2022年高中数学椭圆的经典知识总结 .pdf

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1、1 高中数学椭圆的经典知识总结2 椭圆的定义平面内一个动点P到两个定点1F、2F的距离之和等于常数)2(2121FFaPFPF , 这个动点P的轨迹叫椭圆 .这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意： 若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹为线段21FF；若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹无图形 . 知识点二： 椭圆的标准方程1当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：12222byax)0(ba，其中222bac2当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：12222bxay)0(ba，其中222bac；注意： 1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得

2、到椭圆的标准方程；2在椭圆的两种标准方程中，都有)0(ba和222bac；3椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c，)0,( c；当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为), 0(c，),0(c知识点三： 椭圆的简单几何性质椭圆：12222byax)0(ba的简单几何性质（1） 对称性： 对于椭圆标准方程12222byax)0(ba： 说明：把x换成x、所以椭圆或把y换成y、或把x、y同时换成x、y、原方程都不变，12222byax是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a

3、x和by所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足ax，by。（3）顶点： 椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆12222byax)0(ba与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0 ,(1aA，)0,(2aA，),0(1bB，),0(2bB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页2 线段21AA，21BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，aAA221,bBB221。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作acace22。因为)0(ca，所以e的取

4、值范围是)10(e。e越接近 1，则c就越接近a，从而22cab越小，因此椭圆越扁； 反之，e越接近于0，c就越接近0， 从而b越接近于a， 这时椭圆就越接近于圆。当且仅当ba时，0c，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为ayx22。注意：椭圆12222byax的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）)2(21aPFPF；ePMPFPMPF2211；)2(221caPMPM；（2）)(21aBFBF；)(21cOFOF；2221baBABA；（3）caFAFA2211；caFAFA1221；caPFca1；知识点四： 椭圆12222byax与12222bxay)0(ba的区别和联系标准方程12

5、222byax)0(ba12222bxay)0(ba图形性质焦点)0 ,(1cF，)0 ,(2cF),0(1cF，), 0(2cF焦距cFF221cFF221精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页3 范围ax，bybx，ay对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点)0,( a，), 0(b), 0(a，)0,( b轴长长轴长 =a2，短轴长 =b2离心率) 10(eace准线方程cax2cay2焦半径01exaPF，02exaPF01eyaPF，02eyaPF注意： 椭圆12222byax，12222bxay)0(ba的相同点

6、：形状、大小都相同；参数间的关系都有)0(ba和) 10(eace，222cba；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。规律方法：1如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件ba,；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2椭圆标准方程中的三个量cba,的几何意义椭圆标准方程中，cba,三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正

7、数，且三个量的大小关系为：)0(ba，)0(ca，且)(222cba。可借助右图理解记忆：显然：cba,恰构成一个直角三角形的三条边，其中a 是斜边， b、c 为两条直角边。3如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上， 因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看2x，2y的分母的大小， 哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 4 方程均不为零）CBACByAx,(22是表示椭圆的条件方程CByAx22可化为122CByCAx，即122BCByACx，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3

8、页，共 6 页4 椭圆。当BCAC时，椭圆的焦点在x轴上；当BCAC时，椭圆的焦点在y轴上。5求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数cba,的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c 相同。与椭圆12222byax)0(ba共焦点的椭圆方程可设为12222mbymax)(2bm，此类问题常用待定系数法求解。7判断曲线关于 x轴、y轴、原点对称的依据： 若把曲线方程中的 x换成x，方程不变，则曲线关

9、于y轴对称； 若把曲线方程中的y换成y，方程不变，则曲线关于x 轴对称； 若把曲线方程中的 x、y同时换成x、y，方程不变，则曲线关于原点对称。8如何求解与焦点三角形PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形 PF1F2有关的计算问题时， 常考虑到用椭圆的定义及余弦定理 （或勾股定理）、三角形面积公式2121sin2121PFFPFPFSFPF相结合的方法进行计算解题。将有关 线段2121FFPFPF、，有 关角21PFF (21PFF21BFF) 结合起 来，建立21PFPF、21PFPF之间的关系 . 9如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定

10、椭圆形状的变化。离心率) 10(eace，因为222bac，0ca，用ba、表示为) 10()(12eabe。显然：当ab越小时，)10(ee越大，椭圆形状越扁；当ab越大，) 10(ee越小，椭圆形状越趋近于圆。1. 椭圆的定义 ：1,2 （1）椭圆 ：焦点在x轴上时12222byax（222abc）cossinxayb（参数方程，其中为参数），焦点在y轴上时2222bxay1（0ab） 。方程22AxByC表示椭圆的充要条件是什么？（ABC0，且 A，B，C 同号， AB） 。2. 椭圆的几何性质 ：（1）椭圆 （以12222byax（0ab）为例）：范围：,axabyb；焦点：两个焦点(

11、,0)c；对称性：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（0,0 ） ，四个顶点(,0),(0,)ab，其中长轴长为2a，短轴长为2b；准线：两条准线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页5 2axc； 离心率：cea，椭圆01e，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。通径22ba2.点与 椭圆的位置关系： （1）点00(,)P xy在椭圆外2200221xyab；（2）点00(,)P xy在椭圆上220220byax1；（3）点00(,)P xy在椭圆内2200221xyab3直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0直线与

12、椭圆相交； （2）相切：0直线与椭圆相切；（3）相离：0直线与椭圆相离；如: 直线 ykx1=0 与椭圆2215xym恒有公共点，则m 的取值范围是 _（答： 1，5）（ 5，+） ） ；4、焦半径 （圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离） 的计算方法 ：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径0redaex，其中d表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。如（1）已知椭圆1162522yx上一点 P 到椭圆左焦点的距离为3，则点 P 到右准线的距离为_（答： 10/3） ；（2）椭圆13422yx内有一点)1, 1 (P，F 为右焦点， 在椭圆上有一点M，使MFMP2之值最小， 则

13、点 M 的坐标为 _（答：)1,362(） ；5、焦点三角形 （椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 ：20tan|2Sbc y，当0|yb即P为短轴端点时，maxS的最大值为bc；6、弦长公式 ：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且12,x x分别为 A、B 的横坐标，则AB2121kxx，若12,y y分别为 A、 B 的纵坐标，则AB21211yyk， 若弦 AB 所在直线方程设为xkyb， 则AB2121kyy。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。7、圆锥曲线的中点弦问题：遇到

14、中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在 椭圆12222byax中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率k=0202yaxb；如（1）如果椭圆221369xy弦被点 A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答：280 xy） ； （2）已知直线 y=x+1 与椭圆22221(0)xyabab相交于 A、 B 两点，且线段 AB 的中点在直线L ： x2y=0 上，则此椭圆的离心率为_（答：22） ；（3） 试确定 m 的取值范围， 使得椭圆13422yx上有不同的两点关于直线mxy4对称（答：2 132 13,1313） ；特别提醒 ：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页