（II ）求该数列的前7 项的和解析 : （I ）23111116644aa qaa因此该数列的通项公式为1164()2nna（ II） 该 数 列 的 前7项 的 和771641 ( ) 2127112s名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 25 页 - - - - - - - - -