2022年§-_常用积分公式 .pdf

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1、第 3 章牛顿 -莱布尼茨积分和积分法130 130 3-6 常用积分公式表例题和点评dkxkxc (k为常数 ) 11d(1)1xxxc特别，211dxcxx, 322d3xxxc, 1d2xxcx1dln |xxcxdlnxxaaxca, 特别，e dexxxcsindcosxxxccosdsinxxxc221dcscdcotsinxxxxcx221dsecdtancosxxxxcx221darcsin(0)xxcaaax, 特别，21darcsin1xxcx2211darctan(0)xxcaaaax, 特别，21darctan1xxcx2211dln(0)2axxc aaaxax或22

2、11dln(0)2xaxcaaxaxatandln cosxxxccotdlnsinxxxcln csccot1cscddln tansin2xxcxxxxcxln sectan1secddln tancos24xxcxxxxcx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 3-6 常用积分公式例题和点评131 131 (0 )221daxxa22lnxxac2(0)2222darcsin22aaxxaxxaxca22dxax

3、2(0 )2222ln22axaxaxxac2222sincosesindesincosecosdeaxaxaxaxabxbbxbxxcabbbxabxbxxcab12222212123d()2(1)()2(1)nnnnxnxcaxnaaxna（递推公式）跟我做练习( 一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式)例 24 含根式2axbxc 的积分2245 d(2)1 d(2)xxxxx 套用公式2221(2)1ln (2)(2)122xxxx22145 d(24)445 d2xxxxxxxx222145 d(45)245 d2xxxxxxx( 请你写出答案 ) 22

4、11dd(2)45(2)1xxxxx2ln(2)(2)1xx 套用公式221(24)4dd24545xxxxxxxx2221d(45)12d24545xxxxxxx( 请你写出答案 ) 22254d3(2)d (2)xxxxx222322arcsin3(2)232xxx 套用公式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 第 3 章牛顿 -莱布尼茨积分和积分法132 132 22154d(42)454d2xxxxxxxx22

5、2154d (54)254d2xxxxxxx( 请你写出答案 ) 222dd(2)543(2)xxxxx 套用公式2arcsin3x22(42)4 dd125454xxxxxxxx2221d (54)d225454xxxxxxx( 请你写出答案 )例 25 求原函数41d1xx. 解因为)21)(21()2()1(2)21(1222222424xxxxxxxxxx所以令422112121AxBC xDxxxxx为待定常数）DCBA,(2222()(21)()(21)2121AxBxxCxDxxxxxx从恒等式1)12)()12)(22xxDxCxxBAx(两端分子相等) ，可得方程组（三次项系

6、数）（二次项系数）（一次项系数）常数项0022022)(1CADCBADCBADB解这个方程组 ( 在草纸上做 )，得21,221,21,221DCBA.因此，41d1xx221111222222dd2121xxxxxxxx右端的第一个积分为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 3-6 常用积分公式例题和点评133 133 2222111(22 )21(22 )d11222ddd4214221422121xxxxxxx

7、xxxxxxxx22221d(21)11d442212122xxxxxx(套用积分公式) 211ln(21)arctan(21)4222xxx类似地，右端的第二个积分为221111222dln(21)arctan(21)214222xxxxxxx所以41d1xx2212111lnarctan(21)arctan(21)42212222xxxxxx22212112lnarctan1422122xxxxxx（见下注）【注】 根据tantantan()1tantan, 则22(21)(21)222tanarctan(21)arctan(21)2(1)11(21)(21)xxxxxxxxxx因此 ,

8、22arctan(21)arctan(21)arctan1xxxx例 26 求d(01)1cosxx. 关于d(01)1cosxx，见例 17 解令tan2xt( 半角替换 ) ，则2222222coscossin2 cos111222sec1tan22xxxxxx2211tt22dd (2 arctan)d1xttt于是，2222d12dd211cos1(1)(1)11xtttxttt22d111tt名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - -

9、 - - - - - 第 3 章牛顿 -莱布尼茨积分和积分法134 134 221arctan11tc2221arctantan211xc【点评】 求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但不像求它们的微分或导数那样规范化 . 这是因为从根本上说，函数()yy x的导数或微分可以用一个“构造性”的公式0()()()limhy xhy xyxh或d()dyyxx确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法. 积分法作为微分法的逆运算，其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类. 譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函数( 这就像正数的差有可能是负数、

10、整数的商有可能是分数一样 ). 有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数，譬如21esined ,d ,d ,dlnxxxxxxxxxx等都不能表示成初等函数. 因此， 一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难得多 .我们用上面那些方法能够求出原函数的函数，只是初等函数中的很小一部分. 尽管如此，我们毕竟可以求出足够多函数的原函数，而这些正好是应用中经常遇到的函数. 因此，读者能够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -