2022年高考数学冲刺一轮复习文理第四章不等式含不等式选讲 .pdf

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1、学而不思则惘，思而不学则殆第四章、不等式第 1 节不等式的概念与性质考纲要求考纲研读1.了解现实世界和日常生活中的不等关系2.了解不等式 (组)的实际背景 . 对于不等式的每条性质，不仅要记住其结论，还要明确其成立的前提，忽略某些性质成立的条件往往会造成解题失误. 1.比较原理(两实数之间有且只有以下三个大小关系之一) ab? ab0；ab? ab0；ab? ab0. 2.不等式的性质(1)对称性： ab? ba；ab? ba. (2)传递性： ab，bc?(3)可加性： ab?移项法则： abc? acb. 推论：同向不等式可加ab， cd?(4)可乘性： ab，c 0? acbc；ab，c

2、0?推论1：同向 (正)可乘： a b0，cd0?推论2：可乘方 (正)：ab0?(n N* ，n2) (5)可开方 (正)：ab0?(nN* ，n 2) 1“a cbd” 是“ab 且 cd ”的( ) A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2a，bR，若a|b|0，则下列不等式中正确的是( ) A ba0 B a3b30 Ca2b2 0 Dba 0 3已知a，b R，且ab，则下列不等式中恒成立的是( ) A a2b2B.1122abClg(ab)0 D.ab1 4已知集合Ax|x a，Bx|1 x 2，且A(?RB)R，则实数a 的取值范围是( ) A a

3、2 Ba2 5若2 2，则 的取值范围是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页学而不思则惘，思而不学则殆1.( 全国 ) 下面四个条件中，使ab 成立的充分而不必要的条件是（）A ab1 Bab1 Ca2b2Da3b32.如果a，b，c 满足cba，且acac Bc(ba)0 Ccb2ab2Dac(ac)2x； a3b3 a2bab2(a，bR)； a2b22(a b1)，其中正确的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 1准确把握不等式的性质：对于不等式的性质，关键是理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，

4、注意条件 (特别是符号的限制条件)改变后，结论是否发生变化不等式的性质包括“ 单向性 ” 和 “ 双向性 ” 两种情况 “ 单向性 ” 主要用于证明不等式；“ 双向性 ” 主要用于解不等式，因为解不等式必须是同解变形2判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法特别对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法非常方便认真听讲，做好笔记（模板）：认真听讲，做好笔记（基础自测、强化训练）：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页学而不思则惘，思而不学则殆第 2 节一元二次不等式及其解法考纲要求考纲研读1.

5、会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 1.深刻理解 “ 三个二次 ” 之间的关系， 充分借助于图象的直观性解一元二次不等式2.会解含参数的简单一元二次不等式，能将分式不等式转化成整式不等式3.要明确方程的根、函数的图象与x 轴交点的横坐标与不等式之间的关系. 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表判别式 b24ac 0 00)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0) 的根有两相异实根有两相同实根一元二次不等式的解集ax2bxc0(a0)

6、ax2bxc0)若 a0 时，可以先将，对照上表求解1不等式x21 的解集为 ( ) A x|1x1 Bx|x 1 Cx|x 1 Dx|x 1 或 x1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页学而不思则惘，思而不学则殆2不等式(1)20 xx的解集是 ( ) A x|x1 Bx|x 1 或 x 2 Cx|x 1 Dx|x2 且 x 13(20XX 年广东佛山质量检测)下列给出的四组不等式中，同解的是( ) A.x2(x24x 3)0 与 x24x30 与(2x3)(x5)0 D.x22x62x11 与 x2 2x62x

7、1 4不等式x302x的解集为 ( ) A x|2x3 Bx|x 2 Cx|x 2 或 x3 Dx|x 3 5不等式 x22x30 的解集是1.（安徽） 函数216yxx的定义域为2.解关于x 的一元二次不等式x2(3a)x3a 0. 3.若不等式x2axb0 的解集为 x|2x0 的解集为 _. 1高次不等式(包括分式不等式)解法尽可能进行因式分解，分解成一次因式后，再利用数轴标根法求解(注意每个因式的最高次项的系数要求为正数 )2解决一元二次不等式有关问题的常见数学思想方法(1)数形结合思想：三个二次的完美结合是数形结合思想的具体体现(2)分类讨论思想：当二项系数含参数a 时，要对二次项系

8、数分a0、a0 ， 0，0，由xy2(1)如积xyP(定值 )，. (2)如和x yS(定值 )，. 即：积定和最小，和定积最大1设函数f(x)2x1x1(x0)，则 f(x)( ) A有最大值B有最小值C是增函数D是减函数2已知 xab，ynammbnmannbm(a，b， m，n 为正数 )，则x，y 的大小关系是( ) A xy Bx0，则24xxx的最小值为. 4若x0，则x2x的最小值为. 5已知x，yR，且x4y1，则 x y 的最大值为. 1.(重庆 )已知 t 0，则函数241ttyt的最小值2.(山东 )若对任意x0，231xaxx恒成立，则a 的取值范围是 _3.(浙江 )

