2022年2022年量子力学曾谨言第五版第二章讲课稿 .pdf

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1、第一章波函数与 Schr ?dinger方程 1、波函数及其统计解释(Wave-function and its statistical interpretation) 一、德布罗意的“物质波”假说1、德布罗意的“物质波”假说(De Broglie matter-waves in 1923）先回忆普朗克的“光量子”假说：Ehph, 重新换写一下：E2是圆频率pkk是波矢量，2k是由波动性决定粒子性。德布罗意假说：微观粒子也有波动性，满足关系式：, Epk，称之为德布罗意关系，是由粒子性决定波动性。对于具有确定的能量E和动量p的自由粒子，其对应的物质波是一个单色的平面波：平面波是,expr tA

2、i k rt，将德布罗意关系Epk代入得：,expr tAip rEt，称为德布罗意波（是复数波）。因此，由德布罗意假设知，微观粒子的运动状态可用波函数表示。物质波 (matter wave)：与粒子运动相联系的平面波称为物质波或德布罗意波。而一般可计算得到：物质微粒的波长1010?，氧原子0.4?、DNA 分子410?、电子波长1?。只有当物质波的波长大于或等于光学仪器的特征尺度时，才会观察到干涉或衍射现象。通常物质微粒的质量和动量较大，因而德布罗意波长非常短超出了可测的范围而不显示波动性，仅在原子尺度下才能显示出波动性。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

3、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 37 页 - - - - - - - - - 德布罗意波长(De Broglie wave-length)的计算 ：例 1 求做热运动的气体分子的德布罗意波长。 解 温度为T的气体分子热运动动能为32BEk T，当o300KT（室温）时，分子的动能约为0.039eV，相应的物质波波长为220.039(eV)hhcpmc分子。对于氧分子（2O） ，282op3232 9.38 10 eV cmm，波长0.026nm，远小于分子的平均自由程，所以分子的热运动可作经典力学处理。例 2 相对论情形和非

4、相对论情形下的德布罗意关系式。解 (1) 、在非相对论情况下：2222kkkEpmpmEhmEh p；当粒子是电子时，312em9.108 10kg0.51MeV c，从而12.5(eV)ekE?，其中191eV1.06210J。当粒子是质子或中子时，27pnmm1.67 10kg，从而有p , n0.286(eV)kE?。(2) 、在相对论情况下：22240Ec pm c，其中0m为粒子的静止质量。20022222400020212212kkkkkEEm cEpm Ehm cEp cm cEhm Em cp。当20km cE，则02khm E。例 3 为什么物质的波动性在宏观尺度不显现？解

5、由hp知，原因是普朗克常数346.62610J sh太小，而宏观尺度的运动动量太小。如考虑一个50kg的人运动速度是0.5m s，则可计算出对应物质波波长为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 37 页 - - - - - - - - - 34356.626 10J s2.6 10m50 0.5kg m shp。显然太小，难以引起可以观测的物理效应。又由2pmE知，要减小宏观尺度运动的动量，必须减小动能E，但从物理上考虑E不可能减小到比热运动能量Bk T更小，所

6、以必须减小质量。质量的减小对应于尺度的减小。只有把物体尺度减少到微观尺度，才可能出现较大的物质波波长，从而引起可以观察到的物理效应。2、电子衍射实验 (Davison-Germer 1927) 波动性的体现就是衍射、干涉等等。通过观察这些现象还可以测量波长。戴维逊 -革末实验 用镍做电子衍射实验的结果，证实了电子确实有波动性，而且波长与德布罗意的预言完全一致。此后，使用各种不同的实物粒子（如电子、原子、60C分子、原子核、核子等）做波动性实验都证实了德布罗意假说。总之，实验证明了微观粒子也有波粒二象性。3. 对波粒二象性的理解(Comprehension for the dual wave-p

7、article nature)：(1) 、几个重要的概念(Several important concepts) 物质波包 (Matter wave packet)：指局限于有限空间中的德布罗意波。在数学上，可表示为不同波矢的单色平面波的叠加，即( , )( )expr tki k rtdk，式中( )k表示波包( , )r t中所含波矢为k的平面波的波幅。在实际上，经常用到的波包是在波矢域中只占中心波矢0k周围的一个小区域的单色平面波的叠加，即00( , )( )expkkkkr tki k rtdk。相速度 (Phase velocity)：等相面运动 (或者说， 相位不变的点在空间传播)

