2022年2022年量子力学习题答案借鉴 .pdf
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1、1 量子力学习题答案1.2 在 0k 附近,钠的价电子能量约为3eV,求其德布罗意波长。解:由德布罗意波粒二象性的关系知:Eh;ph /由于所考虑的电子是非相对论的电子(26keE(3eV)c (0.5110 )) ,故:2eEP/(2)2ee669h /ph /2Ehc /2c E1.2410/20.511030.7110m0.71nm1.3 氦原子的动能是 E=1.5kT,求 T=1K时,氦原子的德布罗意波长。解:对于氦原子而言,当K1T时,其能量为J102.07K1KJ10381.1232323123kTE于是有H e342 72 3h/ph/2E6.6 2 61 0Js1.2 6 n
2、m26.6 9 01 0k g2.0 71 0J一维谐振子处于22/ 2()xxAe状态中,其中为实常数,求:1. 归一化系数; 2. 动能平均值。(22xedx/)解:1. 由归一化条件可知:22*2x2( x)( x) dxA edx1A/1取相因子为零,则归一化系数1 / 21 /4A/2. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 22 页 - - - - - - - - - 2 2222222222222222222*2x/2x/2222x/2x/222x
3、/ 22x/ 22222x2x/ 222242x2T( x)T( x)dxAe( P/ 2)edxdAe()edx2dxdAe(xe)dx2dxA xe(xe) dx2Ax edxA22() 2222224x2224xx2222222421()xd(e)21A()xeedx221AA()2442若,则该态为谐振子的基态,T4解法二:对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题,用F-H 定理是非常方便的。一维谐振子的哈密顿量为:2222d1Hx2dx2它的基态能量01E2选择为参量,则 : 0dE1d2;222dHd2d2()Tddx2dxdH200Td由 F-H 定理知:0dEdH2100
4、Tdd2可得:1T4名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 22 页 - - - - - - - - - 3 2.2 由下列定态波函数计算几率流密度:ikrikrerer1)2(1)1(21从所得结果说明1表示向外传播的球面波,2表示向内 (即向原点 ) 传播的球面波。解:分量只有和rJJ21在球坐标中sinr1er1err0rmrkrmrkrrikrrrikrrmirerrererrermimiJikrikrikrikr30202201*1*111)11(1)1
5、1(12)1(1)1(12)(2)1(rJ1与同向。表示向外传播的球面波。rmrkrmrkr)r1ikr1(r1)r1ikr1(r1m2ir)er1(rer1)er1(rer1m2i)(m2iJ)2(3020220ikrikrikrikr*2*222可见,rJ 与2反向。表示向内 ( 即向原点 ) 传播的球面波。2.3 一粒子在一维势场axaxxxU,000)(中运动,求粒子的能级和对应的波函数。解:txU与)(无关,是定态问题。其定态S方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -
6、 第 3 页,共 22 页 - - - - - - - - - 4 )()()()(2222xExxUxdxdm在各区域的具体形式为:)()()()(20111222xExxUxdxdmx:)()(2022222xExdxdmax:)()()()(2333222xExxUxdxdmax由于(1) 、(3) 方程中,由于)( xU,要等式成立,必须0)(1x0)(2x即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2) 可变为0)(2)(22222xmEdxxd令222mEk,得0)()(22222xkdxxd其解为kxBkxAxcossin)(2根据波函数的标准条件确定系数A,B,由连续性条件,得)0
7、()0(12)()(32aa0B0sin kaA),3,2, 1(0sin0nnkakaAxanAxsin)(2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 22 页 - - - - - - - - - 5 由归一化条件1)(2dxx得1sin022axdxanA由amn0mnasinxsinxdxaa2xanaxaAsin2)(22222mEk),3,2, 1(22222nnmaEn可见 E是量子化的。对应于nE的归一化的定态波函数为axaxaxxeanatxtEin
8、n,00,sin2),(2.5 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。解:221x21(x)2xe222222322211224)()(xxexexxx22222)(3231xexxdxxd令0)(1dxxd,得xxx10由)(1x的表达式可知,xx0 ,时,0)(1x。 显然不是最大几率的位置。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 22 页 - - - - - - - - - 6 2222)251(4)22(2)62(2)(44223322223212x