9、设 x，y 为实数，若4x2 y2xy1，则 2x y 的最大值是 _4.(重庆 )已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y 的最小值是. 5.(浙江 )若正实数x，y 满足 2x y6xy，则xy 的最小值是. 1利用均值不等式a b 2 ab以及变式ab22ab等求函数的最值时，要注意到合理拆分项或配凑因式，而拆与凑的过程中，一要考虑定理使用的条件(两数都为正 )；二要考虑必须使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件(当且仅当ab 时取 “ ” 号)，即 “ 一正、二定、三相等” 。2当用均值不等式求函数最值失效时，要转化为研究函数的单调性，利用单调性求最值精选学习资料 - - - - -

10、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页学而不思则惘，思而不学则殆3多次重复使用均值不等式求解时，应考虑再相加相乘时字母应满足的条件及多次使用后等号成立的条件是否一致若不一致，则不等式中的等号不能成立4当 a0，b0 时，21a1b abab2a2b22，当且仅ab 时等号成立第 4 节简单的线性规划考纲要求考纲研读1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决. 二元一次不等式表示相应直线AxBy C0 某一侧所有点组成的平面

11、区域，可结合交集的概念去理解不等式组表示的平面区域对于线性规划问题，能通过平移直线求目标函数的最值对于实际问题，能转化成两个相关变量有关的不等式(组)，再利用线性规划知识求解. 认真听讲，做好笔记（模板）：认真听讲，做好笔记（基础自测、强化训练）：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页学而不思则惘，思而不学则殆1二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式AxByC0 表示直线Ax By C0 某一侧所有点组成的平面区域，不含边界线不等式AxByC0 所表示的平面区域包括边界线(2)对于

12、直线Ax By C0 同一侧的所有点(x， y)，使得AxByC 的值的符号相同，也就是说位于同一平面区域内的点，若其坐标适合AxBy C0，则位于另一个平面区域内的点，其坐标适合Ax ByC0( 或 Ax ByC0) 所表示的区域2线性规划(1)线性约束条件：不等式组是一组对变量x，y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件(2)目标函数： zAx By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y 的解析式，我们把它称为目标函数(3)线性目标函数：由于z Ax By 是关于x，y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数(4)可行解：满足线性约束条件

13、的解(x，y)叫做可行解(5)可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域(6)最优解：若可行解(x1，y1)和(x2，y2)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解(7)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题1不等式组360,20 xyxy表示的平面区域是( ) 2已知实数x，y 满足0,40,1xyxyx则 2xy 的最小值是 ( ) A 3 B 2 C0 D1 3若实数x，y 满足10,0,0 xyxyx则 z3x2y 的最小值是 ( ) A 0 B1 C3D9 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

14、- - - - - -第 8 页，共 15 页学而不思则惘，思而不学则殆4不等式组2,30602xyyyx 所表示的平面区域的面积为. 5若点 (1,3)和点 (4， 2)在直线2xy m 0 的两侧，则m 的取值范围是. 1若不等式组5002xyyax表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（）A a5 Ba7 C5a7 Da5 或 a 7 2(北京 )设不等式组1103305390 xyxyxy表示的平面区域为D，若指数函数yax的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是（）A (1,3 B2,3 C(1,2 D3， ) 3(陕西 )如下图，点 (x，y)在四边形ABCD 内部和

15、边界上运动，那么2xy 的最小值为 _. 1利用线性规划研究实际问题的基本步骤是：(1)应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数；(2)用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解；(3)还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解2求目标函数的最优整数解常有两种处理方法：(1)通过打出网格求整点，关键是作图要准确；(2)首先确定区域内点的横坐标范围，确定x 的所有整数值，再代回原不等式组，得出y 的一元一次不等式组，再确定y 的所有相应整数值，即先固定x，再用x 制约y；3非线性规划问题，是指目标函数和约束函数

16、中至少有一个是非线性函数对于这类问题的考查往住以求非线性目标函数最值的方式出现4线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界上取得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页学而不思则惘，思而不学则殆第 5 节不等式的应用考纲要求考纲研读1.会用基本不等式解决简单的最大 (小)值问题2.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决. 近几年的高考试题增强了对密切联系生产和生活实际的应用性问题的考查力度主要有两种方式：(1)线性规划问题：求给定可行域的面积；求给定可行域的最优解；求目标函数中参数的范围(2)基本不

17、等式的应用：一是侧重“ 正” 、“ 定” 、“ 等” 条件的满足条件；二是用于求函数或数列的最值. 1如果a，b R，那么a2b2(当且仅当ab 时取 “ ” 号)2如果a，b 是正数，那么a b2(当且仅当ab 时取 “ ” 号)3可以将两个字母的重要不等式推广认真听讲，做好笔记（模板）：认真听讲，做好笔记（基础自测、强化训练）：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页学而不思则惘，思而不学则殆以上不等式从左至右分别为：调和平均数(记作H)，几何平均数 ( 记作G) ，算术平均数 ( 记作A) ，平方平均数( 记作Q