8、的速度。 例如，x方向传播的平面波exp ()i kxt名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 37 页 - - - - - - - - - 中，取相位kxt常数，则相速度为2v2k相。如相速与波数2k有关，则波存在色散。相速度是一种视在速度，可能大于光速。对于0m和0m两种情况，虽然德布洛意关系相同，但它们的相速度还是有差别的，即20 v0 vvmckEcmckp相相光子实物粒子，。对光子而言，相速度是c；但对0m的粒子而言，相速度大于光速c。群速度 (Grou

9、p velocity)：当不同频率和不同相速度的一系列波合成，在一个区域发生很强的相长干涉时，群速度是该区域前进的速度；即波包中心的运动速度，0vk kddk群，式中0k为波包的中心波矢。群速度是真实信息的传递速度，不可能大于光速。相群速度两者的关系(The relation between the group velocity and the phase velocity)：只有当不存在色散时，波包中各成分的相速度相同时，才有VV群相。例 在非相对论情况下，自由粒子的能量22Epm，利用德布罗意关系Epk得，22km22km00001vv222vvkkkpkmmkpddkmm相群。可以证明：

10、粒子的德布罗意波波包的群速度等于粒子的运动速度；即22222402()vv()dddEdpcpcp cm cdkdkdpdpEmc群。(2) 、波动性和粒子性的理解(Comprehension for the dual wave-particle nature) 在经典理论中，波动性和粒子性是两个完全不相容的概念，即：微粒性： 指客体有确定的内禀属性（质量、电荷、能量、自旋等），总占有确定的时空位置，并有确定的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 37 页 -

11、- - - - - - - - 运行轨道。波动性： 指可在空间任何地方进行传播的周期性扰动（如水波、声波和电磁波等），总是与某个物理量随时间的周期变化相联系。描述波的物理量是频率和波矢。波动的最本质特征是能够产生相干叠加效应（干涉和衍射现象） 。此外，伴随波的前进，有能量传播，有能量密度和能流密度。在量子力学中，德布罗意假设把“波和粒子”混在一起的观点是最令人困惑不解的问题。在历史上，曾经出现两种错误的理解：(1) 、片面夸大波动性: 波函数代表粒子的结构，即看作三维空间中连续分布的某种物质波包，因而呈现出干涉与衍射等现象。而波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。(2) 、片面

12、夸大粒子性: 波动性是大量微粒分布于空间形成的疏密波，波函数代表大量粒子的运动。波粒二像性的正确理解：保留经典概念的哪些特征不具有经典概念的哪些特征粒子性有确定的质量、电荷、自旋等没有确定的轨道(位置和速度 ) 波动性有干涉、衍射等现象振幅不直接可测在与物质相互作用过程中呈现粒子性，而在其传播过程中，以几率波形式表现波动性。二、波函数的几率解释 (Probability interpretation of Wave-function) 让我们复习一下在概率论中的基本概念。以一组人群的年龄分布为例，说明离散变量的概率。考虑由 14 人组成的一组人群，其年龄分布如下：(14)1,(15)1,(16

13、)3,(22)2,(24)2,(25)5NNNNNN其中( )Nj表示年龄为j的人数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 37 页 - - - - - - - - - 总人数为：0( )14jNN j(1) 、年龄为j的人的概率( )( )NjP jN即113225(14),(15),(16),(22),(24),(25)141414141414PPPPPP。(2) 、人数最多（( )P j最大值）的年龄（称作年龄的最可几值）为25j。(3) 、年龄的中位数：

14、23 (4) 、平均年龄：00( )( )jjjN jjjP jN14(14)15(15)16(16)22(22)24(24)25(25)1132251415162224251414141414142942114jPPPPPP(5) 、年龄平方的平均值：222222220113225( )141516222425459.57141414141414jjj P j以年龄j为变量的函数( )fj的平均值：0( )( ) ( )jfjfj P j(6) 、标准差：224.31jj推广： 连续变量的概率如下：( )x表示几率密度，是归一化的( )1x dx。(1) 、在区间,xa b的概率：,( )b

