2022年高等代数试卷及答案 .pdf

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1、一、填空题（共 10 题，每题 2 分，共 20 分）1只于自身合同的矩阵是矩阵。2二次型11212237,116xfx xx xx的矩阵为 _。3设A是实对称矩阵，则当实数t_,tEA是正定矩阵。4正交变换在标准正交基下的矩阵为_ 。5标准正交基下的度量矩阵为_。6线性变换可对角化的充要条件为_ 。7在2 2P中定义线性变换为：abXXcd，写出在基11122122,EEEE下的矩阵 _。8 设1V、2V都 是 线 性 空 间V的 子 空 间 ， 且12VV， 若12dimdimVV， 则_。9叙述维数公式_ 。10向量在基12,n（1）与基12,n（2）下的坐标分别为x、y，且从基（1）到

2、基（ 2）的过渡矩阵为A，则x与y的关系为 _ 。二、判断题（共 10 题，每题 1 分，共 10 分）1线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（）2设为n维线性空间V上的线性变换，则10VV。 （）3平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。 （）4设1V与2V分别是齐次线性方程组120nxxx与12nxxx的解空间，则12nVVP（）52211nniiiinxx为正定二次型。 （）6数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（）7把复数域C看作复数域上的线性空间，C，令，则是线性变换。 （）8若是正交变换，那么的不变子空间的真正交补也是的不变子空

3、间。 （）9欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（）10若为nP x(1n)中的微分变换，则不可对角化。 （）三、计算题（共 3 题，每题 10 分，共 30 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页1设线性变换在基123,下的矩阵为122212221A，求的特征值与特征向量，并判断是否可对角化？2t取什么值时，下列二次型是正定的？222123123121323,5224fx xxxxxtx xx xx x3设三维线性空间V上的线性变换在基123,下的矩阵为：111213212223313233aaaAaaaaaa,求

4、在基12,0kkPk且，3下的矩阵B。四、证明题（共 4 题，每题 10 分，共 40 分）1证明：12nAO与12iiinBO相似，其中12,niii是1,2,n的一个排列。2证明：和1siiV是直和的充要条件为：1102,3,iijjVVisI。3设 A是n级实对称矩阵，且2AA，证明：存在正交矩阵T，使得：111100TATOO4证明：12nAO与12iiinBO合同，其中12,ni ii是1,2,n的一个排列。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页答案一 1零 23996 3.充分大 4.正交矩阵 5. E 6.

5、有n个线性无关的特征向量7. 00000000ababcdcd8. 12VV9. 121212dimdimdimdimVVVVVVI10. XAY二 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 三 1. 解：212221251221AfEA（3 分）所 以 ，的 特 征 值 为11（ 二 重 ） 和25。 把11代 入 方 程 组0EA X得：122122122222022202220 xxxxxxxxx基础解系为1101n2011n因此，属于1得两个线性无关得特征向量为：112223,因而属于1的全部特征向量就是1122kk，1k、2k取遍P中不全为零的全部数对（6分） ，

6、再用25代入0EA X得：基础解系3111n，因此，属于5 的全部特征向量是3k，k是P中任意不等于零的数。（9 分）因为有三个线性无关的特征向量，所以可能对角化。（10 分）2. 解：f的矩阵为：1112125tAt10Q，21101ttt，2540Att。得：405t精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页当405t时，f是正定的。3解：111 12123131aakakQ（ 2.5 分）2121222323kkaakka（2.5 分）31312323331aakak（2.5 分）在基下的矩阵为111213212223

7、31323311akaaBaaakkakaa（2.5 分）四 1. 证 ： 任 意n维 向 量 空 间V，V的 基12,n， 则唯 一L V使121212nnnO（3 分）即iii1,2,in111iii222iiiininin在基12,iiin下的矩阵为B（6 分）A与B相似（ 1 分）2证：1sjiVQ是直和0iijiVVI（3 分）11iijijjj iVVVVQII110iijjVVI（2 分）令110ss11ss11sssjjVVI（ 3 分）0s，同理1210s精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页1siiV是直和。（2 分）3证：设是A的任一特征值0，使A22AA2AAQ，2200Q201或0AQ实对称矩阵正交矩阵T，使11100TATOO4证：A、B对应的二次型分别为22211 122,nnnfxxxxx22211122,niiining yyyyy令1122iininyxyxyx，221111,niiininng yyxxfxx所以，A与B合同。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页