2022年高考数学二轮复习专题辅导资料专题数学方法之特殊解法 .pdf

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1、学习必备欢迎下载专题五 ：数学方法之特殊解法【考情分析】近年高考题尽量减少繁烦的运算，着力考查学生的逻辑思维与直觉思维能力，以及观察、分析、比较、 简捷的运算方法和推理技巧，突出了对学生数学素质的考查。试题运算量不大，以认识型和思维型的题目为主，许多题目既可用通性、通法直接求解,也可用“特殊”方法求解。其中，配方法、待定系数法、换元法、参数法是几种常用的数学解题方法。这些方法是数学思想的具体体现，是解决问题的手段，它们不仅有明确的内涵，而且具有可操作性，有实施的步骤和作法，事半功倍是它们共同的效果。纵观近几年高考命题的趋势，在题目上还是很注意特殊解法应用，应为他起到避繁就简、避免分类讨论、避免

2、转化等作用。预测 20XX年的高考命题趋势为：（1）部分涉及函数性质、三角函数变形及求值、方程不等式的参数最值、解析几何求值等知识点的题目会用到这几种特殊解法；（2）这些解题方法都对应更一般的解法，它们的规律不太容易把握，但它们在实际的考试中会节省大量的时间，为后面的题目奠定基础；【知识交汇】1换元法解数学题时， 把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。 通

3、过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来， 隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x2x20 ，先变形为设2xt（t0） ，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元， 应用于去根号， 或者变换为三角形式易求时，主要利

4、用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数yx1x的值域时，易发现x0,1，设 xsin2 ， 0,2，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y 适合条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载x2y2r2（r0）时，则可作三角代换xrcos 、yrsin 化为三角问题。均值换元，如遇到xy S形式时，设xS2t，yS2t 等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新

5、变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t0 和 0,2。2待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x) g(x)的充要条件是：对于一个任意的a 值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用

6、待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、 解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。3参数法参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系

7、的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态， 揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。4配方（凑）法（1）配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“ 完全平方 ” ）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“ 裂项 ”与“ 添项 ” 、“ 配” 与“ 凑” 的技巧，从而完成配方。

8、有时也将其称为“ 凑配法 ” 。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于： 已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题。（2）配凑法：从整体考察，通过恰当的配凑，使问题明了化、简单化从而达到比较容易解决问题的方法。常见的配凑方法有：裂项法，错位相减法，常量代换法等。【思想方法】1配方（凑）法典例解析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载例 1 （1） （11 江苏 7）已知, 2)4tan(x则xx2tantan的值为 _ 解析：22tan1t4

9、tan2t44tan41xxxxxxxxx（）（2）已知长方体的全面积为11，其 12 条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（）(A)32(B)14(C)5 (D)6 分析：设长方体三条棱长分别为x、y、 z，则依条件得：2(xy+yz+zx)=11，4(x+y+z)=24。而欲求的对角线长为222zyx，因此需将对称式222zyx写成基本对称式x+y+z及xy+yz+zx的 组 合 形 式 ， 完 成 这 种 组 合 的 常 用 手 段 是 配 方 法 ， 故)(2)(2222xzyzxyzyxzyx=6211=25。5222zyx，应选 C。点评：本题解答关键是在于将两个已知

10、和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式， 容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。例 2 （1）设F1和 F2为双曲线1422yx的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足F1PF2=90 ，则 F1PF2的面积是（）(A)1 (B)25(C)2 (D)5分析：欲求|212121PFPFSFPF(1)，而由已知能得到什么呢？由 F1PF2=90 ，得20|2221PFPF(2)，又根据双曲线的定义得| PF1|-| PF2|=4 (3)，那么 (2)、(3)两式与要求的三角形面积 有 何 联 系 呢 ？ 我 们 发 现

11、将 (3) 式 完 全 平 方 ， 即 可 找 到 三 个 式 子 之 间 的 关 系 . 即16|2|212221221PFPFPFPFPFPF，故2421)16|(|21|222121PFPFPFPF1|212121PFPFSFPF，选 (A)。点评：配方法实现了“ 平方和 ” 与“ 和的平方 ” 的相互转化。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载（2）设方程 x2kx2=0 的两实根为p、q，若(pq)2+(qp)27 成立， 求实数 k 的取值范围。解析：方程x2kx2=0 的两实根为p、q，由韦

12、达定理得：pq k，pq 2，(pq)2+(qp)2pqpq442()()()pqp qpq2222222()()pqpqp qpq2222222()k224847 ，解得 k 10或 k10。又 p、q 为方程 x2kx2=0 的两实根， k280 即 k22或 k 22综合起来， k 的取值范围是：10k22或者22k10。点评：关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到pq、pq 后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成 pq 与 pq 的组合式。 假如本题不对“ ” 讨论，结果将出错，即使有些题目可

13、能结果相同，去掉对“ ” 的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。2待定系数法典例解析例 3 （11 江苏， 12）在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数)0()(xexfx的图象上的动点，该图象在P 处的切线l交 y 轴于点 M，过点 P作l的垂线交y 轴于点 N，设线段 MN 的中点的纵坐标为t，则 t 的最大值是 _ 解析：设00(,),xP xe则00000:(),(0,(1)xxxlyeexxMx e，过点 P作l的垂线：000000(),(0,)xxxxyeexxNex e，00000000011(1)()22xxxxxxtx eex eex ee0001(

14、)(1)2xxteex；所以， t 在(0,1)上单调增，在(1,)单调减，max11()2tee。例4（11安徽文，17）设直线.02,1:, 1:21212211kkkkxkylxkyl满足其中实数（I）证明1l与2l相交；（II）证明1l与2l的交点在椭圆222x +y =1上.分析： 本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载证明，椭圆方程等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力. 证明： （ I）反证法，假设是l1与 l2不相交

15、，则l1与 l2平行，有 k1=k2，代入 k1k2+2=0，得.0221k此与 k1为实数的事实相矛盾. 从而2121,llkk与即相交 . （II） （方法一）由方程组1121xkyxky解得交点 P的坐标),(yx为.,2121212kkkkykkx而.144228)()2(22222122212121222121222121221222kkkkkkkkkkkkkkkkkkyx此即表明交点.12),(22上在椭圆yxyxP（方法二）交点P的坐标),(yx满足. 0211,02.1,1.011212121xyxykkxykxykxxkyxky得代入从而故知整理后，得, 1222yx所以交点

16、 P在椭圆.1222上yx3换元法典例解析例 5 （1） （06 江苏卷）设a 为实数，设函数xxxaxf111)(2的最大值为 g(a)。（）设 txx11，求 t 的取值范围，并把f(x)表示为 t 的函数 m(t)；（）求 g(a)。解析： （）令11txx要使有 t 意义，必须1+x0 且 1-x 0，即 -1x1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载2222 12,4,txt 0 t 的取值范围是2, 2.由得221112xtm(t)=a(2112t)+t=21,2,22atta t（）由题意

17、知g(a)即为函数21( ),2,22m tatta t的最大值。注意到直线1ta是抛物线21( )2m tatta的对称轴，分以下几种情况讨论。（1）当 a0 时，函数y=m(t),2, 2t的图象是开口向上的抛物线的一段，由1ta0知 m(t) 在2, 2.上单调递增，g(a)=m(2)=a+2 (2)当 a=0 时， m(t)=t,2, 2t, g(a)=2. (3)当 a0，求 f(x)2a(sinx cosx) sinx cosx 2a2的最大值和最小值。解析：设sinx cosx t ，则t -2,2 ，由 (sinx cosx)2 12sinx cosx得： sinx cosx

18、t212，f(x) g(t)12(t 2a)212（ a0） ，t -2,2 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载t -2时，取最小值：2a222a12，当 2a2时， t 2，取最大值：2a222a12；当 02a2时， t 2a，取最大值：12。f(x)的最小值为 2a2 22a12，最大值为1202222 212222()()aaaa。点评：此题属于局部换元法，设sinx cosxt 后，抓住sinx cosx 与 sinx cosx的内在联系， 将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值

19、域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t -2,2 ）与 sinx cosx 对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。一般地， 在遇到题目已知和未知中含有sinx 与 cosx 的和、 差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinxcosx ，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。例 6点 P(x，y)在椭圆1422yx上移动时，求函数u=x2+2xy+4y2+x+2y 的最大值。解析：点P(x,y)在椭圆1422y

20、x上移动，可设sincos2yx，于是yxyxyxu24222=sin2cos2sin4cossin4cos422= 1sincos)sin(cos22令tsincos，)4sin(2cossin， |t| 2。于是 u=23)21(2) 1(222ttt，(|t| 2) 当 t=2,即1)4sin(时， u 有最大值。=2 k+4(kZ)时，226maxu。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载4参数法典例解析例 7 （11 辽宁文， 21）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N 在x

21、轴上，椭圆C2的短轴为MN，且 C1，C2的离心率都为e，直线 lMN，l 与 C1交于两点，与 C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B， C，D（I）设12e，求BC与AD的比值；（II）当 e 变化时， 是否存在直线l，使得 BOAN，并说明理由解： （I）因为 C1， C2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)xyb yxCCababaa设直线:(|)lxtta，分别与C1，C2的方程联立，求得2222( ,),( ,).abA tatB tatba4分当13,22ABebayy时分别用表示 A，B 的纵坐标，可知222 |3|:|.2 |4BAyb

22、BCADya（II） t=0 时的 l 不符合题意 .0t时，BO/AN 当且仅当BO 的斜率 kBO与 AN 的斜率 kAN相等，即2222,baatatabtta解得222221.abetaabe因为2212| |,01,1,1.2etaeee又所以解得所以当202e时，不存在直线l，使得 BO/AN；当212e时，存在直线l 使得 BO/AN. 点评：设问形式的存在性问题很常规，但是题目内容却多年不见，考查了点参数问题，根本不需要设直线方程，更没有直线与圆锥曲线的联立，这是大部分学生所不适应的。本题设交点坐标为参数, “设而不求 ” ，以这些参数为桥梁建立t 的表达式求解。例 8实数 a

23、、b、c 满足 abc1，求 a2b2 c2的最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载分析：由 abc 1 想到“均值换元法” ，于是引入了新的参数，即设a13t1，b13t2，c13t3，代入 a2b2c2可求。解析： 由 abc1，设 a13 t1，b13t2，c13t3，其中 t1 t2t3 0，a2b2c2（13t1）2（13t2）2(13t3)21323(t1t2 t3) t12t22 t3213t12t22t3213，所以 a2b2c2的最小值是13。点评：由“均值换元法”引入了三个参数

24、，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一个技巧。本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法是：a2b2c2(abc)22(abbcac)12(a2b2c2)，即 a2b2c213。两种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，可以提高我们的代数变形能力。【思维总结】1配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(ab)2 a22abb2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2b2 (a b)22ab(ab)22ab；a2abb2(ab)2ab(ab)23ab(ab2)2（32b）2；a2b2 c2abbc ca12(ab)2(bc)2(ca)2 a2b2

25、 c2(abc)22(abbcca)(a bc)22(abbc ca)结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1sin2 12sin cos （ sin cos ）2；x212x(x1x)2 2(x1x)22 ； 等等。2如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：（1）利用对应系数相等列方程；（2）由恒等的概念用数值代入法列方程；（ 3）利用定义本身的属性列方程； （4）利用几何条件列方程。比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页