15、a baPx dx(2) 、变量x的平均值（期望值） ：( )xxx dx(3) 、函数( )f x的平均值（期望值） ：( )( ) ( )f xf xx dx(4) 、标准差：222xx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 37 页 - - - - - - - - - 1、实验分析(i) 、经典粒子的双缝实验一架机枪从远处向中间隔着一睹有两孔的墙后的靶点射。当2 孔睹上，靶上子弹分布为1( )P x，当1 孔睹上，靶上子弹的分布为2( )P x。当两空都开时

16、，经过两孔的子弹各不相干地一个一个打地在靶上，在靶上的密度分布12( )Px等于两孔分别开启时的密度分布1( )P x和2( )P x的和，实验结果符合经典力学。(ii) 、经典波（水波）的双缝干涉实验如水波通过两个缝后，在接收器上的强度分布为1( )Ix、2( )Ix和12( )Ix，1212( )( )( )IxIxIx干涉项。我们是如何解释这干涉现象呢？只打开缝1 时的水波用1ithe描述， 开缝 2 时的水波以2i th e描述； 当双缝同开时水波用12ithhe描述。强度211( )( )Ixh x、222( )( )Ixh x以及222*12121212121212( )( )(

17、)( )( )( )( )( )( )( )( )2( )( ) cosIxh xh xh xhxh x h xhx hxIxIxIx Ix，式中111( )( )ih xh x e、222( )( )ih xhx e及12，而122( )( ) cosIx Ix即为干涉项。(iii) 、电子双缝干涉实验的例子。在一个电子枪膛中装有N个电子 , 三种不同的开缝情形：(1) 、若只开一个缝1(或 2) 时，(2)、若两缝同开时。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共

18、 37 页 - - - - - - - - - 实验事实如下：(a)、每次接收到的是一个电子，即电子确实以一个整体出现（粒子性）；(b) 、 对于每种开缝情形，都是一次发射N个电子。则在接收器上某点x处接收到的电子数为1N（或2N） ；和12N； 而1212NNN。这时电子数的强度是在接收器上接收到电子的分布，即11( )P xNN、22( )P xNN和1212( )PxNN。(c)、电子枪发射稀疏到任何时刻空间至多一个电子，但足够长的时间后，也有同样结果。相当于对于每种开缝情形，一个电子重复发射N次的结果。此时，电子数的强度是一个电子发射出去能在接收器上接收电子的几率分布，即11( )P

19、xNN、22( )P xNN和1212( )PxNN。因此，可得下列结论：(1) 、电子不是经典粒子，因为1212PPP；(2) 、电子也不是经典波（若是经典波应是电子密度分布），因为在电子发射非常稀疏时，也有干涉现象。对于这种干涉现象类似水波，但两者有本质区别；前者是强度，后者是接收到电子的分布。这启发我们，引入复函数111ie和222ie来描述电子的双缝干涉现象，此时211P，222P222*1212121212121212()2cos ()PPPPP称1和2为波函数（描述粒子波动性的函数称为波函数），而接收器上某位置电子的几率用波函数的模平方2来表征。名师资料总结 - - -精品资料欢迎

20、下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 37 页 - - - - - - - - - 2、波函数的引入(Introduction of wave-function ) 在电子双缝干涉实验中，电子通过狭缝表现出的波动性是许多电子在同一实验中显示的统计结果, 或一个电子在多次相同实验中的统计结果。但实验发现电子总是“一点一点”地打到接收器上，这表明在接收器上测量电子的位置时，电子又表现出了粒子性。玻恩提出“几率波”的概念把微粒性和波动性统一起来。对于一般状态的微观粒子，可用一个以时间和空间位变量的复函数

21、,r t来描述，称之为波函数。波函数是微观粒子波粒二象性的表现。3、波函数的统计解释(Statistical interpretation of wave-function/Born /1926 ) 波函数的概率诠释：波函数,r t在某点的强度 (绝对值的平方)与在该点找到粒子的几率密度。波函数本身称为几率振幅。由波函数还可以决定粒子的其它各种物理可观测量(以后讲 )。所以波函数完全描述了微观粒子(或量子体系 )的状态，这种描述本质上具有统计的特征。(1) 、量子力学的基本假设之一(Basic postulate I of quantum mechanics) 微观粒子的任意状态，都可用一个波