18、) ，即 HG AQ，各不等式中等号成立的条件都是ab. 4常用不等式还有：(1)a，b，cR，a2b2c2(当且仅当abc 时，取等号 )(2)若 ab0，m 0，则bman(糖水的浓度问题)5.基本不等式的应用主要有：（1）求最值（ 2）恒成立问题求参数取值范围（3）证明不等式（4）比较大小（5）与实际问题结合1：已知54x，则函数14245yxx的最大值. 2. 当04x时，则(82 )yxx的最大值. 3.2710(1)1xxyxx的值域为 .4.函数2254xyx的值域为 .5. 若实数满足2ba，则ba33的最小值是 . 1.已知0,0 xy，且191xy，则xy的最小值. 2.已

19、知 x，y 为正实数，且x 2y 221，则 x1y2的最大值为. 3.已知 a，b 为正实数， 2baba30，则函数y1ab的最小值为. 4. 已知 x，y 为正实数， 3x2y10，则函数W3x 2y 的最值为. 5.已知 a、b、 cR，且1abc。求证：1111118abc6.已知0,0 xy且191xy，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。7. 若)2lg(),lg(lg21,lglg,1baRbaQbaPba，则RQP,的大小关系是 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页学而不思则惘，思而不学

20、则殆数学应用问题，就是指用数学的方法将一个表面上非数学问题或非完全的数学问题转化成完全形式化的数学问题随着新课程标准的改革和素质教育的进一步推进，要求学生应用所学知识解决实际问题的趋势日益明显，近几年的高考试题增强了对密切联系生产和生活实际的应用性问题的考察力度而以不等式为模型的应用题是最常见的题型之一，有关统筹安排、 最佳决策、 最优化问题以及涉及最值等的实际问题，常常建立不等式模型求解第 6 节 不等式选讲（三选一选作题） 【建议选不等式】考纲要求考纲研读1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式(1)|ab| |a| |b|；(2)|ab| |ac|cb|

21、(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：近几年的高考试题增强了对密切联系生产和生活实际的应用性问题的考查力度主要有两种方式：1.线性规划问题： 求给定可认真听讲，做好笔记（模板）：认真听讲，做好笔记（基础自测、强化训练）：作业布置：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页学而不思则惘，思而不学则殆|axb| c，|axb| c；|x c| |xb| a2.了解柯西不等式的不同形式，理解他们的几何意义，并会证明(1)柯西不等式向量形式：| | | | | (2)(x1 x2)2(y1y2)2(x2x3)2(y2

22、y3)2(x1x3)2(y1y3)2(通常称作平面三角不等式) 3.会用上述不等式证明一些简单问题能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值4.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、缩放法. 行域的面积；求给定可行域的最优解；求目标函数中参数的范围2.基本不等式的应用：用于求函数或数列的最值，侧重 “ 正” 、“ 定” 、“ 等” 条件的满足条件 . 1常用的证明不等式的方法(1)比较法：比较法包括作差比较法和作商比较法(2)综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数的定理)和不等式的性质，推导出所要证明的不等式(3)分析法：证明不等式时，有时

23、可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立(4)反证法：可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式AB ，先假设AB ，由题设及其它性质，推出矛盾， 从而肯定AB. 凡涉及的证明不等式为否定命题、唯一性命题或含有“ 至多 ” 、“ 至少 ” 、“ 不存在 ” 、“ 不可能 ” 等词语时，可以考虑用反证法(5)放缩法：要证明不等式A0，|f(x)|a? af(x)a? f(x)a. (2)理解绝对值的几何意义|a|b| |a b| |a|b|. 1用反证法证明时：其中的结论“

24、 ab”，应假设为 ( ) A ab Bab Cab D ab2(广东广州测试)若关于x 的不等式 |xa|x|的解集为44不等式 |2x3|1 的解集为55(陕西 )不等式 |2x1|3 的解集为1.(广东 )不等式 |x1|x3|0 的解集是2.(江西 )对于xR，不等式 |x10|x2|8 的解集. 3.(广东佛山检测)若不等式 |xa| |x 2| 1 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围为4. 求函数xxy21015的最大值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页学而不思则惘，思而不学则殆5. 已

25、知122ba，求证sincosba 1. 6. 已知12yx，求22yx的最小值 . 7. 已知10432zyx，求222zyx的最小值 . 8. 已知a，b，c是正数，求证2229abbccaabc. 1利用比较法证明不等式时，为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负2放缩法证明不等式的理论依据主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子 (分母 )异分母 (分子 )的两个分式大小的比较常用的放缩技巧有：舍掉 (或加进 )一些项； 在分式中放大或缩小分子或分母；应用均

26、值不等式进行放缩3特别注意：对于含绝对值的不等式，从2010 年高考开始由选考内容改为必考内容，成为这两年高考的热点， 特别是20XX 年的压轴题就是绝对值不等式，应掌握绝对值不等式的解法和利用|a| |b| |a b| |a|精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页学而不思则惘，思而不学则殆|b|证明不等式的基本方法4含绝对值不等式的解法：等价转化法、分类讨论法及平方法5理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a b| |a|b|(a，bR)；|ab| |ac|cb|(a，bR). 认真听讲，做好笔记（模板）：认真听讲，做好笔记（基础自测、强化训练）：作业布置：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页