9、xexxexxxxdxxd而23121xd( x)4160edx可见1x是所求几率最大的位置。3.2 . 氢原子处在基态0/301),(arear,求: (1)r的平均值; (2)势能re2的平均值; (3)最可几半径; (4)动能的平均值; (5)动量的几率分布函数。解:(1)drddrreadrrrarsin1),(02200/230200/233004draraar01!naxnandxex04030232! 34aaa02203020/23020200/230202002/230222144sinsin1)()2(000aeaaedrreaeddrdreaeddrdreraereUar
10、arar (3)电子出现在 r+dr 球壳内出现的几率为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 22 页 - - - - - - - - - 7 02022sin),()(ddrdrrdrrdrreaar2/230042/23004)(rearar0/2030)22(4)(arreraadrrd令0321,00)(arrrdrrd,当0)(,021rrr时,为几率最小位置0/222003022)482(4)(areraraadrrd08)(230220eadrrd
11、ar0ar是最可几半径。 (4)2222?21?pT02002/2/302sin)(1200ddrdreeaTarar02002/22/302sin)(11200ddrdredrdrdrdreaarar0222/3000041(2)2rarredraaa20220204022)442(24aaaa (5) drrpcp),()()(*200cos02/302/3sin1)2(1)(0ddedrreapcpriar0cos0/2302/3)cos()2(20dedrerapriar22222sin1)(sinsin1)(1rrrr名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -
12、- - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 22 页 - - - - - - - - - 8 00cos/2302/30)2(2priareiprdrera0/302/3)()2(20dreereipapripriar01!naxnandxex)1(1)1(1)2(22020302/3piapiaipa232002201412()ippaipaa222204400330)(24paaaa222202/30)()2(paa动量几率分布函数422025302)(8)()(paapcp3.5一刚性转子转动惯量为I,它的能量的经典表示式是I
13、LH22,L 为角动量,求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数:(1)转子绕一固定轴转动:(2)转子绕一固定点转动:解:(1) 设该固定轴沿 Z 轴方向,则有22ZLL哈米顿算符22222?21?ddILIHZ其本征方程为 (tH 与?无关,属定态问题 ) )(2)()()(2222222IEddEddI名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 22 页 - - - - - - - - - 9 令222IEm,则0)()(222mdd取其解为imAe)(
14、 (m可正可负可为零 ) 由波函数的单值性,应有imimee)2()()2(即12 miem= 0,1,2,转子的定态能量为ImEm222 (m= 0,1,2,) 可见能量只能取一系列分立值,构成分立谱。定态波函数为immAeA为归一化常数,由归一化条件2121220220*AAdAdmm 转子的归一化波函数为imme21综上所述,除 m=0外,能级是二重简并的。(2) 取固定点为坐标原点,则转子的哈米顿算符为2?21?LIHtH 与?无关,属定态问题,其本征方程为),(),(?212EYYLI (式中),(Y设为H?的本征函数,E为其本征值 ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -
15、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页,共 22 页 - - - - - - - - - 10 ),(2),(?2IEYYL令22 IE,则有),(),(?22YYL此即为角动量2?L的本征方程,其本征值为),2,1,0()1(222L其波函数为球谐函数immmmePNY)(cos),( 转子的定态能量为2)1(2IE可见,能量是分立的,且是)12(重简并的。3.6设 t=0 时,粒子的状态为cossin)(212kxkxAx求此时粒子的平均动量和平均动能。解:cos)2cos1(cossin)(2121212k
16、xkxAkxkxAxcos2cos12kxkxAi2 kxi2 kxikxikx1122A1(ee)(ee)2212221212212210ikxikxkxikxixieeeeeA可见,动量np的可能值为kkkk220动能22np的可能值为2222022222222kkkk对应的几率n应为2)161616164(22222AAAAA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页,共 22 页 - - - - - - - - - 11 2)8181818121(A上述 A为归
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