22、函数( , )r t来描述， 其模方2( , )r t代表粒子空间分布的几率密度。(2) 、归一化条件（The Normalization condition）按照几率解释，t时刻在rrdr区域内发现粒子的几率为：2( , )( , )dW r tr tdr。由于整个空间中，发现粒子的几率之和应为1， 所以，波函数应该满足2( , )1dWr tdr。若波函数满足上述条件，则称该波函数已归一化。注注意意：只有当波函数归一化后，才能说2( , )( , )dW r tr tdr是几率。否则, 在rrdr区域中，发现粒子的几率为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

23、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 37 页 - - - - - - - - - 22( , )( , )( , )r tdrdW r tr tdr若2( , )r tdrA，则归一化的波函数取为1( , )( , )r tr tA(可差一相因子ie，为实数 )。此时 , 2( , )r tdr才代表在rrdr区域中发现粒子的几率。特殊说明 (1) 、平方可积函数的波函数是可归一化的，它仍然有一个位相因子不能确定。(2) 、有些波函数( 连续本征值对应的波函数) 不能 ( 有限地 ) 归一化。例如平面波( )ip rrAe、0(

24、 )()rrr等。例 1设2 22xrAe，为常数，求归一化常数A。解 由21xdx得22222222021xxAxdxAedxAedx，即A。例 2若在0 x区域上( )xf xxe（( )f x为x的概率密度），求x的平均值和最可几值。解 利用公式：0!nxx e dxn得：2320002000( )2( )xyxyxyxf x dxx edxy e dyxf x dxxedxye dy，由一阶导数求极值：( )10,xdxf xexdx。由二阶导数22( )0df xdx确定极大值：2210 1( )20 xxdxf xeedxx。由此可知：当x时，概率密度( )f x最大，所以，x的最

25、可几值为。例 3设用球坐标表示粒子的波函数为( , ,)r, 求: (1) 、粒子在球壳( ,)r rdr中被找到的几率, (2)、在( ,)方向的立体角元sindd d内找到粒子的几率。 解 在 球 坐 标 系 中 ， 体 积 元 为2si nd rrdr dd。 根 据 波 函 数 的 统 计 解 释 ， 在 体 积 元名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 37 页 - - - - - - - - - 2sindrrdrd d内找到粒子的几率为222200

26、0( , ,)sin( , ,)rdrddrr dr。(1) 、粒子在球壳( ,)r rdr中被找到的几率，应把立体角方向积分掉，即22222000( , , )( )sin( , , )rdr drW r drddrr dr, (2) 、在( ,)方向的立体角元sindd d内找到粒子的几率，应把径向坐标积分掉，即220222000( , ,)( , )sin( ,)rr drdWdddrr dr。例 4 一块岩石从高度为h的悬崖上自由地落下。在下落过程中我们以任意间隔抓拍一百万张照片，根据每张照片测量岩石下落的距离。求岩石下落过程的概率密度及平均位置。解 岩石下落的轨迹：21( )2x t

27、gt22xdxtdtggx整个下落过程的时间T：2122hhgTTg由于相机在间隔dt内的闪光的概率为dtT，故，照片展示在一段距离dx内的几率：( )022dtgdxxdtxhThhx验证：归一化：001( )2122hhdxx dxxhxh。注意：在0 x时，1x，实际上，上面的积分是000limlim222hhdxhhx。3 20012( )3322hhxdxhxxx dxxhxh。4、 多粒子体系波函数的形式(wave function of a system of many particles) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

28、 - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 37 页 - - - - - - - - - 对于N个粒子组成的体系，它的波函数表示为12,Nr rr，其中12,Nr rr分别表示各粒子的空间位置矢量共有3N个自由数。 而21212,NNr rrdr drdr表示测得粒子1 出现在空间111rrdr中，同时粒子2 出现在空间222rrdr中，同时粒子N出现在空间NNNrrdr中的几率。例 4 设一个体系含有两个粒子，波函数用12,r r表示，则有(1) 、测得粒子1 在空间111rrdr中的几率：2331122,d rr rd r，(2) 、测得粒子2 在

29、空间222rrdr中的几率：2332121,d rr rd r；(3) 、测得粒子1 在空间111rrdr中，同时粒子 2 在空间222rrdr中的几率：2331212,r rd r d r。三、动量分布几率（ Probability distribution in momentum space）按照波函数的几率解释：当用归一化的波函数,r t描述体系的微观状态时，则在t时刻空间rrdr区域找到粒子几率为2,r t。 若要测量粒子的动量，那么动量几率分布如何？定理 对于任何一个波函数都可由各种不同频率的平面波叠加而成，即3 21,2ip rr teC p t dp， 式中xyzdpdp dp

30、dp，其中3 21,2ip rC p ter t dr。在数学上称其为付立叶变换，总是成立的。2C p表示r中含有平面波的成分，实际上就是粒子在动量空间的动量分布几率密度，即在动量ppdp范围内找到粒子的几率为2Cpdp。电子衍射实验 见教材。推论 22( )1()1rdrC pdp。2*()*321( )( ) ( )( )( ) ()2( )1iprrC pdprr edpdrdrrrrr drdrrdr例 1 若用 Gauss 波包222( )xxe描述的粒子，求粒子位置主要局限区域（即位置的不确定度x）以及粒子的动量主要局限区域（即不确定度p） 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下

31、载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 37 页 - - - - - - - - - 解 由归一化条件得：222( )xxdxedx，故粒子在空间的概率分布密度为2222( )( )( )xxW xexdx。(1) 、用数学分析中，求拐点方法，即二阶导数等于零处就是拐点的位置。由二阶导数求拐点: 2222323222( )2( )221xxdW xd W xxexedxdx22( )11022d W xxxdx(2) 、用不确定度的定义22AAA求解：22( )0 xxxW x dxxedx2222

32、222222221( )21212xxxxxx W x dxx edxxdexeedx2212xxx对于粒子的动量分布情况，可通过付立叶逆变换得222exp21( )( )2ipxppx edx归一化得 :222221()expppdpdp故粒子的动量几率密度分布为22222( )1( )exp()ppW ppdp同样，可用上面介绍的两种方法求动量的不确定度：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 37 页 - - - - - - - - - (1) 、用拐点法

33、：222222222223333( )2( )22exp1 exp0dW pppd W pppdpdp22221022ppp(2) 、用不确定度的定义求解：2221( )exp0pppW p dppdp222222222222222222221( )expexp2expexpexp222pppp W p dppdppdppppdpdp222ppp，因此得到：2xp。 例2 设 一 维 粒 子 具 有 确 定 的 动 量0p， 即 动 量 的 不 确 定 度0p。 相 应 的 波 函 数 为 平 面 波00( )ip xpxe，求粒子的位置不确定度。解 由于02( )( )1pW xx，即粒子在

34、空间各点的几率都相同。由22( )0d W xdx知,x；所以，x。四、力学量的平均值和算符的引入1、位置和位能的平均值(Position and average of potential ) 既然一个微观系统能够用一个波函数来描述，所以该波函数就能给出体系的一切可能的信息，能预言得到某可能值的几率，也能给出物理量的统计平均值。(1) 、位置的平均值(average value of position) 当给定体系的微观状态可用归一化的波函数( , )r t描写， 则测得粒子取r值在rrdr区域内的几率为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

35、- - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 37 页 - - - - - - - - - 2( , )( , )dW r tr tdr，从平均值的定义，则位置矢量r的平均值为2( , )rrr tdr。(2) 、位能平均值 (average value of potential) 假设位能( )VV r不依赖动量，我们可以展开0( )nnnV ra r，则有222000( )( , )( , )( )( , )nnnnnnnnnV ra rarr tdra rr tdrV rr tdr即位能的平均值为2( )( , )VV rr tdr。乍看起来，动量、

36、能量和角动量等的平均值都应能类似地给出。但动量平均值能否仍按上述表示给出呢？即2( , )ppr tdr。原则上讲，这是完全错的。因粒子具有波动性，而动量是与波长相联系的(hp)。但波长是描述波在空间变化的快慢。一般而言， 一个波函数( , )r t由很多不同波长的平面波叠加而成。在某一点r处，其波长不是一个，而是有很多不同大小的波长，即在r处，并不没有确定的( , , )( , , )hp x y zx y z值，故不可能效仿上述平均值来表示。那么究竟如何表示动量平均值呢？对于给定波函数( , )r t，则其付利叶的逆变换为3 21( , )( , )exp(2)iC p tr tp rdr

37、，这样就得到粒子的动量分布几率密度2( , )C p t，测得粒子动量在ppdp区域内的几率为2(, )(, )d Wp tCp td p，其中3 21( , )( , )exp(2)iC p tr tp rdr因此，类似于2( )rrrdr， 相应的动量平均值可表示为2( , )pp C p tdp。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 37 页 - - - - - - - - - 接下来，我们考虑如何用给定的波函数( , )r t来直接求动量的平均值呢？下

38、面就让我们来研究这个问题。将3 21(, )( , )exp(2)iC p tr tp rdr代入得*3 23 2*( , )( , )( , )( , )(2)(2)( , )()( , )ip rip reeppC p tr tdrdpdrr tiC p tdpr tir t dr即*() ()()prird r。该式说明要想用( , )r t去直接求动量平均值p，就必须引入一个算符?pi来代替p（变量）进行计算。通常地，人们称?pi为粒子的动量算符。对于粒子处于状态( , )r t（已归一化），则其动量的平均值为*( , )()( , )pr tir t dr。由此可见，在量子力学中的描

39、述和经典力学中的描述是有本质差别的。量子力学中物理量（力学量）的描述是用算符来描述。在量子力学中，描述微观粒子的行为，引入的算符?r、?p，对应于经典的位置和动量变量。然而这些算符不等于经典变量。由上述推理： 求动能平均值（22pTm） ，可表为*?( )( )Tr Tr dr，其中222?22pTmm称为动能算符所以动量?ppi，则222?22pTTmm其中xyzeeexyz及2222222xyz。角动量算符?LrpLi r例题 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16

40、 页，共 37 页 - - - - - - - - - 课后作业 作业二名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 37 页 - - - - - - - - - 2、态叠加原理 (Superposition principle) 一、量子态及其表象(Quantum states and their representation) 1、量子态 (Quantum sates)：定义 一个微观粒子体系在某一时刻所处的微观状态，通常用一个波函数来描述。若一个体系由归一化的波

41、函数,r t来描述， 若某t时刻测量粒子的位置，则2,r t表示粒子在t时刻出现在点r处的几率密度；或者说描述粒子位置的几率分布。在傅立叶变换下: 3 21( , )( , )2ip rC p ter t dr，若测量粒子的动量p, 则测得粒子动量为p的几率密度为2,Cp t。同理， 也可以确定粒子的其他所有力学量的测量值的几率分布。故,r t完全可以描述一个粒子的量子态。波函数,r t也称为态函数，也叫几率波幅。反之 , 若体系用归一化的波函数(, )C p t来描述，则在t时刻测量粒子的动量为p的几率为2,C p t。在傅立叶变换下: 3 21,2ip rr teC p t dr若在位置r

42、点处测量该粒子, 则测得粒子出现在r点的几率密度为2,r t。 这样 , ,C p t也可完全描述这个粒子的量子态。因此，对于一个体系，粒子的量子态可有多种不同的描述方式。2、表象（ Representation space） ：对于一个体系，粒子的量子态可有多种不同的描述方式。而每种方式对应于一种不同的表象，它们彼此之间存在确定的变换关系，彼此完全等价。 例如，( , )r t是粒子所处的量子态在坐标表象中的表示，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 37

43、页 - - - - - - - - - 而,C p t是同一个状态在动量表象中的表示。例题 1平面单色波在坐标表象下，可用波函数001( )exp2pixp x描写粒子所处的量子态，此时粒子具有确定的动量0p, 称该波函数001( )exp2pixp x为动量算符?xp的本征态，而0p为动量本征值。试在动量表象中写出此量子态。解 根据傅立叶变换3 21exp2iCprp rdr得00011expexp22piC pxipxdxpp x dxpp例题2 00( )xxxx描述的是粒子具有确定位置的量子态，称为位置本征态，位置的本征值为0 x。 试在动量表象中写出此量子态。解 根据傅立叶变换3 2

44、1exp2Cprip rdr得00011expexp221exp2xC pxipxdxxxipxdxipx二、态叠加原理若体系由归一波函数( )r来描述，则2( )r描述了体系的位置几率分布或称几率密度。若单粒子处于1122( , ),exp,expr tC p tiprC p tipr态中，则测量动量的取值仅为1p或2p，而不在12pp之间取值。对于由大量粒子组成的体系，好像一部分电子处于1p态，另一部分电子处于2p态。 但你不能指定某一个电子只处于1p态或只处于2p态。 即对一个电子而言，它可能处于1p态（即动量为1p） ，也可能处于2p态（即动量为2p） ，即有一定几率处于1p态，有一定

45、几率处于2p态。由这启发建立量子力学最基本原理之一：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 37 页 - - - - - - - - - A、 态叠加原理：设体系处于1态下 , 测量力学量A时, 测得确定值为1a, 而体系处于2态下 , 测量力学量A时, 测得确定值为2a, 则体系处于1122cc的叠加态下 , 测量力学量A时, 测得值只可能为1a或2a，并且测得1a和2a的几率分别2221c,c。或表述为 : 若1是体系的一个可能态，2也是体系的一个可能态，则

46、1122cc是体系的可能态，并称为1和2态的线性叠加态。在量子力学中，由于态叠加原理导致在叠加态下测量结果的不确定性。B讨论 （与经典比较）(i) 、经典认为：,ar t自身叠加将产生一个新的态,2,aaar tr tr tr t，因为空间各处的强度增大到原来的4 倍。而量子力学认为，由态叠加原理，这两个态是一样的。在,ar t和2,ar t中测量力学量A都只有一个值a，而空间的几率分布2,ar t与22,ar t在空间各点之间的相对几率是一样的。事实上，从归一化中，我们已看到，量子力学中态函数乘一个常数并不改变状态或产生新的态。(ii) 、在量子力学中，没有( , )0r t的状态，因23,

47、1r td r或一个不为零的常数。但是，经典振动可处处为0， 即没有振动。(iii) 、若1122( , )( )( )r tcrcr， 经典认为是一个新的振动态，即以( )r来描述物理量在空间的波动，不能说物理量可能作1( )r波动，或者可能作2( )r波动。但对量子力学来说，体系可能处于1( )r态，也可能处于2( )r态。但不会处于其他态3( )r态（312,aa a） 。因测量力学量A所得的测量值是不会为3a的。应该强调指出，有时在处理物理问题时，常常对函数( )r展开，( )( )nnnrcr。对经典物理学来说，这仅是一个数学处理，如傅立叶分解。这仅表明有各种波相干，但并不能说，振荡

48、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 37 页 - - - - - - - - - 发生在某一频率上。但量子力学中的态叠加原理则赋于这一展开以新的物理含意：测量力学量A，可能测得值仅为0nc的na值，其几率2nc，即系数nc不仅仅是展开系数，而是正比于取na值的几率振幅。(iv) 、态叠加原理反映一个非常重要的性质，而这在经典物理学中是很难被接受的。我们知道一个动量为1p的自由粒子是以一个平面波1111( , )exp()ppr tCi prE t描述，动量为

49、2p的自由粒子是以平面波2222( , )expppr tCiprEt描述。 如体系同时（一个自由粒子）可能处于这两个态，则表明体系所处的态为121122( , )expexpppr tCiprE tCiprE t，可是这个态没有确定的动量p（当你预言动量的测量值时）。但( , )r t也是描述自由粒子的可能态。事实上，描述自由粒子状态的最普遍的形式为3(, )() ex pprtCpip rE tdp而22ppEm至于究竟处于哪个具体状态，那应由一定的条件来定()C p。所以，量子力学允许体系处于这样一个态中，在这个态中，某些物理量没有确定值（而从经典物理学看只能有一定值） 。另外，值得注意

50、的是：在态叠加中重要的是系数12,c c（如1，2给定）。对于1122cc，这时完全被12,c c所决定 . 12cc完全可替代来描述该态（以后要讨论）。(v) 、态叠加原理的直接后果是要求波函数满足的方程，必须是齐次线性方程。例 高斯波包（ The Gaussian wave packet）考虑一个质量为m的自由粒子，其中()xC p为高斯分布1 42220222(,0)expxxC ppp，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 37 页 - - - - -